Transcripción alternativa:

√2 2 = tg45°=1 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO 60⁰ X 60⁰ sen 60⁰= A 30° x/2 √3x 2 X h = sen 60⁰ = √√3 2 √√3 2 1 cos² a h=₁/x². cos 60°= b sen²α + cos² α = X X cos 60°= sen²α + cos² α cos² a = 1 2 =1/12 = 4 RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS B sen a 4= cos a b b sen²α cos² α 3x² + V4 a с = √3x tg 60°= 2 = √3 X 2 √3x 2 - (J) + ( )² - ² + ² - ² - ₁ = 1 tg60°=V3 cos² a cos a = tg a -=tg a +1 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO 30⁰ 60⁰ x/2 sen 30º = 30° X 2 X h 1 2 sen 30º = 30º = 1/2 \α cos 30º = b √3x 2 X B a -√x²-x²-√³x² √³x √√3x 4 2 h=₁x √√3 cos 30º = 2 √√3 tg 30°= 3x tg α = 4 RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS X 2 tg 30°= 2 tg²a + 1 = sen a cos a √√3 3 sen²α + cos² α = 1 1 1 cos a 3 RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS √2 3 Si el coseno de un ángulo a vale ¿cuál es el seno de este ángulo? ¿Y la tangente? sen²a + cos² α = 1 sen²a + sen²α = 1 sen²α = sen α = 3 9 √√7 sen a 20 cos a <0 tg a ≤0 180º 2 sen a ≤0 cos a ≤0 tg a 20 3 = 1 B sen ß RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA sen y tg α = cos B COS Y 90⁰ W pet sen a cos a 270⁰ cos a a √7 3 √2 3 cos d A sen a = sen 8 √√7 √14 √2 2 D = sen a 20 cos a>0 tg a 20 0º sen a ≤0 cos a>0 tg a ≤0 180⁰ CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA Segundo cuadrante cos² Tercer cuadrante sen α+ cos² α = 1 ( + cos² α = 1 α = COS α = cos² α=1- 90⁰ ¹-(3) 270⁰ 3 cos a Halla el coseno y la tangente de a si sen α = RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA a Radio 1 tga= Primer cuadrante A (cos a, sen a) Cuarto cuadrante sen a sen a cos a 1 3 √8 3 Las coordenadas del punto A son el valor de coseno y seno de a 0º y = ≤ast. 1 √8 8 4 RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Ángulos Suplementarios 180⁰-a a sen (180°-a)= = sen a cos (180°-a)= = -cos a tg (180°-a)=-tg a RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Ángulos opuestos -α sen(-a)= = -sen α cos(-a)= = cos a tg (-a)=-tg a RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Ángulos que difieren en 180° a+180° Fa 900 RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Ángulos Complementarios sen (a +180°) = -sen a cos (a +180°) = -cos a tg (a +180°) = tg a tra sen (90°-a)= cos a cos (90° -α) = sen a tg (90° –a)=cotg a RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Halla las razones trigonométricas del ángulo de 330°. sen 330°= sen (360° -30°) = sen (-30°) = -s a Datos: √√3 cos 330°= cos (360° -30°) = cos(-30°) = cos (30°) = 2 C-18 sen A tg 330⁰= Ejemplo: Dos ángulos y un lado. Hallar a sen 330⁰ cos 330° c=63m A = 83⁰ B = 42° RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA C sen C -83° -42° - 55° 1 a sen 83⁰ 2 63 sen 55⁰ =-sen (30°) -1 b a? √√3 3 → a=63.. A 83⁰ sen 83⁰ sen 55⁰ 1 2 63m 42° B -= 76,34 m RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA Teorema del seno a sen A a Demostración: b sen B sen C h sen A= →h=b.sen A b h sen B==→h=a.sen B a Datos: = с b sen B a = 4cm b=5 cm B = 30° b ·b·sen Aa.sen B→ RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA Ejemplo: Dos lados y el ángulo opuesto. Hallar A C Si A = 156° 25' 19" → A+B >180° 5cm a sen A 4 sen A 5 sen 30⁰ = sen A →sen A4.sen 30º 5 Dos posibles soluciones: A = 23° 34' 41" y A₂ 4cm A a b sen B C 30º -= 0,4 B B = 156° 25' 19" A = 23° 34' 41" RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA Teorema del coseno 8 cm a 36° a²=b²+c²-2bc-cos A b²=a²+c²-2ac cos B c² = a² + b² - 2ab-cos 4 b LONGITUDES, ÁREAS Y VOLÚMENES Ejemplo: Halla la apotema y el área de un pentágono regular de lado 8 cm. C α = 360° 5 tg (36⁰)= 4 a a → a = 72°→>> Área = P.a 2 B →9= = 36⁰ 4 tg (36⁰) 40.5'51 2 = 5'51cm -=110'2cm RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA Ejemplo: Dos lados y el ángulo que forman. Hallar b Datos: a = 1200m c = 700m B = 108⁰ 70° 4 m h 1200m 4 m b b²=a²+c²-2ac-cos. ⇒b=√√1200² +700²-2-1200-700-cos 108° b = 1564,97 m Ejemplo: Calcula el área lateral y total de la figura. 4 sen 20⁰ LONGITUDES, ÁREAS Y VOLÚMENES B 108⁰ = Â=90°-70° -20° h sen 70° 700m →h= 4 sen 70° sen 20⁰ A = 10'99m ALATERAL = 4.4.10'99=175'84 m² ATOTAL = 2.4.4+175'84 m² = 207'84 m² Ejemplo: Calcula el volumen de la figura. B LONGITUDES, ÁREAS Y VOLÚMENES Â 16 cm R 7 cm B Â= 360° 5 =72°Â+2B = 180° → B = 54° 7 sen 72° A BASE= Volumen = a²=5'95²-3'5² ⇒a=4'81cm R sen 54° p.a 2 = →R=5'95 cm 7.5.4'81 2 base altura 3 -=84'18 cm² 84'18-16 3 = 448'96 cm³