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Matemáticas
6 dic 2025
2986
26 páginas
Sheila Flores @sheilaflores_qpxh
¿Alguna vez te has preguntado por qué algunos juegos parecen justos mientras otros no? La probabilidad es la... Mostrar más
La vida está llena de situaciones donde no podemos predecir exactamente qué va a pasar. Un experimento aleatorio es aquel donde el resultado depende del azar, como tirar un dado o sacar una carta al azar. En cambio, un experimento determinista tiene un resultado que se puede calcular, como medir el ancho de una carta.
Para identificar si algo es aleatorio, pregúntate "¿Puedo saber exactamente qué va a pasar antes de que ocurra?" Si la respuesta es no, probablemente sea aleatorio. Por ejemplo, lanzar un dado es aleatorio porque no sabemos qué número saldrá, pero anotar el horario de un tren es determinista porque está programado.
El espacio muestral (E) es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Si lanzas una moneda, E = {cara, cruz}. Si giras una ruleta con tres colores, E = {rojo, verde, morado}.
Truco de memoria Piensa en el espacio muestral como todos los "finales posibles" de tu experimento, como si fuera una película con múltiples endings.
Cuando los experimentos se complican, necesitamos herramientas para organizarnos mejor. Las tablas de doble entrada son perfectas cuando lanzas dos dados y quieres sumar los resultados. Simplemente pones los valores de un dado en filas y del otro en columnas.
Los diagramas de árbol son geniales para experimentos secuenciales, como extraer tres bolas de una urna. Cada rama representa una posibilidad, y al final obtienes todas las combinaciones posibles como N-N-V .
Para contar los elementos del espacio muestral, ten en cuenta que si lanzas un dado de 6 caras con otro de 4 caras, tendrás 6 × 4 = 24 resultados posibles. Es como multiplicar las opciones de cada parte del experimento.
Consejo práctico Usa tablas para sumar o multiplicar resultados, y diagramas de árbol para experimentos donde importa el orden de los eventos.
No todos los dados son cúbicos como los que conoces del parchís. Existen dados con diferentes formas geométricas tetraédricos (4 caras), octaédricos (8 caras), dodecaédricos (12 caras) e incluso icosaédricos (20 caras). Cada uno tiene su propio espacio muestral.
Cuando combinas diferentes tipos de dados, como uno cúbico (6 caras) con uno tetraédrico (4 caras), el espacio muestral será todas las combinaciones posibles desde (1,1) hasta (6,4). En total tendrás 24 resultados diferentes.
Para cartas españolas, recuerda que hay 40 cartas en total, con cuatro palos oros, bastos, espadas y copas. Cada palo tiene 10 cartas (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, sota, caballo, rey). Un suceso imposible sería sacar el as de picas (no existe en la baraja española), y un suceso seguro sería sacar una carta de cualquiera de los cuatro palos.
Dato curioso Los dados de 20 caras se usan mucho en juegos de rol como Dungeons & Dragons. ¡Las matemáticas están en todas partes!
Un suceso elemental es un resultado individual del experimento, como sacar exactamente "cara-cara-cara" al lanzar tres monedas. Un suceso compuesto incluye varios resultados posibles, como "sacar al menos una cruz" en esas tres monedas.
En una carrera de tres caballos A, B y C, hay exactamente 6 formas diferentes de que lleguen a la meta (3×2×1=6). Si el suceso T = "gana el caballo A", entonces T incluye dos elementos {A,B,C} y {A,C,B}, porque A llega primero en ambos casos.
Para contar sucesos, piensa sistemáticamente. Si quieres que "no gane B", cuenta todas las llegadas donde B queda segundo o tercero. Son 4 de las 6 posibles {A,B,C}, {A,C,B}, {C,A,B}, {C,B,A}.
Estrategia de estudio Practica escribiendo todos los elementos de un suceso antes de contarlos. Te ayudará a no olvidar ninguno.
Las operaciones con sucesos son como las operaciones con conjuntos. La unión (A ∪ B) significa "A o B" (al menos uno se cumple), y la intersección (A ∩ B) significa "A y B" (ambos se cumplen a la vez).
El suceso contrario (Ā) incluye todos los casos donde NO se cumple A. Si A = "sacar bola roja", entonces Ā = "sacar bola de cualquier otro color". Los sucesos compatibles pueden ocurrir al mismo tiempo (A ∩ B ≠ ∅), mientras que los incompatibles no pueden ocurrir juntos .
Con un dado, si A = "número par" = {2,4,6} y B = "número menor que 3" = {1,2}, entonces A ∪ B = {1,2,4,6} y A ∩ B = {2}. Como tienen el 2 en común, son compatibles.
Truco visual Imagina los sucesos como círculos que se superponen. Donde se tocan es la intersección, y todo lo que cubren juntos es la unión.
Con cartas españolas, las operaciones de sucesos se vuelven más interesantes. Si A = "sacar un as" y C = "sacar carta menor que 4", entonces A ∪ C = "sacar carta menor que 4" porque los ases ya están incluidos en las cartas menores que 4.
