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Matemáticas
11 dic 2025
594
4 páginas
Sofia Jiménez @sofiliez
Las derivadas son una herramienta fundamental del cálculo que te permite entender cómo cambian las funciones. Imagínatelas como... Mostrar más
¿Alguna vez te has preguntado cómo calcular la velocidad exacta de un coche en un momento preciso? Eso es exactamente lo que hace una derivada mide la rapidez del cambio de una función en un punto específico.
La definición por límites puede parecer intimidante al principio, pero es bastante lógica. La fórmula f'(x₀) = lim /h básicamente compara el valor de la función en un punto con el valor muy cerca de ese punto. Cuando el ejemplo muestra f(x) = x² en x = 1, el resultado f'(1) = 2 significa que la función está "subiendo" con una pendiente de 2 en ese punto.
Las reglas de derivación son como fórmulas mágicas que te ahorran tiempo. Para funciones potenciales como xⁿ, simplemente bajas el exponente y lo multiplicas por delante f'(x) = n·x^. Las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas tienen sus propias reglas específicas que debes memorizar.
💡 Tip clave No intentes memorizar todas las reglas de golpe. Practica primero con potenciales y exponenciales, que son las más comunes en los exámenes.
Aquí viene una de las partes más importantes no todas las funciones se pueden derivar en todos los puntos, ¡y eso está bien! Una función debe ser continua para ser derivable, pero una función continua no siempre es derivable.
Para que una función sea derivable en un punto, las derivadas laterales (por la izquierda y por la derecha) deben coincidir. El ejemplo de f(x) con x² y 3x-2 lo demuestra perfectamente aunque la función es continua en x = 2, las derivadas laterales son 4 y 3 respectivamente, así que no es derivable ahí.
El proceso de estudio siempre sigue el mismo patrón primero verificas el dominio, luego la continuidad y finalmente la derivabilidad. Es como subir escalones cada paso depende del anterior.
💡 Recuerda Si una función tiene un "pico" o esquina en un punto, probablemente no sea derivable ahí, aunque sí sea continua.
Los ejercicios de encontrar parámetros para que una función sea derivable en todo su dominio son súper frecuentes en exámenes. La clave está en plantear las condiciones de continuidad y derivabilidad como un sistema de ecuaciones.
En el segundo ejemplo, la función g(x) resulta derivable en todos los reales porque tanto la continuidad como las derivadas laterales coinciden en x = -2. Es el caso ideal todo funciona perfectamente sin necesidad de ajustar parámetros.
El tercer ejemplo es más desafiante porque debes encontrar los valores de m y n. Primero igualas los límites laterales para garantizar continuidad , y luego igualas las derivadas laterales para la derivabilidad . El resultado m = 2 y n = -1 hace que la función sea perfecta en todo su dominio.
💡 Estrategia de examen Siempre verifica tus resultados sustituyendo los valores encontrados en las condiciones originales.
Las derivadas de orden superior (f'', f''', etc.) son simplemente derivadas de derivadas. Son especialmente útiles en física para estudiar aceleración y movimientos complejos.
La derivación implícita te salva cuando no puedes despejar y de una ecuación. El truco está en derivar ambos lados respetando la regla de la cadena cada vez que derives una y, multiplicas por y'. En el ejemplo y³ - 7x² + 5y²x + 13 = 0, obtienes una expresión para y' sin necesidad de despejar y primero.
La derivación logarítmica es perfecta para funciones donde la variable aparece tanto en la base como en el exponente, como y = x^x. Aplicando logaritmo natural a ambos lados, conviertes un problema complicado en algo manejable.
La regla de L'Hôpital es tu as bajo la manga para resolver límites indeterminados del tipo 0/0. Simplemente derivas numerador y denominador por separado hasta que el límite se pueda calcular.
💡 Consejo final Estas técnicas avanzadas parecen difíciles, pero con práctica se vuelven automáticas. Úsalas cuando los métodos básicos no funcionen.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.
10
Herramientas Inteligentes NUEVO
Transforma estos apuntes en: ✓ 50+ Preguntas de Práctica ✓ Flashcards Interactivas ✓ Examen Completo de Práctica ✓ Esquemas de Ensayo
fórmulas de probabilidad
MatemáticasCon todos los dibujos para entender mejor las fórmulas como AUB
MatemáticasEjercicios resueltos de vistas diedricas
MatemáticasTeoremas y definiciones del tema de la probabilidad
MatemáticasApuntes sobre el cálculo de capital inicial y final, dependiendo de si el interés es simple o compuesto, cálculo del montante…
MatemáticasResumen con los cosas esenciales de los integrales indefinidas.
MatemáticasApp Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
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Elena
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
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Sofia Jiménez
@sofiliez
Las derivadas son una herramienta fundamental del cálculo que te permite entender cómo cambian las funciones. Imagínatelas como la "velocidad instantánea" de una función en cualquier punto. Dominar las derivadas te abrirá las puertas a resolver problemas complejos de física,... Mostrar más
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¿Alguna vez te has preguntado cómo calcular la velocidad exacta de un coche en un momento preciso? Eso es exactamente lo que hace una derivada: mide la rapidez del cambio de una función en un punto específico.
La definición por límites puede parecer intimidante al principio, pero es bastante lógica. La fórmula f'(x₀) = lim /h básicamente compara el valor de la función en un punto con el valor muy cerca de ese punto. Cuando el ejemplo muestra f(x) = x² en x = 1, el resultado f'(1) = 2 significa que la función está "subiendo" con una pendiente de 2 en ese punto.
Las reglas de derivación son como fórmulas mágicas que te ahorran tiempo. Para funciones potenciales como xⁿ, simplemente bajas el exponente y lo multiplicas por delante: f'(x) = n·x^. Las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas tienen sus propias reglas específicas que debes memorizar.
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Para que una función sea derivable en un punto, las derivadas laterales (por la izquierda y por la derecha) deben coincidir. El ejemplo de f(x) con x² y 3x-2 lo demuestra perfectamente: aunque la función es continua en x = 2, las derivadas laterales son 4 y 3 respectivamente, así que no es derivable ahí.
El proceso de estudio siempre sigue el mismo patrón: primero verificas el dominio, luego la continuidad y finalmente la derivabilidad. Es como subir escalones: cada paso depende del anterior.
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El tercer ejemplo es más desafiante porque debes encontrar los valores de m y n. Primero igualas los límites laterales para garantizar continuidad , y luego igualas las derivadas laterales para la derivabilidad . El resultado m = 2 y n = -1 hace que la función sea perfecta en todo su dominio.
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La derivación logarítmica es perfecta para funciones donde la variable aparece tanto en la base como en el exponente, como y = x^x. Aplicando logaritmo natural a ambos lados, conviertes un problema complicado en algo manejable.
La regla de L'Hôpital es tu as bajo la manga para resolver límites indeterminados del tipo 0/0. Simplemente derivas numerador y denominador por separado hasta que el límite se pueda calcular.
💡 Consejo final: Estas técnicas avanzadas parecen difíciles, pero con práctica se vuelven automáticas. Úsalas cuando los métodos básicos no funcionen.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
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Javier
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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
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