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Matemáticas

Límites de Funciones y Asíntotas

Límites en el Infinito

Matemáticas1202Actualizado 4 sept 20265 páginas

Límites y Continuidad: Introducción y Resumen

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Las funciones y los límites son herramientas fundamentales para entender cómo se comportan las relaciones matemáticas. Vamos a ver los tipos de funciones más importantes, cómo encontrar su dominio y los conceptos básicos de límites y asíntotas.
Tema 1: Limites y Continuidad – página 1

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Funciones y sus dominios

Las funciones son relaciones donde cada valor de x tiene un único valor de y. Para dominarlas, necesitas entender el dominio: el conjunto de valores de x donde la función existe.

Para polinomios como fxx = x² + 3x + 2, el dominio siempre es todos los números reales (ℝ). Son las más fáciles porque no tienen restricciones.

Con fracciones como fxx = 3/5x+25x + 2, excluyes los valores que hacen cero el denominador. Aquí, 5x + 2 = 0 → x = -2/5, así que Dom fxx = ℝ - {-2/5}.

Truco clave: Para encontrar el dominio de fracciones, iguala el denominador a cero y resuelve. Esos valores NO están en el dominio.

Tema 1: Limites y Continuidad – página 2

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Dominios especiales: raíces y logaritmos

Las raíces cuadradas requieren que lo de dentro sea positivo o cero. Para fxx = √x2−9x² - 9, necesitas x² - 9 ≥ 0, lo que da x ≤ -3 o x ≥ 3.

Los logaritmos necesitan argumentos positivos. En fxx = logx−7x - 7, requieres x - 7 > 0, entonces x > 7 y el dominio es 7,+∞7, +∞.

Las funciones exponenciales como fxx = 3^(5x²) tienen dominio ℝ completo. No hay restricciones porque cualquier número puede ser exponente.

Método infalible: Para raíces, haz una tabla de signos. Para logaritmos, simplemente despeja la desigualdad.

Tema 1: Limites y Continuidad – página 3

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Funciones básicas fundamentales

Las funciones constantes son líneas horizontales. fxx = √7 siempre vale √7, sin importar el valor de x.

Las rectas siguen la fórmula fxx = mx + n, donde m es la pendiente (si m > 0, sube; si m < 0, baja) y n es donde corta el eje y.

Las parábolas tienen forma fxx = ax² + bx + c. Su vértice está en x = -b/(2a). Para encontrar puntos, sustituye este valor en la función original y calcula algunos puntos más.

Punto clave: Los puntos de corte con ejes son súper importantes. Con eje x: haz y = 0. Con eje y: haz x = 0.

Tema 1: Limites y Continuidad – página 4

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Hipérbolas, exponenciales y límites

Las hipérbolas como fxx = 3/x tienen esa característica forma curva con asíntotas. Son líneas que la función se acerca pero nunca toca.

Las funciones exponenciales fxx = aˣ y logarítmicas fxx = log(...) tienen comportamientos únicos que debes reconocer gráficamente.

Los límites describen hacia dónde "tiende" una función. Las asíntotas verticales aparecen cuando el denominador se hace cero, como en fxx = 3x+13x+1/x−2x-2 cuando x→2.

Consejo práctico: Para encontrar asíntotas verticales, busca valores que anulen el denominador y calcula el límite.

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Asíntotas horizontales

Las asíntotas horizontales aparecen cuando x tiende a infinito. Para funciones racionales como fxx = 3x+13x+1/x−2x-2, divide los términos de mayor grado.

En este caso, cuando x→∞, la función se comporta como 3x/x = 3. Por tanto, y = 3 es la asíntota horizontal.

El truco está en quedarte solo con los términos dominantes (los de mayor potencia) tanto en numerador como denominador.

Regla de oro: En fracciones, las asíntotas horizontales se encuentran dividiendo los coeficientes de los términos de mayor grado.

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