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Matemáticas
12 dic 2025
629
10 páginas
🙃 @holy_moly
¡La trigonometría no tiene por qué ser tu pesadilla! En estas páginas vas a descubrir cómo dominar desde... Mostrar más
¿Sabías que puedes medir ángulos de dos formas completamente diferentes? Los grados (que ya conoces) y los radianes son como dos idiomas distintos para hablar de lo mismo.
Para convertir entre ellos, recuerda que 360° = 2π radianes. Así, 45° se convierte en π/4 radianes, y 3π radianes son 270°. Tu calculadora científica hace estas conversiones automáticamente siguiendo los pasos indicados.
Las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) son las herramientas básicas que necesitas dominar. En un triángulo rectángulo sen = cateto opuesto/hipotenusa, cos = cateto adyacente/hipotenusa, y tan = cateto opuesto/cateto adyacente.
¡Truco! Para resolver triángulos rectángulos solo necesitas conocer dos datos la hipotenusa y un cateto, dos catetos, la hipotenusa y un ángulo, o un cateto y un ángulo. ¡Con eso ya puedes encontrar todo lo demás!
Cuando tienes un triángulo rectángulo, puedes usar el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas básicas. Pero ¿qué pasa cuando el triángulo no tiene ángulo recto?
Para triángulos cualquiera necesitas armas más potentes el teorema del seno y el teorema del coseno. El teorema del seno dice que a/senA = b/senB = c/senC, y es perfecto cuando conoces algunos lados y ángulos opuestos.
El teorema del coseno es tu mejor aliado cuando tienes dos lados y el ángulo entre ellos, o cuando conoces los tres lados. Es como una versión mejorada del teorema de Pitágoras.
¡Importante! Siempre recuerda que en cualquier triángulo, la suma de los ángulos internos es 180°. Esto te ayudará a encontrar el tercer ángulo fácilmente.
La trigonometría no es solo teoría aburrida, ¡tiene aplicaciones súper útiles en la vida real! Puedes calcular la altura de una montaña, la anchura de un río o la distancia entre dos puntos inaccesibles.
Para medir la altura de una montaña, necesitas dos ángulos de elevación desde puntos separados una distancia conocida. Usas las relaciones h/ = tg α y h/x = tg β para resolverlo.
La anchura de un río se calcula formando un triángulo donde conoces un lado (la distancia que caminas por la orilla) y dos ángulos. Aplicas el teorema del seno para encontrar la anchura.
¡Dato curioso! Los agrimensores, arquitectos e ingenieros usan estas técnicas constantemente. ¡Estás aprendiendo matemáticas que se usan en profesiones reales!
Imagínate una circunferencia de radio 1 centrada en el origen. Aquí es donde la trigonometría se vuelve realmente poderosa, porque puedes trabajar con cualquier ángulo, no solo los de 0° a 90°.
En cada cuadrante, el seno y coseno tienen diferentes signos primer cuadrante (+,+), segundo cuadrante (+,-), tercer cuadrante (-,-), cuarto cuadrante (-,+). El punto P tiene coordenadas (cos x, sen x).
La relación fundamental sen²x + cos²x = 1 es tu mejor amiga. También tienes 1 + cotg²x = cosec²x y tg²x + 1 = sec²x. Con estas fórmulas puedes calcular todas las razones trigonométricas conociendo solo una.
¡Clave del éxito! El seno y coseno NUNCA pueden ser mayores que 1 en valor absoluto. Si te sale un resultado mayor, revisa tus cálculos.
¿Te has preguntado cómo se relacionan los ángulos de diferentes cuadrantes? ¡Hay patrones súper útiles que te ahorrarán mucho tiempo!
Entre el primer y segundo cuadrante sen x = sen, pero cos x = -cos. Entre el primer y tercer cuadrante ambos cambian de signo. Entre el primer y cuarto cuadrante solo el seno cambia de signo.
Para ángulos negativos, recuerda que sen(-α) = -sen α, pero cos(-α) = cos α. Y cuando dos ángulos suman 90°, sus senos y cosenos se intercambian sen α = cos β y cos α = sen β.
¡Estrategia ganadora! Memoriza los signos de cada cuadrante con la regla "Solo Todos Con Tangente" en el 1er cuadrante todo es positivo, en el 2do solo seno, en el 3er solo tangente, en el 4to solo coseno.
Las fórmulas de suma y diferencia son herramientas increíblemente poderosas que te permiten descomponer ángulos complejos en otros más simples.
Para la suma sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β, y cos(α + β) = cos α cos β - sen α sen β. Para la diferencia, cambias algunos signos sen(α - β) = sen α cos β - cos α sen β.
La tangente tiene su propia fórmula tg(α + β) = /. Estas fórmulas son especialmente útiles cuando trabajas con ángulos como 75° (45° + 30°) o 15° (45° - 30°).
¡Consejo pro! Practica estas fórmulas con ángulos conocidos como 30°, 45° y 60°. Una vez que domines los cálculos básicos, los problemas complejos se vuelven mucho más fáciles.
El ángulo doble tiene fórmulas específicas súper útiles sen(2x) = 2sen x cos x, cos(2x) = cos²x - sen²x, y tg(2x) = 2tg x/. Estas aparecen constantemente en los exámenes.
Para el ángulo mitad usas las raíces sen = ±√ y cos = ±√. El signo depende del cuadrante donde esté x/2.
Las identidades trigonométricas son igualdades que siempre se cumplen. Para demostrarlas, transforma un lado hasta que sea igual al otro usando las relaciones fundamentales. Es como resolver un puzzle matemático.
