Sistemas de numeración y múltiplos

El sistema decimal es súper fácil: cada posición vale 10 veces más que la anterior (unidades, decenas, centenas). Pero el sistema sexagesimal funciona con 60 - piensa en el tiempo: 1 hora = 60 minutos = 3600 segundos.

Para convertir tiempo a segundos, multiplica las horas por 3600 y los minutos por 60, luego suma todo. Por ejemplo: 1h 13min 27s = 3600 + 780 + 27 = 4407 segundos.

Los múltiplos de un número son infinitos (como 20, 40, 60, 80...), pero los divisores son limitados y finitos. Los múltiplos de 20 siguen para siempre, pero sus divisores solo son: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.

¡Truco! Memorizar los cuadrados perfectos del 1 al 15 te ahorrará tiempo en los exámenes. ¡Son súper útiles para factorizar!

Divisibilidad y números primos

Los criterios de divisibilidad son atajos geniales para saber si un número se divide exactamente. Un número es divisible por 2 si termina en cifra par, por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3, y por 5 si termina en 0 o 5.

Los números primos solo tienen dos divisores: el 1 y ellos mismos (como 2, 3, 5, 7, 11...). El resto son números compuestos porque tienen más divisores.

La descomposición en factores primos es como desarmar un número en sus piezas básicas. Por ejemplo: 20 = 2² × 5. Esto te servirá para calcular el mínimo común múltiplo y máximo común divisor.

Para el mínimo común múltiplo (m.c.m.), descompones ambos números y tomas todos los factores con el mayor exponente. Es útil para problemas de tiempo, como saber cuándo coinciden dos eventos.

¡Dato curioso! El m.c.m. te dice cada cuántos días se repiten situaciones, como cuando el supermercado hace inventario y reorganiza expositores el mismo día.

Problemas prácticos con m.c.m. y m.c.d.

Imagínate que un supermercado hace inventario cada 36 días y reorganiza expositores cada 24 días. Para saber cuándo coinciden, calculas el m.c.m.(36, 24) = 72 días. ¡Así de simple!

El máximo común divisor (m.c.d.) funciona al revés: tomas solo los factores comunes con el menor exponente. Es perfecto para problemas de división en partes iguales.

¿Quieres dividir una cartulina de 50cm × 65cm en cuadrados del mayor tamaño posible? El m.c.d.(50, 65) = 5cm te da la respuesta. Cada cuadradito tendrá 5cm de lado.

La clave está en identificar qué tipo de problema tienes: si buscas cuándo coinciden eventos, usa m.c.m.; si quieres dividir algo en partes iguales del mayor tamaño, usa m.c.d.

¡Tip de examen! Lee bien el problema: las palabras "coinciden" o "se repiten" indican m.c.m., mientras que "dividir" o "cortar en partes iguales" indican m.c.d.

Números enteros y operaciones

El valor absoluto es simplemente el número sin signo: |−7| = 7. El valor opuesto tiene el mismo valor absoluto pero signo contrario: opuesto de (+7) es (−7).

Para sumar y restar números enteros, recuerda: mismo signo se suman y se mantiene el signo, distinto signo se restan y gana el mayor. Por ejemplo: −4 + 10 = +6.

En multiplicación y división, la regla de signos es clave: signos iguales dan positivo, signos diferentes dan negativo. (+5) × (−3) = −15, pero (−6) ÷ (−2) = +3.

Las operaciones combinadas siguen un orden: primero paréntesis, luego potencias y raíces, después multiplicaciones y divisiones, y finalmente sumas y restas.

¡Recuerda! Los paréntesis se resuelven desde dentro hacia fuera, y el signo menos delante de un paréntesis cambia todos los signos dentro.

Potencias y raíces

Las potencias son multiplicaciones repetidas: (−3)⁴ = (−3) × (−3) × (−3) × (−3) = +81. Con números negativos, si el exponente es par el resultado es positivo, si es impar es negativo.

Las propiedades de las potencias te facilitan los cálculos: para multiplicar potencias de la misma base sumas los exponentes $a^m × a^n = a^(m+n)$, para dividir los restas.

La raíz cuadrada de un número positivo siempre tiene dos soluciones: √16 puede ser +4 o −4, porque ambos elevados al cuadrado dan 16. Los números negativos no tienen raíz cuadrada real.

Con otras raíces, si el índice es impar (como ∛), los números negativos sí tienen solución. Pero si el índice es par (como ∜), los números negativos no existen en números reales.

¡Importante! Memorizar que (−a)^n con n par es positivo y con n impar es negativo te evitará errores típicos en los exámenes.