TEMA 1: Números Racionales e Irracionales y Sus Operaciones

Números Racionales e Irracionales: Los Básicos

¿Sabías que los números tienen su propia jerarquía como en un videojuego? Los números naturales (N) son los más básicos para contar, los enteros (Z) incluyen negativos, y los racionales (Q) son fracciones que puedes escribir como división.

Las fracciones son simplemente el resultado de dividir un número entre otro (a/b), y dos fracciones son equivalentes cuando a·d = b·c. Una fracción es irreducible cuando ya no se puede simplificar más, como 3/4.

Para hacer operaciones con fracciones, sigue siempre este orden: paréntesis primero, luego potencias y raíces, después multiplicación y división de izquierda a derecha, y por último sumas y restas. Siempre simplifica al final.

💡 Truco: Memoriza "PEMDAS" - Paréntesis, Exponentes, Multiplicación/División, Adición/Sustracción.

De Fracciones a Decimales y Viceversa

Convertir entre fracciones y números decimales es súper útil para cálculos rápidos. Para pasar de fracción a decimal, simplemente divide el numerador entre el denominador: 3/2 = 1,5.

Los decimales pueden ser exactos (número finito de decimales como 1,25) o periódicos. Los periódicos puros repiten desde el primer decimal, mientras que los mixtos tienen números que no se repiten antes del período.

Para convertir decimales a fracciones, usa estas fórmulas: decimales exactos como 1,25 = 125/100, periódicos puros como 2,68̄ = $268-2$/99, y periódicos mixtos como 2,39̄ = $234-23$/90.

Cada número pertenece a diferentes conjuntos numéricos: 3 está en N, Z, Q y R, pero √8 solo en I y R porque es irracional.

💡 Consejo: Practica identificando qué tipo de decimal tienes antes de convertir - te ahorrará tiempo en los exámenes.

Intervalos: Definiendo Rangos de Números

Los intervalos te permiten describir conjuntos de números de forma elegante, como "todos los números entre 2 y 5". Los paréntesis ( ) significan abierto (no incluye el número) y los corchetes [ ] cerrado (sí lo incluye).

Un intervalo abierto (a,b) incluye todos los números entre a y b, pero no a ni b. El intervalo cerrado [a,b] incluye tanto a como b. Los semiabiertos mezclan ambos: (a,b] excluye a pero incluye b.

Cuando trabajas con infinito (∞), siempre usa paréntesis porque infinito no es un número real que puedas incluir. Por ejemplo, (2,∞) significa "todos los números mayores que 2".

En la representación gráfica, usa círculos vacíos (○) para extremos abiertos y círculos llenos (●) para cerrados.

💡 Recuerda: El infinito siempre lleva paréntesis, nunca corchetes.

Aproximaciones y Errores: Midiendo la Precisión

Cuando aproximas números, puedes usar redondeo (al número más cercano) o truncamiento (cortar decimales). Ambos métodos generan errores que necesitas calcular para saber qué tan preciso eres.

El error absoluto (EA) mide la diferencia entre el valor real y el aproximado: EA = |VR - VA|. Si el valor real es 1,3752 y aproximas a 1,4, tu error absoluto es 0,0248.

El error relativo (ER) te dice qué porcentaje representa tu error: ER = (EA/VR) × 100. Esto es más útil porque un error de 0,1 no es igual si estás midiendo centímetros o kilómetros.

El truncamiento suele generar errores mayores que el redondeo porque simplemente "corta" decimales sin considerar si debería subir o bajar.

💡 Dato útil: El error relativo te ayuda a comparar la precisión entre diferentes mediciones, independientemente de su tamaño.