¡Técnica infalible! Para las identidades, trabaja siempre con el lado más complicado primero. Usa las relaciones fundamentales y las definiciones básicas para simplificar paso a paso.
Las ecuaciones trigonométricas te piden encontrar todos los ángulos que satisfacen una condición. La clave está en recordar que las funciones trigonométricas son periódicas.
Para ecuaciones tipo seno sen x = a tiene soluciones x = arcsen(a) + 360°k y x = 180° - arcsen(a) + 360°k, donde k es cualquier número entero.
Para ecuaciones tipo coseno cos x = a da x = arccos(a) + 360°k y x = -arccos(a) + 360°k. Para la tangente tg x = a resulta en x = arctg(a) + 180°k.
¡Atención especial! Siempre verifica que tus soluciones estén en el intervalo pedido. Las funciones trigonométricas se repiten, así que puede haber infinitas soluciones teóricas.
Cuando aparece una ecuación trigonométrica cuadrática como 2sen²x + sen x - 1 = 0, trata la función trigonométrica como una variable normal.
Sustituye sen x = t y resuelve la ecuación cuadrática 2t² + t - 1 = 0 usando la fórmula general. Obtienes t = 1/2 y t = -1, que significa sen x = 1/2 y sen x = -1.
Ahora resuelves cada ecuación trigonométrica básica por separado. sen x = 1/2 da x = 30° + 360°k y x = 150° + 360°k. sen x = -1 da x = 270° + 360°k.
¡Método infalible! Siempre haz la sustitución primero, resuelve la ecuación algebraica, y luego regresa a las ecuaciones trigonométricas básicas. ¡No te saltes pasos!
El proceso para resolver ecuaciones trigonométricas de segundo grado es sistemático y predecible. Primero identificas los coeficientes a, b y c, luego aplicas la fórmula cuadrática.
En el ejemplo 2sen²x + sen x - 1 = 0, tienes a = 2, b = 1, c = -1. La fórmula te da sen x = (-1 ± 3)/4, resultando en sen x = 1/2 y sen x = -1.
Cada valor obtenido genera sus propias soluciones trigonométricas. sen x = 1/2 corresponde a 30° y 150° (más sus múltiplos de 360°), mientras que sen x = -1 solo da 270° (más múltiplos de 360°).
¡Verificación final! Siempre sustituye tus respuestas en la ecuación original para comprobar que son correctas. Un pequeño error de cálculo puede llevarte por el camino equivocado.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
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Herramientas Inteligentes NUEVO
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Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
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@holy_moly
¡La trigonometría no tiene por qué ser tu pesadilla! En estas páginas vas a descubrir cómo dominar desde los conceptos más básicos hasta resolver ecuaciones complejas. Te aseguro que con las fórmulas y técnicas que verás aquí, podrás enfrentarte a... Mostrar más
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¿Sabías que puedes medir ángulos de dos formas completamente diferentes? Los grados (que ya conoces) y los radianes son como dos idiomas distintos para hablar de lo mismo.
Para convertir entre ellos, recuerda que 360° = 2π radianes. Así, 45° se convierte en π/4 radianes, y 3π radianes son 270°. Tu calculadora científica hace estas conversiones automáticamente siguiendo los pasos indicados.
Las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) son las herramientas básicas que necesitas dominar. En un triángulo rectángulo: sen = cateto opuesto/hipotenusa, cos = cateto adyacente/hipotenusa, y tan = cateto opuesto/cateto adyacente.
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El teorema del coseno es tu mejor aliado cuando tienes dos lados y el ángulo entre ellos, o cuando conoces los tres lados. Es como una versión mejorada del teorema de Pitágoras.
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Para la suma: sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β, y cos(α + β) = cos α cos β - sen α sen β. Para la diferencia, cambias algunos signos: sen(α - β) = sen α cos β - cos α sen β.
La tangente tiene su propia fórmula: tg(α + β) = /. Estas fórmulas son especialmente útiles cuando trabajas con ángulos como 75° (45° + 30°) o 15° (45° - 30°).
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Para el ángulo mitad usas las raíces: sen = ±√ y cos = ±√. El signo depende del cuadrante donde esté x/2.
Las identidades trigonométricas son igualdades que siempre se cumplen. Para demostrarlas, transforma un lado hasta que sea igual al otro usando las relaciones fundamentales. Es como resolver un puzzle matemático.
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Para ecuaciones tipo coseno: cos x = a da x = arccos(a) + 360°k y x = -arccos(a) + 360°k. Para la tangente: tg x = a resulta en x = arctg(a) + 180°k.
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Sustituye sen x = t y resuelve la ecuación cuadrática 2t² + t - 1 = 0 usando la fórmula general. Obtienes t = 1/2 y t = -1, que significa sen x = 1/2 y sen x = -1.
Ahora resuelves cada ecuación trigonométrica básica por separado. sen x = 1/2 da x = 30° + 360°k y x = 150° + 360°k. sen x = -1 da x = 270° + 360°k.
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En el ejemplo 2sen²x + sen x - 1 = 0, tienes a = 2, b = 1, c = -1. La fórmula te da sen x = (-1 ± 3)/4, resultando en sen x = 1/2 y sen x = -1.
Cada valor obtenido genera sus propias soluciones trigonométricas. sen x = 1/2 corresponde a 30° y 150° (más sus múltiplos de 360°), mientras que sen x = -1 solo da 270° (más múltiplos de 360°).
¡Verificación final! Siempre sustituye tus respuestas en la ecuación original para comprobar que son correctas. Un pequeño error de cálculo puede llevarte por el camino equivocado.
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Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Izan
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