Ejercicios sobre Gravitación Universal

Problemas de Órbitas Circulares y Sincrónicas $2020-2019$

¿Te has preguntado alguna vez cómo se calcula la velocidad de un satélite que orbita un planeta? Estos ejercicios te enseñarán exactamente eso y mucho más.

Para los satélites en órbitas sincrónicas (como los geoestacionarios), la clave está en que su periodo coincide con la rotación del planeta. Usarás las fórmulas de fuerza centrípeta igualada a la fuerza gravitatoria para encontrar velocidades orbitales. No te agobies, es más fácil de lo que parece: $\frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2}$.

Los problemas del satélite UARS y del sistema solar descubierto te mostrarán cómo aplicar estas mismas técnicas a casos reales. Recuerda que cuando un satélite hace 15 órbitas diarias, puedes calcular fácilmente su periodo dividiendo 24 horas entre 15.

Consejo clave: En órbitas circulares, siempre puedes relacionar velocidad, radio y masa del cuerpo central usando $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$.

Para las órbitas geoestacionarias, ten presente que el radio siempre será el mismo (aproximadamente 42.000 km desde el centro de la Tierra) porque el periodo está fijado en 24 horas.

Energía y Velocidad de Escape (2019)

La velocidad de escape es uno de los conceptos que más salen en los exámenes, así que conviene que lo domines bien.

Cuando resuelvas problemas del Apolo XI o de masas puntuales, recuerda que la velocidad de escape se obtiene con $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$. Es el doble de rápida que la velocidad orbital a ras de superficie. Los problemas de la nave Apolo XI te van a ayudar a entender cómo se calculan tanto la velocidad orbital como la energía mecánica total.

Para los ejercicios con masas puntuales en el plano xy, necesitarás usar vectores y calcular distancias usando el teorema de Pitágoras. El trabajo entre dos puntos se calcula como la diferencia de energías potenciales: $W = -GMm(\frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i})$.

Truco importante: En los satélites geoestacionarios como el Amazonas 5, la altura sobre el ecuador siempre es de unos 35.800 km, independientemente de su masa.

Los problemas del planeta Cibeles te enseñarán a combinar cinemática básica (caída libre) con gravitación para calcular masas planetarias.

Cambios de Órbita y Planetas Lejanos $2018-2017$

Estos problemas te van a enseñar conceptos más avanzados como cambios de órbita y campos gravitatorios complejos.

Cuando una nave espacial cambia de una órbita a otra más alejada, necesita energía adicional. La diferencia de energía entre órbitas se calcula como $\Delta E = -\frac{GMm}{2}(\frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i})$. Los ejercicios de traslado de satélites entre diferentes altitudes te van a ser muy útiles para la EBAU.

Para problemas con dos masas en el plano, como las masas de 4 kg y 10 kg separadas cierta distancia, tendrás que trabajar con vectores campo gravitatorio. Recuerda que el campo apunta siempre hacia la masa que lo crea y su módulo es $g = \frac{GM}{r^2}$.

Dato curioso: En los problemas de Mercurio, la aceleración gravitatoria es solo el 38% de la terrestre, por eso la velocidad de escape es mucho menor.

Los asteroides con forma esférica te permiten practicar cálculos con densidad uniforme. Para estos casos, $M = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho$.

Energía Mínima y Órbitas Especiales $2017-2016$

Calcular la energía mínima para poner un satélite en órbita es un clásico de los exámenes que debes manejar perfectamente.

Para situar un satélite a cierta altura, primero necesitas energía para vencer la gravedad hasta esa altura, y después energía adicional para ponerlo en órbita circular. La energía total será la suma de ambas. En el problema del satélite de 120 kg a 150 km de altura, verás cómo se hace paso a paso.

Los ejercicios con asteroides esféricos te enseñan a trabajar con densidades. Si conoces la densidad y el radio, puedes calcular la masa y luego la velocidad de escape. Para un asteroide de 3 km de radio y densidad 3 g/cm³, la masa sería enorme pero la velocidad de escape muy pequeña comparada con la Tierra.

Fórmula esencial: Para la energía de un satélite en órbita circular: $E = -\frac{GMm}{2r}$ (siempre negativa).

