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Actualizado Mar 22, 2026
•
Tema 3: Potencia, Eje Radical y Centro Radical en Geometría Plana
D
Diego García
@_diiegogarciia
1 / 7
Potencia de un Punto: El Concepto Clave
¿Sabías que desde cualquier punto exterior a una circunferencia, todas las líneas que traces hacia ella mantienen una relación matemática constante? Eso es exactamente lo que mide la potencia.
La potencia K de un punto P respecto a una circunferencia se calcula multiplicando los dos segmentos que se forman cuando trazas una secante desde P hasta la circunferencia: K = PA · PA'. Lo genial es que esta potencia es siempre la misma, sin importar qué secante elijas.
Si desde ese mismo punto P trazas una tangente a la circunferencia, la potencia también será K = PT². Esto significa que el segmento tangente PT es el medio proporcional entre los segmentos PA y PA' de cualquier secante.
💡 Recuerda: La potencia es constante para cualquier secante trazada desde el mismo punto. ¡Es como una "huella digital" matemática del punto!
Aplicación Práctica: Encontrar el Medio Proporcional
Imagínate que tienes que encontrar el medio proporcional entre dos segmentos dados . La potencia te da la solución perfecta.
El truco está en colocar el segmento menor B sobre el mayor A, dejando que un extremo sea tu punto P. Después, encuentras el centro de la parte que sobra y trazas cualquier circunferencia cuyo centro esté en la mediatriz de ese segmento.
Cuando traces el segmento tangente PT desde tu punto P a esta circunferencia, ¡ya tienes tu medio proporcional! Es así de sencillo porque PT = √(PA · PB).
💡 Tip de examen: Este método gráfico es mucho más rápido que los cálculos cuando trabajas con regla y compás.
Eje Radical: Cuando Dos Circunferencias se Relacionan
El eje radical es el lugar geométrico donde todos los puntos tienen la misma potencia respecto a dos circunferencias diferentes. Siempre es una recta perpendicular a la línea que une los centros de ambas circunferencias.
Dependiendo de cómo estén las circunferencias, el eje radical cambia de posición pero mantiene sus propiedades. Si las circunferencias son secantes, el eje radical pasa por los puntos de intersección. Si son tangentes, pasa por el punto de tangencia.
Cuando las circunferencias son exteriores (no se tocan), el eje radical sigue existiendo como una recta invisible entre ellas donde se cumple la condición de igual potencia.
💡 Visualízalo: Piensa en el eje radical como la "frontera neutral" donde ambas circunferencias tienen la misma "influencia" matemática.
Casos Especiales del Eje Radical
¿Qué pasa cuando quieres encontrar el eje radical entre una circunferencia y un punto? Aquí viene lo interesante: consideras el punto como una circunferencia de radio cero.
Para encontrarlo, trazas una circunferencia auxiliar que pase por el punto A y sea secante a la circunferencia dada. El eje radical buscado será perpendicular a la recta que une el centro O con el punto A.
Cuando trabajas con una circunferencia y una recta, consideras la recta como una circunferencia de radio infinito. En este caso, el eje radical coincide con la propia recta porque todos sus puntos tienen potencia cero respecto a sí misma.
💡 Concepto clave: Los casos especiales siguen las mismas reglas, solo necesitas "adaptar" cómo ves los elementos geométricos.
Circunferencias Coaxiales y Centro Radical
Las circunferencias coaxiales son familias de circunferencias que comparten el mismo eje radical. Sus centros siempre están alineados en una recta perpendicular a su eje radical común.
Para construir circunferencias coaxiales, tomas un punto T en el eje radical y trazas una circunferencia con centro en cualquier punto de la perpendicular al eje radical. El radio será siempre TK, donde K es la potencia del punto T.
El centro radical es el punto donde todos los puntos del plano tienen la misma potencia respecto a tres circunferencias. Para encontrarlo, calculas los tres ejes radicales (tomando las circunferencias de dos en dos) y donde se corten, ahí tienes tu centro radical.
💡 Para recordar: Dos circunferencias → eje radical (recta). Tres circunferencias → centro radical (punto).
Construcciones con Centro Radical
Encontrar el centro radical de tres circunferencias exteriores es pan comido: trazas los tres ejes radicales posibles y donde se corten las tres rectas tienes tu centro radical.
Cuando trabajas con dos circunferencias y una recta, primero encuentras el eje radical de las dos circunferencias. Después, como la recta es su propio eje radical con cualquier circunferencia, el centro radical estará donde se corten estos dos ejes radicales.
El proceso es siempre el mismo: reduces el problema a encontrar intersecciones de ejes radicales. Una vez que dominas el concepto básico, todas las construcciones siguen el mismo patrón lógico.
💡 Estrategia de resolución: Siempre busca primero los ejes radicales más fáciles de trazar, después encuentra sus intersecciones.
Caso Complejo: Circunferencias y Puntos
Calcular el centro radical de dos circunferencias y un punto requiere un poco más de ingenio, pero sigue la misma lógica de siempre.
Primero trazas el eje radical de las dos circunferencias O₁ y O₂ (esto ya lo sabes hacer). Después viene la parte interesante: para el eje radical entre una circunferencia y el punto A, necesitas una circunferencia auxiliar.
