Matemáticas

Simetría Geométrica y Funcional

Función Impar

Matemáticas1502Actualizado 28 ago 20265 páginas

Guía de Representación de Funciones Matemáticas

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Belinda 2016@belinda2016_grrm

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¿Te agobias cuando tienes que representar una función? Tranqui, que no es tan complicado como parece. Solo tienes que seguir unos pasos ordenados y ya verás cómo todo cobra sentido.

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Dominio de funciones

Lo primero que tienes que hacer siempre es encontrar el dominio, que básicamente son todos los valores de x que puedes usar sin que la función se rompa.

Para las funciones fraccionarias como $f(x) = \frac{1}{x^2-9}$ , el denominador nunca puede ser cero. Igualas el denominador a cero: $x^2 - 9 = 0$ , y obtienes $x = ±3$ . Por tanto, el dominio es $\mathbb{R} - \{-3, 3\}$ .

Las funciones polinómicas como $f(x) = x + 5$ son súper fáciles: su dominio siempre son todos los números reales, $\mathbb{R} = (-\infty, +\infty)$ .

Recuerda: Las raíces cuadradas no pueden tener números negativos dentro, así que $\sqrt{x-9}$ necesita que $x-9 ≥ 0$ , o sea $x ≥ 9$ .

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Casos especiales de dominio

Cuando tienes una fracción con raíz cuadrada como $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x-2}}$ , necesitas que lo de dentro de la raíz sea positivo (no solo mayor o igual a cero) porque está en el denominador. Así que $x-2 > 0$ y el dominio es $(2,∞)$ .

Si combinas raíz y fracción como en $f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x^2-4}$ , aplicas las dos condiciones: $x-1 ≥ 0$ (para la raíz) y $x^2-4 ≠ 0$ (para la fracción). El dominio queda $[1,2)∪(2,∞)$ .

Para encontrar los puntos de corte con los ejes, sustituye: para el eje x haz $f(x) = 0$ , y para el eje y haz $x = 0$ .

Truco: Siempre comprueba que los puntos de corte estén dentro del dominio.

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Simetría y asíntotas verticales

Una función es par (simétrica respecto al eje y) si $f(x) = f(-x)$ , e impar (simétrica respecto al origen) si $f(-x) = -f(x)$ . Por ejemplo, $g(x) = \sqrt{x^2+3}$ es par porque $g(-x) = \sqrt{(-x)^2+3} = \sqrt{x^2+3} = g(x)$ .

Las asíntotas verticales aparecen en los valores que no están en el dominio. Si $\lim_{x \to a} f(x) = ±∞$ , entonces $x = a$ es una asíntota vertical.

Para $g(x) = \frac{x}{x-3}$ con dominio $\mathbb{R}-\{3\}$ , calculamos: $\lim_{x \to 3^+} \frac{x}{x-3} = +∞$ y $\lim_{x \to 3^-} \frac{x}{x-3} = -∞$ . Por tanto, $x = 3$ es asíntota vertical.

Importante: Solo las funciones racionales (fracciones) pueden tener asíntotas verticales.

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Asíntotas horizontales y oblicuas

Para las asíntotas horizontales, calcula $\lim_{x \to ±∞} f(x)$ . Si el resultado es un número, tienes una asíntota horizontal $y =$ ese número.

En $g(x) = \frac{x}{x^2+1}$ , ambos límites dan 0, así que hay una asíntota horizontal en $y = 0$ .

Las asíntotas oblicuas solo existen cuando no hay horizontales. Si $\lim_{x \to ±∞} f(x) = ±∞$ , calcula $m = \lim_{x \to ∞} \frac{f(x)}{x}$ y después $n = \lim_{x \to ∞} [f(x) - mx]$ . La asíntota oblicua es $y = mx + n$ .

Recuerda: Si una función tiene asíntotas horizontales, no puede tener oblicuas (y viceversa).

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Monotonía y curvatura

Para estudiar la monotonía, calcula la primera derivada $f'(x)$ . Donde $f'(x) > 0$ la función crece, y donde $f'(x) < 0$ decrece. Los puntos donde $f'(x) = 0$ son posibles máximos o mínimos.

La curvatura se estudia con la segunda derivada $f''(x)$ . Si $f''(x) > 0$ la función es convexa (forma de U), y si $f''(x) < 0$ es cóncava (forma de ∩).

Los puntos donde $f''(x) = 0$ son posibles puntos de inflexión, donde cambia la curvatura.

Consejo: Haz una tabla de signos para organizar mejor los intervalos de crecimiento y curvatura.

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