Los problemas de Próxima Centauri y su planeta te muestran cómo aplicar las leyes de Kepler a sistemas estelares reales. La tercera ley de Kepler ($T^2 \propto r^3$) es fundamental aquí.

Planetas con Diferentes Características $2016-2014$

Los problemas de comparación entre planetas te ayudan a entender cómo las diferentes masas y radios afectan a la gravedad y velocidad de escape.

Cuando compares planetas como en el ejercicio donde uno tiene el doble de masa que la Tierra pero la mitad de circunferencia ecuatorial, usa las relaciones: si $R_2 = \frac{R_1}{2}$ y $M_2 = 2M_1$, entonces $g_2 = \frac{GM_2}{R_2^2} = \frac{G(2M_1)}{(R_1/2)^2} = 8g_1$.

Para asteroides de los anillos de Saturno o cuerpos pequeños, la velocidad de escape será muy baja. Un asteroide de 5 km de radio con densidad 5,5 g/cm³ tendrá una velocidad de escape de apenas unos metros por segundo.

Los problemas de satélites a altura específica $como h = R_T$ te enseñan que la energía necesaria depende tanto de llegar a esa altura como de mantener la órbita. La energía cinética adicional para orbitar siempre es la mitad del módulo de la energía potencial a esa distancia.

Consejo práctico: Si un planeta tiene el mismo radio que la Tierra pero diferente masa, la aceleración gravitatoria será directamente proporcional a esa masa.

Los ejercicios con lunas orbitando planetas desconocidos te permiten usar la tercera ley de Kepler para determinar masas planetarias a partir de los periodos orbitales.

Sistemas Complejos y Densidades Uniformes $2015-2012$

Los problemas más avanzados combinan varios conceptos y requieren análisis paso a paso para llegar a la solución.

Para cuerpos con densidad uniforme como los ejercicios del cuerpo esférico de 600.000 km de diámetro, primero calculas la masa usando $M = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho$, donde la densidad se obtiene de la aceleración superficial. Estos problemas parecen complicados pero siguen la misma lógica básica.

Los satélites con periodos específicos como el de 12 horas te obligan a usar la tercera ley de Kepler modificada: $T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}r^3$. Una vez que tienes el radio orbital, puedes calcular la velocidad orbital fácilmente.

Los problemas de comparación entre planetas (como el que tiene tres veces la masa del Sol) te enseñan a usar proporciones. Si un planeta orbita una estrella de masa 3M_Sol con el mismo periodo que la Tierra, su radio orbital será $R = R_{Tierra} \sqrt[3]{3}$.

Truco de examen: En satélites con energía mecánica conocida, recuerda que $E = -\frac{GMm}{2r}$, así puedes despejar el radio directamente.

Para sistemas de dos planetas con densidades iguales pero radios diferentes, las aceleraciones gravitatorias se relacionan como los radios: $\frac{g_A}{g_B} = \frac{R_A}{R_B}$.

Puntos de Equilibrio y Momento Angular $2014-2011$

Los ejercicios sobre puntos donde se anula el campo gravitatorio son fundamentales para entender la superposición de campos.

Para encontrar puntos donde el campo gravitatorio es cero entre dos masas, planteas $\frac{GM_1}{r_1^2} = \frac{GM_2}{r_2^2}$, donde r₁ y r₂ son las distancias desde cada masa. En el problema del Sol y la Tierra, este punto está mucho más cerca de la Tierra debido a la enorme diferencia de masas.

Los satélites Meteosat geoestacionarios te permiten calcular el momento angular usando $L = mvr$. Como conoces el periodo (24 horas), puedes obtener la velocidad angular y de ahí la velocidad lineal.

Para satélites en órbitas elípticas como en el problema del 2011, usas la conservación del momento angular: $L = mv_p r_p = mv_a r_a$ (donde p = perigeo, a = apogeo). La velocidad areolar es constante e igual a $\frac{L}{2m}$.

Dato importante: En órbitas elípticas, la energía mecánica se conserva pero la velocidad cambia según la distancia al centro.

