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Actualizado Mar 30, 2026
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Kruh a Kružnica: Vlastnosti a Polohy
1 / 10
Kruh vs. Kružnica - Základné pojmy
Prvá vec, ktorú si musíš zapamätať: kružnica nie je to isté ako kruh! Kružnica je len čiara (obvod), zatiaľ čo kruh je celá plocha vrátane vnútra.
Kružnica je množina všetkých bodov, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od stredu. Kruh obsahuje aj všetky body vo vnútri tejto čiary. Predstav si to takto: drôt ohnutý do kruhu je kružnica, ale minca je kruh.
Kľúčové pojmy, ktoré budeš potrebovať: polomer (r) je vzdialenosť od stredu k okraju, priemer (d) je najdlhšia úsečka cez stred . Tetiva spája dva body na kružnici, oblúk je časť kružnice medzi dvoma bodmi.
💡 Tip: Nezamieňaj polomer a priemer! Priemer je vždy dvakrát väčší ako polomer.
Vzorce pre obvod a obsah
Dva najdôležitejšie vzorce, ktoré sa ti budú hodiť na testoch: obvod kružnice = 2πr a obsah kruhu = πr².
Pre výpočty používaj π ≈ 3,14 (ak nie je zadané inak). Pamätaj si jednotky - obvod meráš v cm alebo m, obsah v cm² alebo m².
Ak máš zadaný priemer namiesto polomeru, jednoducho ho vydeľ dvoma. Alebo použij vzorec o = πd pre obvod.
Príklad: Pri polomere 5 cm je obvod = 2 × 3,14 × 5 = 31,4 cm a obsah = 3,14 × 5² = 78,5 cm².
💡 Skúška: Obsah je vždy v štvorcových jednotkách, obvod v lineárnych!
Priamka a kružnica - tri možnosti
Keď sa priamka stretne s kružnicou, môže sa stať jedna z troch vecí. Závisí to od vzdialenosti (v) stredu kružnice od priamky.
Sečnica (v < r): Priamka pretína kružnicu v dvoch bodoch. Dotyčnica : Priamka sa dotýka kružnice len v jednom bode a je kolmá na polomer v tomto bode. Nesečnica (v > r): Priamka sa kružnice vôbec nedotýka.
Najdôležitejšie si zapamätaj: dotyčnica je vždy kolmá na polomer v bode dotyku! Toto ti pomôže pri riešení úloh s pravouhlými trojuholníkmi.
💡 Vizuálna pomôcka: Nakresli si obrázok - lepšie si to zapamätáš!
Uhly v kružnici
V kružnici rozlišujeme dva typy uhlov. Stredový uhol má vrchol v strede kružnice, obvodový uhol má vrchol na kružnici.
Tu je kľúčový vzťah: obvodový uhol je vždy polovičkou stredového uhla, ak prislúchajú k rovnakému oblúku. Takže α = ω/2.
Thalesova kružnica je špeciálny prípad - ak je obvodový uhol nad priemerom, je vždy 90°. Toto pravidlo sa ti bude hodiť pri konštrukciách.
Príklad: Stredový uhol 120° znamená obvodový uhol 60°.
💡 Pamätaj: Všetky obvodové uhly nad tým istým oblúkom sú rovnaké!
Praktické tipy na testy
Pri riešení úloh si vždy najprv zapíš, čo vieš a čo hľadáš. Nezabudni na jednotky a skontroluj, či máš polomer alebo priemer.
Ak vidíš úlohu s dotyčnicou, hneď si nakreslí pravý uhol medzi dotyčnicou a polomerom. Pri uhloch v kružnici si označ, ktorý je stredový a ktorý obvodový.
Časté chyby: Zamieňanie polomeru s priemerom, nesprávne jednotky pri obsahu, zabúdanie na pravidlo o dotyčnici. Výsledok môžeš nechať aj s π, ak to zadanie nevyžaduje číselnú hodnotu.
💡 Kontrola: Obsah kruhu by mal byť väčší ako obsah štvorca s rovnakou stranou ako polomer!
Pensamos que nunca lo preguntarías...
¿Qué es Knowunity AI companion?
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
¿Dónde puedo descargar la app Knowunity?
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
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Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.