Cuando trabajas con números del 1 al 50, los patrones se vuelven evidentes. Si A = "múltiplo de 5" y C = "termina en 0", observa que todos los números que terminan en 0 también son múltiplos de 5, por eso A ∩ C = C.
Los sucesos que parecen diferentes pueden ser exactamente iguales. "Sacar oro menor que 4" en la baraja incluye as de oros, 2 de oros y 3 de oros. Es importante ser preciso al describir sucesos compuestos.
Error común No confundas "o" con "y". En matemáticas, "A o B" significa que puede pasar A, B, o ambos a la vez.
Cuando disparas 500 veces a una diana y aciertas 386 veces, la probabilidad frecuencial de acertar es 386/500 = 0,772. Esta se basa en experimentos reales, no en cálculos teóricos.
La probabilidad geométrica usa áreas o longitudes. Si una diana circular está inscrita en un cuadrado, la probabilidad de acertar es el área del círculo dividida entre el área del cuadrado. Si el cuadrado tiene lado 2 y la diana radio 1, P = π/4 ≈ 0,785.
Un resultado sorprendente si cambias el tamaño del cuadrado y la diana proporcionalmente, ¡la probabilidad no cambia! Siempre será π/4, porque lo que importa es la relación entre las áreas, no su tamaño absoluto.
Conexión real Los videojuegos usan probabilidad geométrica para determinar si un proyectil impacta en un objetivo móvil.
Para calcular probabilidades básicas, usa la fórmula P = casos favorables / casos posibles. Con una baraja española (40 cartas), la probabilidad de sacar un tres es 4/40 = 0,1 porque hay 4 treses.
Con urnas de bolas numeradas, lee cuidadosamente qué te piden. "La bola no es roja" significa contar todas las bolas excepto las rojas. "La bola es roja Y tiene número 1" requiere que ambas condiciones se cumplan simultáneamente.
Para dados de formas especiales, como uno octaédrico (8 caras), puedes tener la misma probabilidad para sucesos diferentes. P(número par) = 4/8 = 0,5 y P(número primo) = 4/8 = 0,5, ¡ambas son iguales!
Verificación rápida Todas las probabilidades deben estar entre 0 y 1. Si obtienes algo fuera de este rango, revisa tus cálculos.
Un juego justo es aquel donde todos los jugadores tienen la misma probabilidad de ganar. Si Elsa gana con números pares y Benito con impares al sumar dos dados, el juego NO es justo porque hay más formas de obtener números pares.
Al sumar dos dados, los resultados van del 2 al 12, pero hay 18 sumas pares y 18 sumas impares . ¡Espera! Si cuentas bien, verás que realmente son iguales, así que el juego SÍ es justo.
Si cambias las reglas y multiplicas en lugar de sumar, todo cambia. La multiplicación de dos números es par cuando al menos uno de ellos es par, lo que hace que Elsa tenga ventaja (probabilidad ≈ 0,75).
Pensamiento crítico En la lotería, TODOS los números tienen exactamente la misma probabilidad. No importa si es "bonito" como 11111 o "feo" como 74826.
Cuando lanzas dos dados octaédricos (8 caras cada uno) y sumas, obtienes resultados del 2 al 16. Esto te da 15 posibles sumas diferentes, pero no todas son igualmente probables. Hay más formas de obtener un 9 que un 16.
Los diagramas de árbol son especialmente útiles para experimentos con monedas y dados combinados. Si lanzas una moneda y un dado tetraédrico, obtienes 8 resultados posibles C1, C2, C3, C4, X1, X2, X3, X4.
Para sucesos específicos como "sacar 10" con dos dados octaédricos, cuenta sistemáticamente (2,8), (3,7), (4,6), (5,5), (6,4), (7,3), (8,2). Son 7 formas de las 64 posibles combinaciones.
Estrategia avanzada Cuando tengas muchas combinaciones, usa tablas de doble entrada para visualizar mejor todos los casos posibles.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
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Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
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Sheila Flores
@sheilaflores_qpxh
¿Alguna vez te has preguntado por qué algunos juegos parecen justos mientras otros no? La probabilidad es la herramienta matemática que nos ayuda a entender y predecir eventos aleatorios. Desde lanzar dados hasta extraer cartas, aprenderás a calcular probabilidades y... Mostrar más
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La vida está llena de situaciones donde no podemos predecir exactamente qué va a pasar. Un experimento aleatorio es aquel donde el resultado depende del azar, como tirar un dado o sacar una carta al azar. En cambio, un experimento determinista tiene un resultado que se puede calcular, como medir el ancho de una carta.
Para identificar si algo es aleatorio, pregúntate: "¿Puedo saber exactamente qué va a pasar antes de que ocurra?" Si la respuesta es no, probablemente sea aleatorio. Por ejemplo, lanzar un dado es aleatorio porque no sabemos qué número saldrá, pero anotar el horario de un tren es determinista porque está programado.
El espacio muestral (E) es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Si lanzas una moneda, E = {cara, cruz}. Si giras una ruleta con tres colores, E = {rojo, verde, morado}.
Truco de memoria: Piensa en el espacio muestral como todos los "finales posibles" de tu experimento, como si fuera una película con múltiples endings.
