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Matemáticas
1 dic 2025
328
7 páginas
María García Jiménez @meriigarcia
La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados... Mostrar más
¿Sabías que hay diferentes maneras de medir ángulos además de los grados que ya conoces? En trigonometría usamos tres sistemas principales.
El sistema sexagesimal es el más familiar un ángulo recto mide 90°. El sistema centesimal divide el ángulo recto en 100 partes, mientras que el sistema radián es especial porque relaciona el ángulo con la circunferencia.
Un radián es la medida del ángulo que abarca un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Es como "desenrollar" el radio sobre el perímetro de la circunferencia.
💡 Dato curioso Tu calculadora puede trabajar en cualquiera de estos sistemas, solo tienes que cambiar el modo.
Las razones trigonométricas son cocientes (divisiones) entre los lados de un triángulo rectángulo. Como todos los triángulos rectángulos con el mismo ángulo son proporcionales, estas razones siempre dan el mismo resultado para cada ángulo.
Imagínate que tienes un triángulo rectángulo y solo conoces algunos de sus datos. ¡Las razones trigonométricas te permiten encontrar todo lo que falta!
Las tres razones básicas son seno , coseno y tangente . Con estas fórmulas puedes resolver cualquier triángulo rectángulo.
Para resolver un triángulo rectángulo necesitas conocer tres elementos (incluyendo al menos un lado). Después usas las razones trigonométricas y el teorema de Pitágoras según corresponda.
💡 Truco Si conoces el seno de un ángulo, puedes hallar fácilmente el coseno y la tangente usando las relaciones fundamentales sen²α + cos²α = 1.
Existe una relación muy útil tg α = sen α / cos α. Esto significa que si conoces dos de estas razones, automáticamente conoces la tercera.
La circunferencia goniométrica es tu mejor herramienta para entender la trigonometría más allá de los triángulos rectángulos. Es una circunferencia de radio 1 centrada en el origen de coordenadas.
Lo genial de esta circunferencia es que cualquier punto (x,y) sobre ella cumple que x² + y² = 1. Cuando trazas un ángulo desde el eje x positivo, el punto donde corta la circunferencia tiene coordenadas muy especiales.
Las coordenadas de ese punto son precisamente (cos α, sen α). Es decir, sen α = y y cos α = x. La tangente se calcula como tg α = y/x.
💡 Visualízalo El seno es la altura del punto, el coseno es su posición horizontal, y la tangente es la pendiente de la recta que une el origen con el punto.
Los ángulos complementarios (que suman 90°) tienen una propiedad curiosa sen(90° - α) = cos α y cos(90° - α) = sen α. ¡Se intercambian!
Los ángulos pueden relacionarse de formas muy útiles, y conocer estas relaciones te ahorra muchísimo trabajo en los cálculos.
Los ángulos suplementarios suman 180°. Si tienes α y 180° - α, sus puntos en la circunferencia goniométrica son simétricos respecto al eje y. Esto significa que sen(180° - α) = sen α, pero cos(180° - α) = -cos α.
Para ángulos que difieren en 180°, los puntos son simétricos respecto al origen. Aquí sen(180° + α) = -sen α y cos(180° + α) = -cos α, pero tg(180° + α) = tg α.
💡 Regla práctica En cada cuadrante, solo una o dos razones trigonométricas son positivas. En el primero todas, en el segundo solo el seno, en el tercero solo la tangente, y en el cuarto solo el coseno.
Los ángulos opuestos (que suman 360°) tienen puntos simétricos respecto al eje x. Por eso sen(-α) = -sen α, pero cos(-α) = cos α.
Las funciones trigonométricas tienen una característica súper útil son periódicas, es decir, se repiten cada cierta cantidad de grados.
Cuando agregas 360° (o 2π radianes) a cualquier ángulo, obtienes exactamente las mismas razones trigonométricas. Esto ocurre porque das una vuelta completa y terminas en el mismo punto de la circunferencia.
Matemáticamente sen = sen α, cos = cos α y tg = tg α, donde k es cualquier número entero.
💡 ¿Por qué es importante? Esta propiedad es clave para resolver ecuaciones trigonométricas, porque cada ecuación puede tener infinitas soluciones.
También es fundamental recordar el signo de cada razón en cada cuadrante. En el primer cuadrante todas son positivas, en el segundo solo el seno, en el tercero solo la tangente, y en el cuarto solo el coseno.
¿Qué pasa cuando tu triángulo no tiene un ángulo recto? ¡No te preocupes! Existen dos teoremas poderosos que resuelven cualquier triángulo.
El teorema del seno establece que en cualquier triángulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos a/sen A = b/sen B = c/sen C.
Esta relación es increíblemente útil cuando conoces algunos ángulos y lados, pero no todos. Te permite encontrar elementos desconocidos mediante proporciones simples.
