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Matemàtiques404Actualizado 18 sept 20267 páginas

Matemàtiques: Equacions, Inequacions i Sistemes Complexos

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Berta Molina Olvera@bertamolinaolvera_tdhe

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Les equacions i inequacions són eines matemàtiques que t'ajuden a trobar valors desconeguts i resoldre problemes de la vida real. En aquest tema aprendràs a treballar amb diferents tipus d'equacions, des de les més senzilles fins a les més complexes amb arrels i fraccions.

Matemàtiques: equacions, inequacions i sistemes – página 1

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Equacions de primer i segon grau

Les equacions de segon grau segueixen la fórmula general ax² + bx + c = 0, i la pots resoldre amb la fórmula màgica: x = $-b ± √(b²-4ac)$ /2a. Aquesta fórmula sempre funciona!

Quan tens equacions incompletes, la feina és més fàcil. Si b = 0 $com 4x² + 100 = 0$ , només has d'aïllar x² i fer l'arrel quadrada. Si c = 0 $com 3x² - 21x = 0$ , treus factor comú x i obtens dues solucions: x = 0 i l'altra resolent l'equació restant.

Les identitats notables són els teus millors amics per desenvolupar expressions ràpidament: $a+b$ ² = a² + b² + 2ab, $a-b$ ² = a² + b² - 2ab, i $a+b$$a-b$ = a² - b². Memoritza-les perquè les utilitzaràs constantment!

💡 Truc: Sempre comprova les teves solucions substituint-les a l'equació original. És la manera més segura de saber si ho has fet bé.

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Altres tipus d'equacions

Les equacions biquadrades (ax⁴ + bx² + c = 0) semblen complicades, però tenen un truc genial: fes el canvi z = x² i resol com una equació normal de segon grau. Després, de cada valor de z, treus l'arrel quadrada per obtenir x.

Per exemple, x⁴ - 13x² + 36 = 0 es converteix en z² - 13z + 36 = 0. Resols aquesta i obtens z = 9 i z = 4, que et donen x = ±3 i x = ±2.

Les equacions amb parèntesis són súper senzilles: si tens un producte igual a zero, almenys un dels factors ha de ser zero. Simplement igualas cada parèntesi a zero i resols les equacions per separat.

💡 Consell: En les equacions amb denominador que contingui x, sempre comprova que les solucions no facin zero el denominador, perquè en aquest cas no serien vàlides.

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Equacions amb fraccions i mètodes especials

Quan tens equacions amb x al denominador, primer troba el mínim comú múltiple de tots els denominadors. Després multiplica tota l'equació per aquest mcm per eliminar les fraccions. És crucial comprovar que les solucions no anulin cap denominador!

El procés és sistemàtic: identifica els denominadors, calcula el mcm, multiplica l'equació completa per aquest valor i resol l'equació resultant. Sempre, sempre comprova les solucions al final.

Per exemple, si tens fraccions com $x+3$ /10 = 3/ $x(x+3)$ , multipliques tot per x $x+3$ ·10 i treballes amb l'equació simplificada que en resulta.

💡 Important: Una solució que faci zero un denominador s'anomena "solució estranya" i s'ha de rebutjar, encara que matemàticament sembli correcta.

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Equacions amb arrels

Les equacions amb arrels requereixen cura especial. Primer, aïlla l'arrel en un costat de l'equació i després eleva al quadrat ambdós costats per eliminar-la. Recorda que quan elevas al quadrat pots introduir solucions falses!

El procés és: aïllar l'arrel, elevar al quadrat (usant identitats notables si cal), resoldre l'equació resultant i sempre comprovar les solucions substituint-les a l'equació original.

Per exemple, amb √ $x²+7$ + 2 = 2x, aïlles √ $x²+7$ = 2x - 2, eleves al quadrat: x² + 7 = $2x-2$ ², desenvolupes i resols. Després comproves que les solucions funcionin realment.

💡 Alerta: Les arrels només poden tenir resultats positius o zero. Si una solució fa que l'arrel sigui negativa, és una solució falsa que has de descartar.

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Inequacions de primer i segon grau

Les inequacions funcionen com les equacions, però amb un detall crucial: quan multipliques o divideixes per un número negatiu, has de girar el signe de la desigualtat. És la regla més important que has de recordar!

Per a inequacions de primer grau, resol com una equació normal tenint en compte aquesta regla. Per exemple: -2x + 7 ≤ x/2 - 3 es converteix en x ≥ 4 després dels càlculs.

Les inequacions de segon grau necessiten una estratègia diferent: troba els zeros de l'equació associada, dibuixa aquests punts en una recta i comprova el signe en cada interval. Prova valors de cada zona per veure on es compleix la desigualtat.

💡 Truc visual: Dibuixa sempre la recta numèrica amb els zeros marcats. És la manera més segura de veure quin interval és la solució correcta.

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Llenguatge algebraic i sistemes

El llenguatge algebraic et permet traduir problemes de paraules a matemàtiques. La clau és identificar la incògnita (normalment x) i expressar totes les condicions del problema amb equacions o inequacions.

Per exemple: "La meitat d'un número menys deu és més petit que 7" es tradueix com x/2 - 10 < 7. Practica convertint frases quotidianes en expressions matemàtiques.

Els sistemes d'inequacions es resolen per separat: resols cada inequació individualment i després trobes la intersecció de totes les solucions. Utilitza la recta numèrica per visualitzar on coincideixen totes les condicions.

💡 Estratègia: Quan resolguis problemes de paraules, llegeix dues vegades, identifica què busques, defineix la variable i tradueix pas a pas cada condició.

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