Guía Completa de Combinatoria: Ejercicios Resueltos y Explicaciones

Factorial y números combinatorios

El factorial es tu mejor amigo para contar permutaciones. Si tienes n objetos, n! (que se lee "n factorial") es simplemente n × $n-1$ × $n-2$ × ... × 1. Por ejemplo, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.

Los números combinatorios te permiten calcular cuántas formas hay de elegir objetos de un grupo. Se escriben como (m sobre n) y su fórmula es m!/$n!(m-n)!$. Son súper útiles cuando el orden no importa.

Las variaciones ordinarias cuentan las formas de elegir p objetos de n objetos cuando el orden SÍ importa y no puedes repetir. La fórmula es Vn,p = nn-1$$n-2...$n-p+1$. Por ejemplo, para formar números de 4 cifras diferentes con dígitos del 1 al 9: V9,4 = 9 × 8 × 7 × 6 = 3024 números posibles.

¡Truco! Recuerda: si el orden importa, usa variaciones; si no importa, usa combinaciones.

Permutaciones y combinaciones ordinarias

Las permutaciones ordinarias son perfectas cuando quieres ordenar todos los objetos que tienes. Si tienes n objetos, hay Pn = n! formas de ordenarlos. ¿Cuántas palabras puedes formar con MURCIÉLAGO? Como tiene 9 letras diferentes, son P9 = 9! = 362.880 palabras.

Las combinaciones ordinarias son ideales cuando eliges algunos objetos de un grupo y el orden no te importa. La fórmula es Cn,p = n!/$p!(n-p)!$. Es lo mismo que los números combinatorios que vimos antes.

Un ejemplo práctico: si tienes 28 estudiantes y quieres formar grupos de 4, puedes crear C28,4 = 20.475 grupos diferentes. ¡Imagínate todas esas posibilidades!

¡Recuerda! En combinaciones, elegir a Ana, Luis y María es igual que elegir a Luis, María y Ana.

Variaciones y permutaciones con repetición

Las variaciones con repetición son geniales cuando puedes usar el mismo objeto varias veces. La fórmula súper simple es VRn,p = np. Si quieres crear palabras de 5 letras con el alfabeto español (27 letras), tienes VR27,5 = 275 = 14.348.907 palabras posibles.

Las permutaciones con repetición se usan cuando tienes objetos repetidos en tu grupo. La fórmula es PRn = n!/(p1! × p2! × ... × pm!), donde p1, p2, etc. son las cantidades de cada tipo de objeto repetido.

Un ejemplo molón: si lanzas una moneda 50 veces y quieres saber en cuántas series tendrás exactamente 45 caras y 5 cruces, calculas PR50^45,5 = 50!/(45! × 5!) = 2.118.760 series diferentes.

¡Dato curioso! Tu teléfono móvil usa variaciones con repetición para generar códigos de desbloqueo.

Combinaciones con repetición y ejercicios prácticos

Las combinaciones con repetición te permiten elegir objetos que pueden repetirse, pero el orden no importa. La fórmula es CRn,p = (n+p-1 sobre p). Es más compleja, pero súper útil para problemas específicos.

Veamos un caso real: la palabra TENTEMPIÉ tiene letras repetidas. Para calcular cuántas contraseñas diferentes puedes formar, usas permutaciones con repetición: 9!/(2! × 3!) = 30.240 contraseñas distintas.

Para formar combinaciones con repetición de A, B, C, D tomados de 2 en 2: CR4,2 = (5 sobre 2) = 10 combinaciones. Con elementos de 3 en 3: CR4,3 = (6 sobre 3) = 20 combinaciones.

¡Importante! Las combinaciones con repetición son menos frecuentes en exámenes, pero aparecen en problemas avanzados.

Ejercicios resueltos paso a paso

Aquí tienes ejercicios típicos de examen que te ayudarán a dominar la combinatoria. Para formar equipos de pádel con 30 jugadores y 3 entrenadores necesitando 2 jugadores y 1 entrenador: C30,2 × C3,1 = 435 × 3 = 1.305 equipos posibles.

El problema de la foto con 7 chicas y 6 chicos alternados es más complejo. Primero ordenas las chicas (P7 = 5.040 formas) y luego los chicos (P6 = 720 formas). Como las chicas deben ir en posiciones impares, multiplicas: 5.040 × 720 = 3.628.800 formas.

Para pintar un mural de 3 columnas con 8 colores diferentes: V8,3 = 8 × 7 × 6 = 336 murales posibles. Si queremos que siempre aparezca el verde, tenemos 3 posiciones para él y luego elegimos 2 colores más de los 7 restantes: 3 × V7,2 = 3 × 42 = 126 murales.

¡Consejo! Lee bien si el problema permite repetición y si el orden importa antes de elegir la fórmula.

Más ejercicios para practicar

Un equipo de fútbol con 5 victorias, 3 empates y 2 derrotas en 10 partidos se calcula con permutaciones con repetición: P10^5,3,2 = 10!/(5! × 3! × 2!) = 2.520 formas diferentes de obtener esos resultados.

Para elegir 4 pastas de 12 disponibles, como el orden no importa: C12,4 = 495 elecciones posibles. Formar números de 3 cifras con dígitos impares que pueden repetirse: VR5,3 = 5³ = 125 números.

En baloncesto, elegir 5 jugadores de 11 disponibles sin importar las posiciones: C11,5 = 462 alineaciones. Con las letras de TIJERA (6 letras diferentes): P6 = 720 palabras posibles.

Para repartir 3 premios entre 15 motociclistas donde el orden importa (1º, 2º, 3º premio): V15,3 = 15 × 14 × 13 = 2.730 formas diferentes.

¡Recuerda! Si hay premios diferentes (oro, plata, bronce), el orden importa y usas variaciones.