Vectores en el Espacio y Su Aplicación en Geometría

Conceptos básicos de vectores

Los vectores fijos son la base de todo - imagínatelos como flechas en el espacio que tienen tres características clave. La dirección es la línea sobre la que se apoya (vectores paralelos = misma dirección), el sentido va del punto inicial al final (solo hay dos opciones), y el módulo es su longitud, que escribes como ||AB||.

Los vectores equipolentes son como hermanos gemelos: mismo módulo, dirección y sentido, aunque estén en sitios diferentes del espacio. Por ejemplo, si AB = (3,5,7) y CB = (3,5,7), son equipolentes aunque empiecen en puntos distintos.

Un vector libre agrupa a un vector fijo con todos sus equipolentes - es el concepto que usamos normalmente en matemáticas. Las operaciones básicas son súper directas: sumas componente a componente $(3,5,7) + (2,-1,-8) = (5,4,-1)$ y el producto por un número real cambia el módulo pero mantiene la dirección.

¡Ojo! Si k es negativo, el vector cambia de sentido completamente.

Dependencia lineal y bases

La dependencia lineal suena raro pero es simple: unos vectores son dependientes cuando uno se puede escribir como combinación de los otros. Si puedes poner 2v₁ + v₂ - v₃ = 0, entonces son dependientes. También lo puedes comprobar calculando el rango de la matriz que forman.

Los vectores linealmente independientes son lo contrario: ninguno se puede expresar usando los otros. Para tres vectores en el espacio, esto pasa cuando el determinante de su matriz es distinto de cero.

Una base es un conjunto de vectores que son independientes y que además pueden generar cualquier vector del espacio. La base canónica de R³ es {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} - la más sencilla de todas.

Para encontrar las coordenadas de un vector respecto a una base, tienes que expresarlo como combinación lineal de los vectores de esa base. Por ejemplo, si v = (4,3,5) = 1(1,1,0) + 2(0,1,1) + 3(1,0,1), entonces sus coordenadas en esa base son (1,2,3).

Consejo clave: La base canónica siempre facilita los cálculos, pero a veces te tocarán bases más raras en los exámenes.

Bases especiales y producto escalar

Las bases ortogonales tienen vectores perpendiculares entre sí (su producto escalar es 0), mientras que las ortonormales además tienen módulo 1. Son especialmente útiles porque simplifican muchísimo los cálculos.

El sistema de referencia combina un punto origen O con una base del espacio. Normalmente usamos O(0,0,0) y la base canónica para que todo sea más fácil. El vector de posición OP de un punto P(x,y,z) tiene las mismas coordenadas que el punto.

El producto escalar u·v = ||u|| ||v|| cos(θ) es una operación fundamental que te da un número, no otro vector. Tiene propiedades súper importantes: es conmutativo, distributivo, y cuando vale 0 significa que los vectores son perpendiculares.

Truco infalible: Si el producto escalar de dos vectores no nulos es cero, son perpendiculares. ¡Úsalo para comprobar perpendicularidad rápidamente!

Aplicaciones del producto escalar

La fórmula en coordenadas del producto escalar es sencillísima: u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. Con u = $2,3,-5$ y v = $-1,4,-6$, sale u·v = 2$-1$ + 3(4) + -5$$-6 = 40.

Para comprobar si una base es ortogonal, verificas que el producto escalar entre cada par de vectores sea 0. Si además quieres que sea ortonormal, cada vector debe tener módulo 1.

El módulo de un vector se calcula como ||u|| = √$x₁² + x₂² + z₃²$. Es la distancia del origen al punto que representa el vector.

El ángulo entre vectores lo sacas con cos(θ) = (u·v)/(||u|| ||v||), y luego aplicas arcoseno. La proyección de v sobre u es Proy_u$v$ = (u·v)/||u||, que te dice cuánto de v va en la dirección de u.

Para el examen: Estas fórmulas son básicas y aparecen constantemente. Memorízalas bien porque las vas a necesitar en problemas más complejos.

Producto vectorial

El producto vectorial u × v te da otro vector (no un número como el escalar) que es perpendicular a ambos vectores originales. Su módulo es ||u|| ||v|| sen(θ), su dirección es perpendicular al plano que forman u y v, y el sentido sigue la regla de la mano derecha.

Las propiedades clave que debes recordar: si uno de los vectores es nulo, el resultado es nulo. Si los vectores son paralelos, también da el vector nulo. No es conmutativo: u × v = -v × u.

La expresión analítica se calcula con un determinante 3×3 donde la primera fila son los vectores unitarios i, j, k. Para u$1,7,-3$ y v$-5,0,4$: u × v = (28,11,35).

Los productos de la base canónica siguen un patrón: i × j = k, j × k = i, k × i = j, y en sentido contrario dan el vector opuesto.

Regla de oro: El producto vectorial es perpendicular a los dos vectores originales. Úsalo para encontrar vectores perpendiculares rápidamente.

Producto mixto y aplicaciones geométricas

El área del paralelogramo formado por dos vectores es exactamente ||u × v||. Para un triángulo, divides entre 2. Es una aplicación súper práctica del producto vectorial.

El producto mixto [u,v,w] = u·(v × w) te da un número que representa el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores. Se calcula como el determinante de la matriz 3×3 que forman.

Las propiedades del producto mixto incluyen que es cíclico: [u,v,w] = [v,w,u] = [w,u,v], y cambia de signo si intercambias dos vectores. Si vale 0, los tres vectores son coplanarios (están en el mismo plano).

Para calcular volúmenes: el del paralelepípedo es |[u,v,w]| y el del tetraedro es |[u,v,w]|/6. Estas fórmulas aparecen frecuentemente en problemas de geometría analítica.

Aplicación práctica: Si tienes que comprobar si tres vectores son coplanarios, calcula su producto mixto. Si da 0, están en el mismo plano.