Trazas una circunferencia auxiliar secante a O₂ que pase por A. Encuentras el eje radical de esta auxiliar con O₂, y también el eje radical de la auxiliar con el punto A (que será la tangente a la auxiliar en A). Donde se corten estos dos ejes radicales, tienes un punto por donde pasa el eje radical de O₂ y A.
💡 Método paso a paso: Auxiliar → ejes radicales → intersección → solución. La clave está en no saltarse ningún paso.
Pensamos que nunca lo preguntarías...
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
LOS QUIZ Y FLASHCARDS SON SÚPER ÚTILES Y ME ENCANTA Knowunity IA. ADEMÁS ES LITERALMENTE COMO CHATGPT PERO MÁS LISTO!! ME AYUDÓ TAMBIÉN CON MIS PROBLEMAS DE MÁSCARA!! Y CON MIS ASIGNATURAS DE VERDAD! OBVIO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
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Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
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Marta
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Roberto
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Javier
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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
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Tema 3: Potencia, Eje Radical y Centro Radical en Geometría Plana
D
Diego García
@_diiegogarciia
La potencia de un punto respecto a una circunferencia es uno de los conceptos más útiles de la geometría. Te permite resolver problemas complejos usando relaciones sencillas entre segmentos y te da las herramientas para entender los ejes radicales y... Mostrar más
Potencia de un Punto: El Concepto Clave
¿Sabías que desde cualquier punto exterior a una circunferencia, todas las líneas que traces hacia ella mantienen una relación matemática constante? Eso es exactamente lo que mide la potencia.
La potencia K de un punto P respecto a una circunferencia se calcula multiplicando los dos segmentos que se forman cuando trazas una secante desde P hasta la circunferencia: K = PA · PA'. Lo genial es que esta potencia es siempre la misma, sin importar qué secante elijas.
Si desde ese mismo punto P trazas una tangente a la circunferencia, la potencia también será K = PT². Esto significa que el segmento tangente PT es el medio proporcional entre los segmentos PA y PA' de cualquier secante.
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Cuando traces el segmento tangente PT desde tu punto P a esta circunferencia, ¡ya tienes tu medio proporcional! Es así de sencillo porque PT = √(PA · PB).
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Eje Radical: Cuando Dos Circunferencias se Relacionan
El eje radical es el lugar geométrico donde todos los puntos tienen la misma potencia respecto a dos circunferencias diferentes. Siempre es una recta perpendicular a la línea que une los centros de ambas circunferencias.
Dependiendo de cómo estén las circunferencias, el eje radical cambia de posición pero mantiene sus propiedades. Si las circunferencias son secantes, el eje radical pasa por los puntos de intersección. Si son tangentes, pasa por el punto de tangencia.
Cuando las circunferencias son exteriores (no se tocan), el eje radical sigue existiendo como una recta invisible entre ellas donde se cumple la condición de igual potencia.
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Casos Especiales del Eje Radical
¿Qué pasa cuando quieres encontrar el eje radical entre una circunferencia y un punto? Aquí viene lo interesante: consideras el punto como una circunferencia de radio cero.
Para encontrarlo, trazas una circunferencia auxiliar que pase por el punto A y sea secante a la circunferencia dada. El eje radical buscado será perpendicular a la recta que une el centro O con el punto A.
Cuando trabajas con una circunferencia y una recta, consideras la recta como una circunferencia de radio infinito. En este caso, el eje radical coincide con la propia recta porque todos sus puntos tienen potencia cero respecto a sí misma.
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Circunferencias Coaxiales y Centro Radical
Las circunferencias coaxiales son familias de circunferencias que comparten el mismo eje radical. Sus centros siempre están alineados en una recta perpendicular a su eje radical común.
Para construir circunferencias coaxiales, tomas un punto T en el eje radical y trazas una circunferencia con centro en cualquier punto de la perpendicular al eje radical. El radio será siempre TK, donde K es la potencia del punto T.
El centro radical es el punto donde todos los puntos del plano tienen la misma potencia respecto a tres circunferencias. Para encontrarlo, calculas los tres ejes radicales (tomando las circunferencias de dos en dos) y donde se corten, ahí tienes tu centro radical.
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Construcciones con Centro Radical
Encontrar el centro radical de tres circunferencias exteriores es pan comido: trazas los tres ejes radicales posibles y donde se corten las tres rectas tienes tu centro radical.
Cuando trabajas con dos circunferencias y una recta, primero encuentras el eje radical de las dos circunferencias. Después, como la recta es su propio eje radical con cualquier circunferencia, el centro radical estará donde se corten estos dos ejes radicales.
El proceso es siempre el mismo: reduces el problema a encontrar intersecciones de ejes radicales. Una vez que dominas el concepto básico, todas las construcciones siguen el mismo patrón lógico.
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Calcular el centro radical de dos circunferencias y un punto requiere un poco más de ingenio, pero sigue la misma lógica de siempre.
Primero trazas el eje radical de las dos circunferencias O₁ y O₂ (esto ya lo sabes hacer). Después viene la parte interesante: para el eje radical entre una circunferencia y el punto A, necesitas una circunferencia auxiliar.
Trazas una circunferencia auxiliar secante a O₂ que pase por A. Encuentras el eje radical de esta auxiliar con O₂, y también el eje radical de la auxiliar con el punto A (que será la tangente a la auxiliar en A). Donde se corten estos dos ejes radicales, tienes un punto por donde pasa el eje radical de O₂ y A.
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Marta
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Erick
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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