💡 Cuándo usarlo El teorema del seno es perfecto cuando conoces dos ángulos y un lado, o dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos.
El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras. Para cualquier triángulo a² = b² + c² - 2bc·cos A. Se puede aplicar a cualquier lado y su ángulo opuesto correspondiente.
Saber cuándo usar cada teorema es clave para resolver triángulos eficientemente. La elección correcta te ahorra tiempo y cálculos complicados.
Usa el teorema del seno cuando conozcas ángulos y algunos lados correspondientes. Usa el teorema del coseno cuando tengas principalmente información sobre lados, o cuando conozcas dos lados y el ángulo entre ellos.
Los ángulos notables (30°, 45°, 60°, 90°) aparecen constantemente y es fundamental memorizar sus razones trigonométricas. Por ejemplo sen 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, sen 45° = cos 45° = √2/2.
💡 Truco de memoria Los ángulos 30° y 60° son complementarios, por eso sen 30° = cos 60° y cos 30° = sen 60°.
Recuerda que 60° y 120° son suplementarios, lo que explica por qué cos 120° = -cos 60° = -1/2. Estas relaciones te permiten deducir razones trigonométricas sin calculadora.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
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María García Jiménez
@meriigarcia
La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Es fundamental para resolver problemas geométricos y aparece constantemente en física, ingeniería y muchas otras áreas.
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¿Sabías que hay diferentes maneras de medir ángulos además de los grados que ya conoces? En trigonometría usamos tres sistemas principales.
El sistema sexagesimal es el más familiar: un ángulo recto mide 90°. El sistema centesimal divide el ángulo recto en 100 partes, mientras que el sistema radián es especial porque relaciona el ángulo con la circunferencia.
Un radián es la medida del ángulo que abarca un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Es como "desenrollar" el radio sobre el perímetro de la circunferencia.
💡 Dato curioso: Tu calculadora puede trabajar en cualquiera de estos sistemas, solo tienes que cambiar el modo.
Las razones trigonométricas son cocientes (divisiones) entre los lados de un triángulo rectángulo. Como todos los triángulos rectángulos con el mismo ángulo son proporcionales, estas razones siempre dan el mismo resultado para cada ángulo.
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Para resolver un triángulo rectángulo necesitas conocer tres elementos (incluyendo al menos un lado). Después usas las razones trigonométricas y el teorema de Pitágoras según corresponda.
💡 Truco: Si conoces el seno de un ángulo, puedes hallar fácilmente el coseno y la tangente usando las relaciones fundamentales: sen²α + cos²α = 1.
Existe una relación muy útil: tg α = sen α / cos α. Esto significa que si conoces dos de estas razones, automáticamente conoces la tercera.
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Las coordenadas de ese punto son precisamente (cos α, sen α). Es decir, sen α = y y cos α = x. La tangente se calcula como tg α = y/x.
💡 Visualízalo: El seno es la altura del punto, el coseno es su posición horizontal, y la tangente es la pendiente de la recta que une el origen con el punto.
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Para ángulos que difieren en 180°, los puntos son simétricos respecto al origen. Aquí sen(180° + α) = -sen α y cos(180° + α) = -cos α, pero tg(180° + α) = tg α.
💡 Regla práctica: En cada cuadrante, solo una o dos razones trigonométricas son positivas. En el primero todas, en el segundo solo el seno, en el tercero solo la tangente, y en el cuarto solo el coseno.
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Matemáticamente: sen = sen α, cos = cos α y tg = tg α, donde k es cualquier número entero.
💡 ¿Por qué es importante?: Esta propiedad es clave para resolver ecuaciones trigonométricas, porque cada ecuación puede tener infinitas soluciones.
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El teorema del seno establece que en cualquier triángulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos: a/sen A = b/sen B = c/sen C.
Esta relación es increíblemente útil cuando conoces algunos ángulos y lados, pero no todos. Te permite encontrar elementos desconocidos mediante proporciones simples.
💡 Cuándo usarlo: El teorema del seno es perfecto cuando conoces dos ángulos y un lado, o dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos.
El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras. Para cualquier triángulo: a² = b² + c² - 2bc·cos A. Se puede aplicar a cualquier lado y su ángulo opuesto correspondiente.
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Los ángulos notables (30°, 45°, 60°, 90°) aparecen constantemente y es fundamental memorizar sus razones trigonométricas. Por ejemplo: sen 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, sen 45° = cos 45° = √2/2.
💡 Truco de memoria: Los ángulos 30° y 60° son complementarios, por eso sen 30° = cos 60° y cos 30° = sen 60°.
Recuerda que 60° y 120° son suplementarios, lo que explica por qué cos 120° = -cos 60° = -1/2. Estas relaciones te permiten deducir razones trigonométricas sin calculadora.
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Pablo
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