Matemáticas

Descomposición de Figuras Geométricas

Volumen Aditivo

316

•

4 ene 2026

•

17 páginas

Guía Completa de Matemáticas II para 2º de Bachillerato

PAU

@pauuuuu2025

¡Prepárate para dominar uno de los temas más importantes de... Mostrar más

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$# MATRICES - DETERMINANTES - SISTEMAS $\times$ $\Delta = m \times n$ Matrices $\times$ Dim $\Delta = m \times n$ $m = filas$ $n = columna$

Matrices y Determinantes

¿Sabías que las matrices están en todo, desde videojuegos hasta predicciones del tiempo? Una matriz es simplemente una tabla de números organizados en filas y columnas.

Las dimensiones de una matriz se escriben como m×n, donde m son las filas y n las columnas. Cuando m=n tienes una matriz cuadrada, que es especial porque solo estas pueden tener determinante.

Hay varios tipos importantes: las matrices simétricas $donde aij = aji$ , las triangulares (con ceros arriba o abajo de la diagonal), y la matriz identidad (con unos en la diagonal y ceros en el resto). Para multiplicar matrices, recuerda que el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda.

El determinante solo existe para matrices cuadradas y se calcula desarrollando por cualquier fila o columna. Si el determinante es distinto de cero, la matriz tiene inversa y se llama regular.

¡Truco clave! Si intercambias dos filas de una matriz, el determinante cambia de signo. Si una fila es múltiplo de otra, el determinante es cero.

$# MATRICES - DETERMINANTES - SISTEMAS $\times$ $\Delta = m \times n$ Matrices $\times$ Dim $\Delta = m \times n$ $m = filas$ $n = columna$

Sistemas de Ecuaciones

Los sistemas de ecuaciones aparecen constantemente en problemas reales, desde calcular precios hasta optimizar recursos. La clave está en dominar el teorema de Rouché-Frobenius.

Tienes tres tipos de sistemas: compatible determinado (una única solución), compatible indeterminado (infinitas soluciones), e incompatible (sin solución). Todo depende de comparar el rango de la matriz de coeficientes A con el rango de la matriz ampliada A'.

El método de Gauss es tu mejor amigo para resolver sistemas. Conviertes el sistema en una matriz triangular haciendo ceros por debajo de la diagonal. El método de Cramer funciona solo cuando tienes el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante es distinto de cero.

Los sistemas homogéneos (todos los términos independientes son cero) siempre tienen al menos la solución trivial (todas las variables igual a cero).

¡Importante! En Cramer, cada incógnita se calcula sustituyendo la columna correspondiente por los términos independientes.

$# MATRICES - DETERMINANTES - SISTEMAS $\times$ $\Delta = m \times n$ Matrices $\times$ Dim $\Delta = m \times n$ $m = filas$ $n = columna$

Fundamentos de Probabilidad

La probabilidad te ayuda a entender la incertidumbre del mundo real, desde juegos hasta predicciones meteorológicas. Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no puedes predecir con certeza.

El espacio muestral E contiene todos los resultados posibles. Los sucesos son subconjuntos del espacio muestral y se nombran con mayúsculas. Dos sucesos son incompatibles cuando no pueden ocurrir a la vez: P(A∩B) = 0.

Las fórmulas básicas son tu arsenal: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) para la unión, y P $A/B$ = P(A∩B)/P(B) para la probabilidad condicionada. Las leyes de Morgan te dicen que el contrario de una unión es la intersección de los contrarios.

Los sucesos son independientes cuando P(A∩B) = P(A)·P(B). Esto significa que el resultado de uno no afecta al otro.

¡Cuidado! Dos sucesos incompatibles nunca son independientes (salvo casos triviales). Es un error muy común en exámenes.

$# MATRICES - DETERMINANTES - SISTEMAS $\times$ $\Delta = m \times n$ Matrices $\times$ Dim $\Delta = m \times n$ $m = filas$ $n = columna$

Probabilidad Avanzada y Teoremas

Dominar estos conceptos te dará ventaja en cualquier examen de probabilidad. La probabilidad condicionada P $A/B$ te dice la probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B.

Para experimentos compuestos usa diagramas de árbol: son visuales y evitan errores. Cuando los experimentos son independientes, P(A∩B∩C) = P(A)·P(B)·P(C). Si son dependientes, necesitas las probabilidades condicionadas.

La probabilidad total te permite calcular P(B) cuando conoces las probabilidades condicionadas: P(B) = Σ P(Ai∩B). El teorema de Bayes va en sentido contrario: P $Ai/B$ = P(Ai∩B)/P(B).

Estos teoremas son fundamentales para problemas de diagnósticos médicos, control de calidad o cualquier situación donde necesites "dar la vuelta" a una probabilidad condicionada.

¡Estrategia! En problemas complejos, siempre dibuja un diagrama de árbol. Te ahorrará tiempo y errores.

