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Julia Valle Ramírez
14/12/2025
Matemáticas
Vectores, rectas y planos y métrica en el espacio. Apuntes 2°Bachillerato
427
•
14 dic 2025
•
Julia Valle Ramírez
@juliavalleramrez_vkdi
¿Alguna vez te has preguntado cómo calcular distancias en el... Mostrar más
El producto escalar es tu mejor amigo para calcular ángulos: se define como u⃗·v⃗ = |u⃗||v⃗|cos(α). Con él puedes encontrar fácilmente el coseno del ángulo entre dos vectores.
Para calcular áreas, necesitas el producto vectorial. El área de un paralelogramo es |u⃗ × v⃗|, mientras que el área de un triángulo es la mitad de esto. El volumen de un paralelepípedo se calcula con el producto mixto .
Las ecuaciones de la recta tienen varias formas útiles. La paramétrica es (x,y,z) = (a,b,c) + λ(v₁,v₂,v₃), donde (a,b,c) es un punto conocido y (v₁,v₂,v₃) es el vector director. La continua se obtiene despejando el parámetro λ.
Truco importante: Para determinar la posición relativa de dos planos o dos rectas, calcula el determinante de sus vectores directores o normales. Si es cero, son paralelos o coincidentes; si no, se cortan.
Calcular ángulos entre rectas es sencillo usando la fórmula cos(α) = (v⃗ᵣ·v⃗ₓ)/(|v⃗ᵣ||v⃗ₓ|). Siempre tomas el ángulo menor, así que si obtienes más de 90°, resta de 180°. Para ángulos entre planos, usa sus vectores normales.
Las proyecciones te permiten encontrar el punto más cercano. Para proyectar un punto P sobre una recta, creas un punto genérico Q en la recta y usas la condición PQ⃗·v⃗ᵣ = 0. Esto te da el valor del parámetro λ y, por tanto, las coordenadas de la proyección.
Las distancias tienen fórmulas específicas según el caso. La distancia de un punto a un plano es d = |Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√. Para la distancia entre rectas que se cruzan, usas d = |PQ⃗·(v⃗ᵣ×v⃗ₓ)|/|v⃗ᵣ×v⃗ₓ|.
Consejo clave: Los puntos simétricos se calculan usando que el punto original y su simétrico están equidistantes del elemento de simetría (punto, recta o plano). La proyección siempre es el punto medio entre ambos.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
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Julia Valle Ramírez
@juliavalleramrez_vkdi
¿Alguna vez te has preguntado cómo calcular distancias en el espacio tridimensional o encontrar el ángulo entre dos planos? La geometría vectorial te da todas las herramientas matemáticas que necesitas para resolver estos problemas de forma elegante y precisa.
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El producto escalar es tu mejor amigo para calcular ángulos: se define como u⃗·v⃗ = |u⃗||v⃗|cos(α). Con él puedes encontrar fácilmente el coseno del ángulo entre dos vectores.
Para calcular áreas, necesitas el producto vectorial. El área de un paralelogramo es |u⃗ × v⃗|, mientras que el área de un triángulo es la mitad de esto. El volumen de un paralelepípedo se calcula con el producto mixto .
Las ecuaciones de la recta tienen varias formas útiles. La paramétrica es (x,y,z) = (a,b,c) + λ(v₁,v₂,v₃), donde (a,b,c) es un punto conocido y (v₁,v₂,v₃) es el vector director. La continua se obtiene despejando el parámetro λ.
Truco importante: Para determinar la posición relativa de dos planos o dos rectas, calcula el determinante de sus vectores directores o normales. Si es cero, son paralelos o coincidentes; si no, se cortan.
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Calcular ángulos entre rectas es sencillo usando la fórmula cos(α) = (v⃗ᵣ·v⃗ₓ)/(|v⃗ᵣ||v⃗ₓ|). Siempre tomas el ángulo menor, así que si obtienes más de 90°, resta de 180°. Para ángulos entre planos, usa sus vectores normales.
Las proyecciones te permiten encontrar el punto más cercano. Para proyectar un punto P sobre una recta, creas un punto genérico Q en la recta y usas la condición PQ⃗·v⃗ᵣ = 0. Esto te da el valor del parámetro λ y, por tanto, las coordenadas de la proyección.
Las distancias tienen fórmulas específicas según el caso. La distancia de un punto a un plano es d = |Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√. Para la distancia entre rectas que se cruzan, usas d = |PQ⃗·(v⃗ᵣ×v⃗ₓ)|/|v⃗ᵣ×v⃗ₓ|.
Consejo clave: Los puntos simétricos se calculan usando que el punto original y su simétrico están equidistantes del elemento de simetría (punto, recta o plano). La proyección siempre es el punto medio entre ambos.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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Julyana
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Javier
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Erick
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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
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Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
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