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Para contar los elementos del espacio muestral, ten en cuenta que si lanzas un dado de 6 caras con otro de 4 caras, tendrás 6 × 4 = 24 resultados posibles. Es como multiplicar las opciones de cada parte del experimento.
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Cuando combinas diferentes tipos de dados, como uno cúbico (6 caras) con uno tetraédrico (4 caras), el espacio muestral será todas las combinaciones posibles: desde (1,1) hasta (6,4). En total tendrás 24 resultados diferentes.
Para cartas españolas, recuerda que hay 40 cartas en total, con cuatro palos: oros, bastos, espadas y copas. Cada palo tiene 10 cartas (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, sota, caballo, rey). Un suceso imposible sería sacar el as de picas (no existe en la baraja española), y un suceso seguro sería sacar una carta de cualquiera de los cuatro palos.
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En una carrera de tres caballos A, B y C, hay exactamente 6 formas diferentes de que lleguen a la meta (3×2×1=6). Si el suceso T = "gana el caballo A", entonces T incluye dos elementos: {A,B,C} y {A,C,B}, porque A llega primero en ambos casos.
Para contar sucesos, piensa sistemáticamente. Si quieres que "no gane B", cuenta todas las llegadas donde B queda segundo o tercero. Son 4 de las 6 posibles: {A,B,C}, {A,C,B}, {C,A,B}, {C,B,A}.
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El suceso contrario (Ā) incluye todos los casos donde NO se cumple A. Si A = "sacar bola roja", entonces Ā = "sacar bola de cualquier otro color". Los sucesos compatibles pueden ocurrir al mismo tiempo (A ∩ B ≠ ∅), mientras que los incompatibles no pueden ocurrir juntos .
Con un dado, si A = "número par" = {2,4,6} y B = "número menor que 3" = {1,2}, entonces A ∪ B = {1,2,4,6} y A ∩ B = {2}. Como tienen el 2 en común, son compatibles.
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Cuando trabajas con números del 1 al 50, los patrones se vuelven evidentes. Si A = "múltiplo de 5" y C = "termina en 0", observa que todos los números que terminan en 0 también son múltiplos de 5, por eso A ∩ C = C.
Los sucesos que parecen diferentes pueden ser exactamente iguales. "Sacar oro menor que 4" en la baraja incluye: as de oros, 2 de oros y 3 de oros. Es importante ser preciso al describir sucesos compuestos.
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Cuando disparas 500 veces a una diana y aciertas 386 veces, la probabilidad frecuencial de acertar es 386/500 = 0,772. Esta se basa en experimentos reales, no en cálculos teóricos.
La probabilidad geométrica usa áreas o longitudes. Si una diana circular está inscrita en un cuadrado, la probabilidad de acertar es el área del círculo dividida entre el área del cuadrado. Si el cuadrado tiene lado 2 y la diana radio 1, P = π/4 ≈ 0,785.
Un resultado sorprendente: si cambias el tamaño del cuadrado y la diana proporcionalmente, ¡la probabilidad no cambia! Siempre será π/4, porque lo que importa es la relación entre las áreas, no su tamaño absoluto.
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Para dados de formas especiales, como uno octaédrico (8 caras), puedes tener la misma probabilidad para sucesos diferentes. P(número par) = 4/8 = 0,5 y P(número primo) = 4/8 = 0,5, ¡ambas son iguales!
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Un juego justo es aquel donde todos los jugadores tienen la misma probabilidad de ganar. Si Elsa gana con números pares y Benito con impares al sumar dos dados, el juego NO es justo porque hay más formas de obtener números pares.
Al sumar dos dados, los resultados van del 2 al 12, pero hay 18 sumas pares y 18 sumas impares . ¡Espera! Si cuentas bien, verás que realmente son iguales, así que el juego SÍ es justo.
Si cambias las reglas y multiplicas en lugar de sumar, todo cambia. La multiplicación de dos números es par cuando al menos uno de ellos es par, lo que hace que Elsa tenga ventaja (probabilidad ≈ 0,75).
Pensamiento crítico: En la lotería, TODOS los números tienen exactamente la misma probabilidad. No importa si es "bonito" como 11111 o "feo" como 74826.
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Cuando lanzas dos dados octaédricos (8 caras cada uno) y sumas, obtienes resultados del 2 al 16. Esto te da 15 posibles sumas diferentes, pero no todas son igualmente probables. Hay más formas de obtener un 9 que un 16.
Los diagramas de árbol son especialmente útiles para experimentos con monedas y dados combinados. Si lanzas una moneda y un dado tetraédrico, obtienes 8 resultados posibles: C1, C2, C3, C4, X1, X2, X3, X4.
Para sucesos específicos como "sacar 10" con dos dados octaédricos, cuenta sistemáticamente: (2,8), (3,7), (4,6), (5,5), (6,4), (7,3), (8,2). Son 7 formas de las 64 posibles combinaciones.
Estrategia avanzada: Cuando tengas muchas combinaciones, usa tablas de doble entrada para visualizar mejor todos los casos posibles.
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Pablo
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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
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Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
Física y Química
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