$# MATRICES - DETERMINANTES - SISTEMAS $\times$ $\Delta = m \times n$ Matrices $\times$ Dim $\Delta = m \times n$ $m = filas$ $n = columna$

Distribuciones de Probabilidad

Las distribuciones modelan fenómenos aleatorios de forma matemática. La distribución binomial B(n,p) cuenta éxitos en n experimentos independientes con probabilidad p de éxito.

Sus parámetros son: media μ = n·p y desviación típica σ = √(n·p·q), donde q = 1-p. La probabilidad de exactamente k éxitos es P $X=k$ = C(n,k)·p^k·q^ $n-k$ .

Cuando n es grande (n·p ≥ 5 y n·q ≥ 5), puedes aproximar la binomial por la normal aplicando la corrección por continuidad (±0.5). La distribución normal N(μ,σ) es la más importante en estadística.

Para calcular probabilidades normales, tipificas usando Z = $X-μ$ /σ, convirtiendo a la normal estándar N(0,1). Recuerda que las tablas solo dan probabilidades acumuladas P(Z ≤ z₀).

¡Esencial! Siempre verifica las condiciones antes de aproximar: n·p ≥ 5 y n·q ≥ 5. Sin esto, la aproximación es incorrecta.

$# MATRICES - DETERMINANTES - SISTEMAS $\times$ $\Delta = m \times n$ Matrices $\times$ Dim $\Delta = m \times n$ $m = filas$ $n = columna$

Dominios y Límites

Calcular dominios correctamente es fundamental para todo lo que viene después. Los polinomios tienen dominio ℝ, las racionales excluyen donde se anula el denominador, las radicales de índice par necesitan radicando ≥ 0.

Los límites te permiten estudiar el comportamiento de funciones. Las indeterminaciones $0/0, ∞/∞, ∞-∞, 1^∞$ requieren técnicas especiales: factorización, simplificación, multiplicar por el conjugado.

Para límites ∞/∞ con polinomios, compara los grados: si el numerador tiene mayor grado → ±∞, si tienen igual grado → cociente de coeficientes principales, si el denominador tiene mayor grado → 0.

Las indeterminaciones ∞-∞ se resuelven agrupando términos, y 1^∞ usando la fórmula e^(lim f(x)·ln g(x)) donde la base tiende a 1 y el exponente a ∞.

¡Truco! Con radicales, multiplica y divide por el conjugado. Es la técnica que más funciona en bachillerato.

$# MATRICES - DETERMINANTES - SISTEMAS $\times$ $\Delta = m \times n$ Matrices $\times$ Dim $\Delta = m \times n$ $m = filas$ $n = columna$

Continuidad y Derivadas

La regla de L'Hôpital es tu salvavidas para indeterminaciones 0/0 y ∞/∞: deriva numerador y denominador por separado hasta resolver la indeterminación.

Una función es continua en x=a si existe f(a), existe el límite cuando x tiende a a, y ambos coinciden. Las discontinuidades pueden ser evitables (redefiniendo la función), de salto finito (límites laterales distintos pero finitos), o de salto infinito.

La derivada f'(a) mide la pendiente de la recta tangente en el punto. Si una función es derivable, entonces es continua, pero no al revés. Las reglas de derivación básicas incluyen la suma, producto, cociente y regla de la cadena.

Los teoremas fundamentales como Bolzano (si f es continua en [a,b] y cambia de signo, entonces se anula) y el teorema del valor medio son esenciales para entender el comportamiento de funciones.

¡Importante! Para derivar funciones compuestas, aplica la regla de la cadena: deriva "de fuera hacia dentro" multiplicando las derivadas.

$# MATRICES - DETERMINANTES - SISTEMAS $\times$ $\Delta = m \times n$ Matrices $\times$ Dim $\Delta = m \times n$ $m = filas$ $n = columna$

Aplicaciones de las Derivadas

Memoriza la tabla de derivadas básicas: x^n → n·x^ $n-1$ , e^x → e^x, ln x → 1/x, sen x → cos x, cos x → -sen x. Para funciones compuestas, multiplica por la derivada de la función interior.

El estudio de la monotonía usa la primera derivada: f'(x)>0 → función creciente, f'(x)<0 → función decreciente. Los extremos relativos ocurren donde f'(x)=0: si f''(x)>0 es un mínimo, si f''(x)<0 es un máximo.

La ecuación de la recta tangente en (a,f(a)) es: y - f(a) = f'(a) $x - a$ . Esta fórmula aparece constantemente en problemas de optimización y aproximaciones lineales.

El teorema de Rolle y el teorema del valor medio conectan las propiedades geométricas de las funciones con sus derivadas, proporcionando herramientas potentes para demostrar propiedades.

¡Clave! Si x=c es un extremo relativo y la función es derivable ahí, entonces f'(c)=0. Es condición necesaria pero no suficiente.

