¿Alguna vez te has preguntado cómo calcular distancias en el...
Matemáticas631 visualizaciones·Actualizado 29 jun 2026·2 páginasVectores, Rectas, Planos y Métrica Espacial - Apuntes Selectividad 2025
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Julia Valle Ramírez@juliavalleramrez_vkdi
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Operaciones Vectoriales y Ecuaciones de Rectas y Planos
El producto escalar es tu mejor amigo para calcular ángulos: se define como u⃗·v⃗ = |u⃗||v⃗|cos(α). Con él puedes encontrar fácilmente el coseno del ángulo entre dos vectores.
Para calcular áreas, necesitas el producto vectorial. El área de un paralelogramo es |u⃗ × v⃗|, mientras que el área de un triángulo es la mitad de esto. El volumen de un paralelepípedo se calcula con el producto mixto [u⃗, v⃗, w⃗].
Las ecuaciones de la recta tienen varias formas útiles. La paramétrica es (x,y,z) = (a,b,c) + λ(v₁,v₂,v₃), donde (a,b,c) es un punto conocido y (v₁,v₂,v₃) es el vector director. La continua se obtiene despejando el parámetro λ.
Truco importante: Para determinar la posición relativa de dos planos o dos rectas, calcula el determinante de sus vectores directores o normales. Si es cero, son paralelos o coincidentes; si no, se cortan.
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Ángulos, Proyecciones y Distancias
Calcular ángulos entre rectas es sencillo usando la fórmula cos(α) = (v⃗ᵣ·v⃗ₓ)/(|v⃗ᵣ||v⃗ₓ|). Siempre tomas el ángulo menor, así que si obtienes más de 90°, resta de 180°. Para ángulos entre planos, usa sus vectores normales.
Las proyecciones te permiten encontrar el punto más cercano. Para proyectar un punto P sobre una recta, creas un punto genérico Q en la recta y usas la condición PQ⃗·v⃗ᵣ = 0. Esto te da el valor del parámetro λ y, por tanto, las coordenadas de la proyección.
Las distancias tienen fórmulas específicas según el caso. La distancia de un punto a un plano es d = |Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√. Para la distancia entre rectas que se cruzan, usas d = |PQ⃗·(v⃗ᵣ×v⃗ₓ)|/|v⃗ᵣ×v⃗ₓ|.
Consejo clave: Los puntos simétricos se calculan usando que el punto original y su simétrico están equidistantes del elemento de simetría (punto, recta o plano). La proyección siempre es el punto medio entre ambos.
Pensamos que nunca lo preguntarías...
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4.7/5Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elenausuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Anausuaria de iOS
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Julia Valle Ramírez@juliavalleramrez_vkdi
¿Alguna vez te has preguntado cómo calcular distancias en el espacio tridimensional o encontrar el ángulo entre dos planos? La geometría vectorial te da todas las herramientas matemáticas que necesitas para resolver estos problemas de forma elegante y precisa.
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Operaciones Vectoriales y Ecuaciones de Rectas y Planos
El producto escalar es tu mejor amigo para calcular ángulos: se define como u⃗·v⃗ = |u⃗||v⃗|cos(α). Con él puedes encontrar fácilmente el coseno del ángulo entre dos vectores.
Para calcular áreas, necesitas el producto vectorial. El área de un paralelogramo es |u⃗ × v⃗|, mientras que el área de un triángulo es la mitad de esto. El volumen de un paralelepípedo se calcula con el producto mixto [u⃗, v⃗, w⃗].
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Ángulos, Proyecciones y Distancias
Calcular ángulos entre rectas es sencillo usando la fórmula cos(α) = (v⃗ᵣ·v⃗ₓ)/(|v⃗ᵣ||v⃗ₓ|). Siempre tomas el ángulo menor, así que si obtienes más de 90°, resta de 180°. Para ángulos entre planos, usa sus vectores normales.
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