Transcripción alternativa:

a² 3 a = 4a 5x² 1 5 15 x Grado Coeficientes 5x3+7x² + 3x +9 Términos SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS Se suman O restan los términos semejantes. Valor numérico de un monomio es el valor que se obtiene cuando se sustituyen las letras por números. 5x² + 2x - 4 Para x = -3 El resto de términos se dejan indicados. ΕΙ resultado se expresa ordenado de mayor a menor según sus grados. Hay que tener en cuenta las reglas de los signos. SUMA (4x³ + 5x-6) + (3x³ - 2x² + 7x) 4x³+ 5x-6 + 3x³ - 2x² + 7x 7x³2x² + 12x - 6 RESTA (2x6+4x5 + 3x²-x+10) 2x6 + 4x5 -x6 + 3x5 +5x³ Dos polinomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. -(x6-3x55x³ + 8x + 10) POLINOMIOS PARTES DE UN POLINOMIO +3x²-x+10 - 8x - 10 Termino ¡Como pues observar en el ejemplo, la resta hace que el segundo polinomio cambie sus signos! independiente El grado es el mayor exponente de entre todos los términos Variable 5-(-3)2 + 5.9-6-4 + 2(-3) -4 = 45 10 35 PRODUCTO DE POLINOMIOS POLINOMIO POR UN MONOMIO Se multiplica el monomio por cada término del polinomio Se utiliza la propiedad distributiva Los grados se suman 4x² (3x³2x² + 6x) = = 4x² 3x³+4x² (-2x²)+4x²6x = = 12x5 - 8x¹ + 24x³ POLINOMIO POR UN POLINOMIO Todos por todos Los grados se suman (x² + 3xy)(5y + 4x - 5) = 5x³y + 4x² -5x² + 15 xy² + 12x²y − 15xy 17x³y + 4x³ - 5x² + 15 xy² - 15xy PRODUCTOS NOTABLES Cuadrado de una suma (a + b)² Cuadrado de primero + Doble del primero por el segundo + Cuadrado del segundo (a + b)² a² + 2ab + b² Cuadrado de una diferencia (a - b)² Cuadrado de primero Doble del primero por el segundo + Cuadrado del segundo (a - b)² a² - 2ab + b² Suma por diferencia (a + b)-(a - b) Cuadrado del primero Cuadrado del segundo (a + b). (a - b) a²-6² DIVISIÓN DE POLINOMIOS Podemos realizar divisiones de polinomios al igual que las divisiones con números enteros. (6x5 + x4 +0x³+4x²-7x+1) (2x²+x-3) -6x5-3x4 +9x³ +3x³x² + 5x-2 - 2x4 +9x³+4x² +2x4+ x³ 3x² ● +10x³ + x² - 7x -10x³-5x² +15x 4x² + 8x +1 +4x² + 2x-6 + 10x - 5 -1 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Factorizar un polinomio es descomponerlo como producto del menor grado posible. Regla de Ruffini (x±a) Los polinomios deben estar ordenados de mayor a menor grado. Si nos dan el divisor, aplicarlos CON EL SIGNO CONTRARIO Si NO nos dan el divisor, calcular con los divisores del término independiente. En el siguiente ejemplo (+6), probaremos con sus divores ±1, ±2, ±3, ±6, hasta que nos dé resto 0 2 3 1 0 1 0 1 0 1 P(x) = x³7x6=0 Falta el término x² P(x)= x³-4x²+x+6 -4 1 -1 5 -5 6 <-----0 2 -6 -3 0 3 0 1 1. Dividimos en primer término del dividendo entre en primero del divisor. ¡ATENDIENDO A LAS REGLAS DE LOS SIGNOS! 2. Multiplicamos nuestro C por el resto de divisores y restamos en el D. 2 3. Calculamos la operación y bajamos en siguiente número hasta acabar con todo el D. Como resultado, indicamos que x vale al número contrario a los divisores y al último resultado. P(x)= x³ -4x²+x+6 = x(x+1)(x-2)(x-3) -3 ¡RECUERDA! Si el polinomio no es completo, dejamos el hueco del grado que falta. PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN SOLUCIÓN 1 1 0 1 1 1 2 1 3 -3 0 -7 6 -6 1 Nuevo término independiente; los divisores a probar serán los de -3, que son: ±3 y ±1. 0 Nuevo término independiente -6 6 -6 0 6 P(x) = x³-7x - 6 = x (x - 1)(x-2)(x + 3) Teorema del resto Obtenemos el resto de la división Se realiza en divisiones de polinomios con divisor (x±a). En este caso sustituimos la parte literal por el divisor igualado P(x) = (x³ -5x + 17) : (x + 3) En primer lugar, igualamos el divisor x = -3 Sustituimos la parte literal por su divisor igualado: (-3)³ -5(-3) + 17. Siendo su resultado = 5 Teorema del factor Obtenemos factores del polinomio Un polinomio tiene como factor a un binomio (x±a) si al hacer la sustitución de a por x, el resto es 0. Si no nos dan el binomio, podemos probar por los divisores del término independiente (x-2x³ + x² + x - 1) tiene por factor (x - 1) x-2x³ + x² + x - 1) es divisible por (x - 1) sólo si al sustituir x por su valor igualado 1, el resultado es 0 P(1) 142.1³+ 1²+1 − 1 = 1 − 2 +1 +1 -1 = 0 (x-1) es un factor del polinomio FRACCIONES ALGEBRAICAS Las fracciones algebraicas son aquellas que pueden representarse una fracción de dos expresiones algebraicas que contienen números y letras. = Su denominador debe ser un polinomio que su resultado no sea 0. Para simplificar fracciones algebraicas debemos fijarnos en si hay factores comunes. 2y² 2y²y² (Números o letras iguales en ambas partes de la fracción) 10x 10x 5x Tienen en común un 2, por lo que lo elimino Ejemplo de Ruffini y ecuaciones x³ + x²-8x-12 x-x³-6x² Se descompone el numerador por Ruffini: 1 En la simplificación, podemos aplicar cualquier operaciones que hasta ahora hemos visto (Ruffini, identidades notables, ecuaciones...) Por eso, debes fijarte bien en los polinomios que nos dan 1 -8-12 -2 2 12 -1 -6 0 3 6 1 2 0 Entonces, x³ + x²-8x-12 = (x + 2)²-(x-3) x²-x³-6x² = x²(x²-x-6)=0 -2 3 1 Ecuación de segundo grado X= 1± √(-1)²-4-1-(-6) 1± √1+24_1±5 2.1 = (x+2) -b± √b²-4ac 2a (3 2 1-2 2 Sustituyo y despejo x³ + x²-8x-12 (x + 2)²-(x-3) x²-x³-6x² x²(x+2)(x-3) (X³-5x - 1) tiene por factor (x-3) (X³-5x - 1) es divisible por (x-3) sólo si al sustituir x por su valor igualado 3, el resultado es 0 P(3) 3³-5-3 -1 = 27-15-1 # 0 (x - 3) no es un factor. (x+2) x² = Ejemplo de identidades notables x² + 4x + 4 x² -4 A (x) B(x) B(x) = 0 x² + 4x + 4 = x + 2 2x+2²2 = (x + 2)² Sustituyo x² + 4x + 4 x²-4 (x + 2)² (x+2) (x-2) Despejo (x+2) (x + 2) 2)(x-2) (x-2) =