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4.6/5
App Store
4.7/5
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
LOS QUIZ Y FLASHCARDS SON SÚPER ÚTILES Y ME ENCANTA Knowunity IA. ADEMÁS ES LITERALMENTE COMO CHATGPT PERO MÁS LISTO!! ME AYUDÓ TAMBIÉN CON MIS PROBLEMAS DE MÁSCARA!! Y CON MIS ASIGNATURAS DE VERDAD! OBVIO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
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Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
Kruh a Kružnica: Vlastnosti a Polohy
Kruh a kružnica sú všade okolo nás - od kolies bicyklov až po mince v peňaženke. Pochopenie týchto základných geometrických tvarov ti pomôže nielen v matematike, ale aj vo fyzike a technike.
Kruh vs. Kružnica - Základné pojmy
Prvá vec, ktorú si musíš zapamätať: kružnica nie je to isté ako kruh! Kružnica je len čiara (obvod), zatiaľ čo kruh je celá plocha vrátane vnútra.
Kružnica je množina všetkých bodov, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od stredu. Kruh obsahuje aj všetky body vo vnútri tejto čiary. Predstav si to takto: drôt ohnutý do kruhu je kružnica, ale minca je kruh.
Kľúčové pojmy, ktoré budeš potrebovať: polomer (r) je vzdialenosť od stredu k okraju, priemer (d) je najdlhšia úsečka cez stred . Tetiva spája dva body na kružnici, oblúk je časť kružnice medzi dvoma bodmi.
💡 Tip: Nezamieňaj polomer a priemer! Priemer je vždy dvakrát väčší ako polomer.
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Vzorce pre obvod a obsah
Dva najdôležitejšie vzorce, ktoré sa ti budú hodiť na testoch: obvod kružnice = 2πr a obsah kruhu = πr².
Pre výpočty používaj π ≈ 3,14 (ak nie je zadané inak). Pamätaj si jednotky - obvod meráš v cm alebo m, obsah v cm² alebo m².
Ak máš zadaný priemer namiesto polomeru, jednoducho ho vydeľ dvoma. Alebo použij vzorec o = πd pre obvod.
Príklad: Pri polomere 5 cm je obvod = 2 × 3,14 × 5 = 31,4 cm a obsah = 3,14 × 5² = 78,5 cm².
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Priamka a kružnica - tri možnosti
Keď sa priamka stretne s kružnicou, môže sa stať jedna z troch vecí. Závisí to od vzdialenosti (v) stredu kružnice od priamky.
Sečnica (v < r): Priamka pretína kružnicu v dvoch bodoch. Dotyčnica : Priamka sa dotýka kružnice len v jednom bode a je kolmá na polomer v tomto bode. Nesečnica (v > r): Priamka sa kružnice vôbec nedotýka.
Najdôležitejšie si zapamätaj: dotyčnica je vždy kolmá na polomer v bode dotyku! Toto ti pomôže pri riešení úloh s pravouhlými trojuholníkmi.
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Uhly v kružnici
V kružnici rozlišujeme dva typy uhlov. Stredový uhol má vrchol v strede kružnice, obvodový uhol má vrchol na kružnici.
Tu je kľúčový vzťah: obvodový uhol je vždy polovičkou stredového uhla, ak prislúchajú k rovnakému oblúku. Takže α = ω/2.
Thalesova kružnica je špeciálny prípad - ak je obvodový uhol nad priemerom, je vždy 90°. Toto pravidlo sa ti bude hodiť pri konštrukciách.
Príklad: Stredový uhol 120° znamená obvodový uhol 60°.
💡 Pamätaj: Všetky obvodové uhly nad tým istým oblúkom sú rovnaké!
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Praktické tipy na testy
Pri riešení úloh si vždy najprv zapíš, čo vieš a čo hľadáš. Nezabudni na jednotky a skontroluj, či máš polomer alebo priemer.
Ak vidíš úlohu s dotyčnicou, hneď si nakreslí pravý uhol medzi dotyčnicou a polomerom. Pri uhloch v kružnici si označ, ktorý je stredový a ktorý obvodový.
Časté chyby: Zamieňanie polomeru s priemerom, nesprávne jednotky pri obsahu, zabúdanie na pravidlo o dotyčnici. Výsledok môžeš nechať aj s π, ak to zadanie nevyžaduje číselnú hodnotu.
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Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
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Julyana
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Erick
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Mar
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
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Marta
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Mar
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