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10 ene 2026
•
Amelie Bradburn
@amelieluisaaa
Aquests apunts cobreixen els temes fonamentals de matemàtiques aplicades a... Mostrar más
Els sistemes d'equacions lineals poden tenir tres tipus de solucions que necessites dominar per als exàmens. Quan tens un sistema amb el mateix nombre d'equacions que d'incògnites, pot ser compatible determinat (una única solució), compatible indeterminat (infinites solucions) o incompatible (cap solució).
El mètode de Gauss és la teva eina principal per resoldre aquests sistemes. Consisteix a transformar la matriu augmentada del sistema mitjançant operacions elementals fins arribar a una forma escalonada. Les operacions permeses són: multiplicar una fila per un nombre diferent de zero, sumar o restar files entre elles, i intercanviar files.
Per identificar el tipus de sistema, fixa't en el resultat final: si aconsegueixes una solució única per a cada variable, és determinat. Si obtens una equació del tipus "0 = 0", tens infinites solucions. Si apareix algo com "0 = 15", el sistema és incompatible.
Consell clau: Practica molt la discussió de sistemes amb paràmetres, ja que sol sortir bastant als exàmens de selectivitat.
Les matrius són taules rectangulars de nombres que s'identifiquen per la seva dimensió (files × columnes). Per sumar o restar matrius, aquestes han de tenir exactament la mateixa dimensió, i simplement sumes o restes cada element corresponent.
La multiplicació de matrius té una regla fonamental: el nombre de columnes de la primera matriu ha de coincidir amb el nombre de files de la segona. El resultat serà una matriu amb les files de la primera i les columnes de la segona. Per multiplicar, agafes cada fila de la primera matriu i la multipliques per cada columna de la segona.
La matriu transposada s'obté canviant files per columnes. És una operació senzilla però molt útil per als càlculs posteriors amb matrius inverses.
Recordatori important: Sempre comprova les dimensions abans de fer operacions - és l'error més comú en els exàmens!
La matriu inversa A⁻¹ compleix que A · A⁻¹ = I (matriu identitat). No totes les matrius tenen inversa - les que la tenen s'anomenen regulars, i les que no, singulars.
Tens dos mètodes per calcular la inversa. El mètode de Gauss consisteix a posar la matriu A a l'esquerra i la identitat I a la dreta, després aplicar operacions fins aconseguir I a l'esquerra. El que quedi a la dreta serà A⁻¹.
L'altre mètode utilitza la fórmula A⁻¹ = · (Adj A)ᵀ. Primer calcules el determinant |A|, després l'adjunta , la transposes, i divideixes per the determinant.
Atenció: Si el determinant és zero, la matriu no té inversa!
Les potències de matrius segueixen patrons que pots identificar calculant A², A³, etc. Sovint apareixen fórmules generals per a Aⁿ que et permeten calcular qualsevol potència directament.
Els sistemes d'equacions es poden expressar en forma matricial com AX = B, on A és la matriu dels coeficients, X el vector d'incògnites, i B el vector de termes independents. Per resoldre'ls, si A té inversa, aleshores X = A⁻¹B.
El rang d'una matriu és el nombre de files (o columnes) linealment independents. El calcules aplicant Gauss fins veure quantes files no nul·les et queden. El rang et diu quantes equacions realment independents tens en un sistema.
Truc útil: Per calcular el rang, continua aplicant Gauss fins que no puguis eliminar més files.
La programació lineal tracta sobre trobar valors òptims dins d'una regió factible definida per inequacions lineals. Primer has de representar gràficament cada inequació com una recta que divideix el pla en dues regions.
Per representar una inequació com x - y ≤ 2, primer dibuixes la recta x - y = 2 trobant dos punts . Després comproves quin costat de la recta satisfà la inequació substituint un punt de prova.
La regió factible és la zona on es compleixen totes les inequacions alhora. Normalment és una región poligonal, i els seus vèrtexs són els punts candidats per trobar el màxim o mínim d'una funció objectiu.
Consell pràctic: Sempre comprova els teus punts substituint-los a totes les inequacions originals.
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Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.
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Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
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Erick
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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
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Amelie Bradburn
@amelieluisaaa
Aquests apunts cobreixen els temes fonamentals de matemàtiques aplicades a les ciències socials per a 2n de batxillerat. Veurem des de sistemes d'equacions i matrius fins a probabilitat i càlcul integral.
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Els sistemes d'equacions lineals poden tenir tres tipus de solucions que necessites dominar per als exàmens. Quan tens un sistema amb el mateix nombre d'equacions que d'incògnites, pot ser compatible determinat (una única solució), compatible indeterminat (infinites solucions) o incompatible (cap solució).
El mètode de Gauss és la teva eina principal per resoldre aquests sistemes. Consisteix a transformar la matriu augmentada del sistema mitjançant operacions elementals fins arribar a una forma escalonada. Les operacions permeses són: multiplicar una fila per un nombre diferent de zero, sumar o restar files entre elles, i intercanviar files.
Per identificar el tipus de sistema, fixa't en el resultat final: si aconsegueixes una solució única per a cada variable, és determinat. Si obtens una equació del tipus "0 = 0", tens infinites solucions. Si apareix algo com "0 = 15", el sistema és incompatible.
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Les matrius són taules rectangulars de nombres que s'identifiquen per la seva dimensió (files × columnes). Per sumar o restar matrius, aquestes han de tenir exactament la mateixa dimensió, i simplement sumes o restes cada element corresponent.
La multiplicació de matrius té una regla fonamental: el nombre de columnes de la primera matriu ha de coincidir amb el nombre de files de la segona. El resultat serà una matriu amb les files de la primera i les columnes de la segona. Per multiplicar, agafes cada fila de la primera matriu i la multipliques per cada columna de la segona.
La matriu transposada s'obté canviant files per columnes. És una operació senzilla però molt útil per als càlculs posteriors amb matrius inverses.
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La matriu inversa A⁻¹ compleix que A · A⁻¹ = I (matriu identitat). No totes les matrius tenen inversa - les que la tenen s'anomenen regulars, i les que no, singulars.
Tens dos mètodes per calcular la inversa. El mètode de Gauss consisteix a posar la matriu A a l'esquerra i la identitat I a la dreta, després aplicar operacions fins aconseguir I a l'esquerra. El que quedi a la dreta serà A⁻¹.
L'altre mètode utilitza la fórmula A⁻¹ = · (Adj A)ᵀ. Primer calcules el determinant |A|, després l'adjunta , la transposes, i divideixes per the determinant.
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Pablo
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Erick
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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
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Izan
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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Roberto
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Julyana
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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
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Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
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