$# MATRICES - DETERMINANTES - SISTEMAS $\times$ $\Delta = m \times n$ Matrices $\times$ Dim $\Delta = m \times n$ $m = filas$ $n = columna$

Representación Gráfica de Funciones

Representar funciones gráficamente integra todo lo que has aprendido. Empieza siempre calculando el dominio, luego busca simetrías: f(x)=f $-x$ es par (simétrica respecto al eje Y), f $-x$ =-f(x) es impar (simétrica respecto al origen).

Las asíntotas marcan el comportamiento en los extremos: verticales donde la función tiende a ±∞ (busca en puntos excluidos del dominio), horizontales donde el límite en ±∞ es finito, oblicuas y=mx+n cuando no hay horizontales.

Para funciones con valor absoluto, encuentra dónde se anula la expresión interior, estudia el signo en cada intervalo, y redefine la función quitando el valor absoluto. La gráfica nunca estará por debajo del eje X.

Las funciones racionales pueden tener todos los tipos de asíntotas. Las exponenciales y logarítmicas tienen comportamientos característicos que debes conocer de memoria.

¡Método! Sigue siempre el mismo orden: dominio, simetrías, asíntotas, monotonía, extremos, curvatura. Te dará gráficas perfectas.

$# MATRICES - DETERMINANTES - SISTEMAS $\times$ $\Delta = m \times n$ Matrices $\times$ Dim $\Delta = m \times n$ $m = filas$ $n = columna$

Cálculo Integral

Una primitiva o integral indefinida de f(x) es una función F(x) tal que F'(x) = f(x). Se escribe ∫f(x)dx = F(x) + k, donde k es la constante de integración.

Las integrales inmediatas incluyen: ∫x^n dx = x^ $n+1$ / $n+1$ + k $si n≠-1$ , ∫dx/x = ln|x| + k, ∫e^x dx = e^x + k. Para funciones compuestas, necesitas que aparezca la derivada de la función interior.

El método de sustitución consiste en cambiar la variable: si t = g(x), entonces dt = g'(x)dx. Elige sustituciones que simplifiquen la integral. La integración por partes usa ∫u dv = uv - ∫v du; mnemotécnica ALPES $Arco, Logaritmo, Polinomio, Exponencial, Seno/Coseno$ para elegir u.

Para fracciones racionales con denominador de grado 2, factoriza el denominador y usa fracciones simples si es necesario. Si el discriminante es negativo, necesitarás técnicas especiales.

¡Estrategia! Practica reconocer el tipo de integral de un vistazo. Con experiencia, elegirás el método correcto automáticamente.

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!

Sophia

usuario de Android

Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

usuaria de Android

La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.

Izan

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

Julyana

usuaria de Android

Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

Javier

usuario de Android

Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

Erick

usuario de Android

Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!

Mar

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Pablo

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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

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¡Truco clave! Si intercambias dos filas de una matriz, el determinante cambia de signo. Si una fila es múltiplo de otra, el determinante es cero.

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Los sistemas homogéneos (todos los términos independientes son cero) siempre tienen al menos la solución trivial (todas las variables igual a cero).

¡Importante! En Cramer, cada incógnita se calcula sustituyendo la columna correspondiente por los términos independientes.

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Los sucesos son independientes cuando P(A∩B) = P(A)·P(B). Esto significa que el resultado de uno no afecta al otro.

¡Cuidado! Dos sucesos incompatibles nunca son independientes (salvo casos triviales). Es un error muy común en exámenes.

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Las distribuciones modelan fenómenos aleatorios de forma matemática. La distribución binomial B(n,p) cuenta éxitos en n experimentos independientes con probabilidad p de éxito.

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Para calcular probabilidades normales, tipificas usando Z = $X-μ$ /σ, convirtiendo a la normal estándar N(0,1). Recuerda que las tablas solo dan probabilidades acumuladas P(Z ≤ z₀).

¡Esencial! Siempre verifica las condiciones antes de aproximar: n·p ≥ 5 y n·q ≥ 5. Sin esto, la aproximación es incorrecta.

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¡Importante! Para derivar funciones compuestas, aplica la regla de la cadena: deriva "de fuera hacia dentro" multiplicando las derivadas.

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La ecuación de la recta tangente en (a,f(a)) es: y - f(a) = f'(a) $x - a$ . Esta fórmula aparece constantemente en problemas de optimización y aproximaciones lineales.

El teorema de Rolle y el teorema del valor medio conectan las propiedades geométricas de las funciones con sus derivadas, proporcionando herramientas potentes para demostrar propiedades.

¡Clave! Si x=c es un extremo relativo y la función es derivable ahí, entonces f'(c)=0. Es condición necesaria pero no suficiente.

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Para fracciones racionales con denominador de grado 2, factoriza el denominador y usa fracciones simples si es necesario. Si el discriminante es negativo, necesitarás técnicas especiales.

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