Los problemas de péndulos a diferentes altitudes combinan gravitación con oscilaciones. Recuerda que $g$ disminuye con la altura según $g_h = g_0(\frac{R}{R+h})^2$.

Órbitas Elípticas y Transferencias $2012-2011$

Las órbitas elípticas requieren conceptos más avanzados pero siguen patrones predecibles que puedes dominar.

En el problema del satélite en órbita elíptica de 2011, aplicas la conservación del momento angular entre perigeo y apogeo. Si conoces las distancias y la velocidad en un punto, puedes calcular la velocidad en el otro usando $v_p r_p = v_a r_a$.

Para transferencias entre órbitas, como llevar un satélite de radio 2,5R_T a 5R_T, necesitas calcular la diferencia de energías mecánicas. La energía en una órbita circular es siempre $E = -\frac{GMm}{2r}$.

Los ejercicios de velocidad de escape desde la Luna te enseñan a usar proporciones. Si $g_{Luna} = 0,166 g_{Tierra}$ y $R_{Luna} = 0,273 R_{Tierra}$, puedes calcular la velocidad de escape lunar sin necesidad de conocer las masas.

Consejo clave: Para satélites que "caen" hacia la Tierra, usa conservación de energía: $\frac{1}{2}mv_0^2 - \frac{GMm}{r_0} = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{GMm}{r_f}$.

Los problemas de planetas descubiertos con aceleraciones gravitatorias específicas te permiten practicar el cálculo de masas planetarias y energías mínimas para alcanzar órbitas.

Satélites Complejos y Sistemas Múltiples $2011-2010$

Los ejercicios más desafiantes involucran múltiples satélites o sistemas con varios cuerpos que requieren análisis cuidadoso.

Para comparar satélites con diferentes masas y órbitas, recuerda que la energía cinética es $E_c = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2r}$. Si dos satélites tienen la misma masa pero diferentes radios orbitales, el que está más cerca tiene mayor energía cinética.

Los problemas del sistema Luna-Tierra te enseñan a calcular la constante G a partir de datos orbitales. Usa la tercera ley de Kepler: $T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M_T + M_L)}r^3$, aunque como $M_T >> M_L$, puedes aproximar $M_T + M_L \approx M_T$.

Para asteroides en órbitas circulares con energía total conocida, aprovecha que en órbitas circulares $E_{total} = -E_{cinética} = \frac{E_{potencial}}{2}$. Si $E_{total} = -10^{10}$ J, entonces $E_{cinética} = 10^{10}$ J y $E_{potencial} = -2 \times 10^{10}$ J.

Regla de oro: En órbitas circulares, la energía cinética es siempre la mitad del módulo de la energía potencial.

Los ejercicios sobre cambio de órbitas te muestran que para ir de una órbita circular a otra de doble radio, la nueva velocidad será $v_2 = \frac{v_1}{\sqrt{2}}$.

Problemas Avanzados y Momento Angular (2010)

Los últimos ejercicios integran todos los conceptos en situaciones complejas que requieren dominio completo del tema.

Para sistemas de dos satélites orbitando el mismo planeta, usa que las fuerzas gravitatorias te permiten encontrar la relación de masas: si $F_A = 37F_B$ y conoces los radios, puedes calcular $\frac{m_A}{m_B}$ usando $F = \frac{GMm}{r^2}$.

Los problemas de velocidad areolar son clave: $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$ donde L es el momento angular. Para el satélite que barre 8210 km²/s, puedes calcular su momento angular y de ahí su periodo orbital.

El satélite Io de Júpiter te permite practicar cálculos reales con datos astronómicos. Con su periodo de 1,77 días y radio orbital de 4,22×10⁸ m, puedes determinar la masa de Júpiter usando la tercera ley de Kepler.

Fórmula final: Para el momento angular en órbitas circulares: $L = mr^2\omega = mr\sqrt{\frac{GM}{r}} = m\sqrt{GMr}$.

Los ejercicios sobre relación entre energías (potencial y cinética) en órbitas elípticas te preparan para los problemas más complejos de la EBAU. Recuerda que la energía mecánica total se conserva, pero se redistribuye entre cinética y potencial según la posición en la órbita.