Transcripción alternativa:

a a: longitud de_la_hipotenusa longitud_del_cateto_opuesto_a_a Secante de a es la razón entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto contiguo a a: longitud de_la_hipotenusa sec α = BC__ y = AC X AB h ВС У AB h == longitud_del_cateto_contiguo _a_a AC X = Cotangente de a es la razón entre la longitud del cateto contiguo a a y la longitud del cateto opuesto a a: longitud_del_cateto_contiguo_a_α cot aga = AC X = BC y longitud_del_cateto_ opuesto_a_α Estas relaciones se llaman razones trigonométricas del ángulo a Nota: Como en un triángulo rectángulo los catetos siempre son menores que la hipotenusa el seno y el coseno de un ángulo toman valores entre 0 y 1. 7.1.2 LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEPENDEN DEL ÁNGULO PERO NO DEL TRIÁNGULO Estos dos triángulos son semejantes, por tanto las razones trigonómetricas dependen del ángulo no del triángulo. Tema 7: Trigonometria - Matemáticas B -4° ESO 7.2 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES 7.2.1 RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 4° 4° 4° 4º Por las definiciones: cosec α = X² h2 1 sen a + ² · *- - () ---() h² y² sec α = Como es un triángulo rectángulo se cumple el teorema de Pitágoras: x² + y² =h² Dividiendo por x, y², h² respectivamente, obtenemos h² ¹ + ( )* - ()*²= ⇒1+ 1 A Por tanto: U Por tanto: sen 45º = h² ›()* ·())*· h² h² 7.2.2 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 30°, 45° Y 60° Razones trigonométricas de 45° 1. 1 1 sen 30º = 1 cos a sen 60º = 1 √2 √√2 2 Razones trigonométricas de 30º y 60° cotag α = a= 1 +1= ⇒1 + cotag² α = cosec² a 2 √√3 2 ⇒1+tag² α = sec² a 1 tago. = 1 = sen² α + cos² α = 1 cos 45º= La hipotenusa de este triángulo rectángulo isósceles mide: h= √√1² + 1² = √2 cos 30º = cos 60° = tag o= 1 √2 Calculamos la altura de este triángulo equilátero: = 4 V4 3212 √2 √3 sen a cos a 2 tag 45° = 1 3 √3 3 tag 60° = V/3 tag 30º = Tema 7: Trigonometría - Matemáticas B -4° ESO UTILIZACIÓN DE LA CALCULADORA EN TRIGONOMETRÍA 7.3.1 SELECCIÓN DEL MODO DEG (GRADOS SEXAGESIMALES) 7.3 4° 4⁰ 4° "MODE" + "4" 4° 7.3.2 ANOTAR ÁNGULOS. TECLA**"* La tecla "sirve para expresar en forma decimal un ángulo dado en grados, minutos y segundos: 57° 8' 24" ⇒ 57° 8°24°57,14 grados Precedida de la tecla “INV" hace lo contrario: pasa de grados a grados, minutos y segundos 57,14 grados ⇒ 57,14 "INV" °57° 8' 24" 7.3.3 UTILIZACIÓN DE LAS TECLAS “SIN", "COS”, “TAN" Hallar la razón trigonométrica de un ángulo Calcular sen 47° : 47 "sin" ""⇒0,731353701 Hallar un ángulo conocida una de sus razones trigonométricas Si tag a = 1,34 calcular a : 1,34 "INV” “TAN” “=”⇒ 53,26717334 "INV"°" ⇒ 53° 16' 2" Hallar una razón trigonométrica conociendo otra ● Si sen α = 0,84 hallar tag a : 0,84 "INV" "SIN" ⇒ 57,1401962 "TAN" ⇒ 1,54814054 7.4 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 7.4.1 INTRODUCCIÓN Resolver un triángulo es hallar uno o más elementos desconocidos (lados o ángulos) a partir de algunos elementos conocidos: Relación entre sus ángulos : A+B+C = 180°, A = 90° ⇒ B+C = 90° Relación entre sus lados: Teorema de Pitágoras : x² + y² =h² Relación entre lados y ángulos: Razones trigonométricas Tema 7: Trigonometria - Matemáticas B-4° ESO 4° 49 4° 4" 4° 4⁰ 4⁰ 4° 7.4.2 CONOCIDOS DOS LADOS 4° ● ● ● El tercer lado se obtiene mediante el teorema de Pitágoras Uno de los ángulos agudos se halla a partir de la razón trigonométrica que lo relaciona con los dos lados conocidos. . El otro ángulo se halla teniendo en cuenta que los dos ángulos agudos suman noventa grados. 7.4.3 CONOCIDOS UN LADO Y UN ÁNGULO 7.5 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUALESQUIERA 5 El otro lado se halla mediante la razón trigonométrica que lo relaciona con el lado y el ángulo conocido Se aplica Pitágoras para hallar el tercer lado El otro ángulo se halla teniendo en cuenta que los dos ángulos agudos suman noventa grados. 7.4.4 ESTRATEGIA DE LA ALTURA PARA RESOLVER TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Cualquier triángulo no rectángulo puede ser resuelto, aplicando los métodos de resolución de triángulos rectángulos, mediante la estrategia de la altura. Consiste en elegir adecuadamente una de las alturas del triángulo de modo que, al trazarla, se obtengan dos triángulos rectángulos resolubles con los datos que se poseen. ● 7.5.1 CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA Trazamos una circunferencia de radio 1. Tomamos un sistema de referencia de coordenadas con el origen en el centro de la circunferencia. Los ángulos se sitúan sobre la circunferencia del siguiente modo: ● Su vértice es el centro de la circunferencia Uno de los lados coincide con el semieje positivo de las X El otro lado se sitúa donde corresponda, abriéndose el ángulo en el sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. 7.5.2 SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO ENTRE 0° Y 360° Si situamos un ángulo agudo, o, sobre la circunferencia goniométrica, cos a y sen a son, respectivamente, las coordenadas x e y del punto A en el que el segundo lado del ángulo corta a la circunferencia. Tema 7: Trigonometría - Matemáticas B - 4º ESO 4⁰ 7.5.3 SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LOS CUADRANTES 4° 4" 4⁰ CUADRANTES 1º 2° 3⁰ 4º DIBUJO ÁNGULO 0º < α<90° 90°< a < 180° 180° <a<270° 270° < a < 360° SEN a COS a + + I + + TAG a + 7.5.4 ÁNGULOS DE MEDIDAS CUALESQUIERA Los valores comprendidos entre 0° y 360° nos permiten medir cualquier ángulo. Pero también podemos darle sentido a otras medidas. Por ejemplo, podemos interpretar 400° como una vuelta completa (360°) más un ángulo de 40º. Es decir, 400°- 360° + 40°. Las razones trigonométricas de 400° serán, pues, las mismas que las de 40°. Por ello si tenemos un ángulo mayor que 360° lo dividimos entre 360° (para suprimir el número de vueltas completas) y dicho ángulo tendrá las mismas razones trigonométricas que el ángulo obtenido en el resto de dicha división. 7.5.5 ANGULOS NEGATIVOS Si un ángulo es positivo se dibuja en sentido contrario de las agujas del reloj. Si un ángulo es negativo se dibuja en el sentido de las agujas del reloj. Si un ángulo es negativo y lo queremos convertir en positivo le sumamos una vuelta completa (es decir, 360°)