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# MATES APUNTES # ESTUDIO DE FUNCIONES MATES I In bach Para Poder representar una funcion debemos seguir estos pasos: ① DOMINIO Depende

Dominio de funciones

Lo primero que tienes que hacer siempre es encontrar el dominio, que básicamente son todos los valores de x que puedes usar sin que la función se rompa.

Para las funciones fraccionarias como f(x)=1x2−9f(x) = \frac{1}{x^2-9}, el denominador nunca puede ser cero. Igualas el denominador a cero: x2−9=0x^2 - 9 = 0, y obtienes x=±3x = ±3. Por tanto, el dominio es R−−3,3\mathbb{R} - {-3, 3}.

Las funciones polinómicas como f(x)=x+5f(x) = x + 5 son súper fáciles: su dominio siempre son todos los números reales, R=(−∞,+∞)\mathbb{R} = (-\infty, +\infty).

Recuerda: Las raíces cuadradas no pueden tener números negativos dentro, así que x−9\sqrt{x-9} necesita que x−9≥0x-9 ≥ 0, o sea x≥9x ≥ 9.

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# MATES APUNTES # ESTUDIO DE FUNCIONES MATES I In bach Para Poder representar una funcion debemos seguir estos pasos: ① DOMINIO Depende

Casos especiales de dominio

Cuando tienes una fracción con raíz cuadrada como f(x)=xx−2f(x) = \frac{x}{\sqrt{x-2}}, necesitas que lo de dentro de la raíz sea positivo (no solo mayor o igual a cero) porque está en el denominador. Así que x−2>0x-2 > 0 y el dominio es (2,∞)(2,∞).

Si combinas raíz y fracción como en f(x)=x−1x2−4f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x^2-4}, aplicas las dos condiciones: x−1≥0x-1 ≥ 0 (para la raíz) y x2−4≠0x^2-4 ≠ 0 (para la fracción). El dominio queda [1,2)∪(2,∞)[1,2)∪(2,∞).

Para encontrar los puntos de corte con los ejes, sustituye: para el eje x haz f(x)=0f(x) = 0, y para el eje y haz x=0x = 0.

Truco: Siempre comprueba que los puntos de corte estén dentro del dominio.

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# MATES APUNTES # ESTUDIO DE FUNCIONES MATES I In bach Para Poder representar una funcion debemos seguir estos pasos: ① DOMINIO Depende

Simetría y asíntotas verticales

Una función es par (simétrica respecto al eje y) si f(x)=f(−x)f(x) = f(-x), e impar (simétrica respecto al origen) si f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x). Por ejemplo, g(x)=x2+3g(x) = \sqrt{x^2+3} es par porque g(−x)=(−x)2+3=x2+3=g(x)g(-x) = \sqrt{(-x)^2+3} = \sqrt{x^2+3} = g(x).

Las asíntotas verticales aparecen en los valores que no están en el dominio. Si lim⁡x→af(x)=±∞\lim_{x \to a} f(x) = ±∞, entonces x=ax = a es una asíntota vertical.

Para g(x)=xx−3g(x) = \frac{x}{x-3} con dominio R−3\mathbb{R}-{3}, calculamos: lim⁡x→3+xx−3=+∞\lim_{x \to 3^+} \frac{x}{x-3} = +∞ y lim⁡x→3−xx−3=−∞\lim_{x \to 3^-} \frac{x}{x-3} = -∞. Por tanto, x=3x = 3 es asíntota vertical.

Importante: Solo las funciones racionales (fracciones) pueden tener asíntotas verticales.

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# MATES APUNTES # ESTUDIO DE FUNCIONES MATES I In bach Para Poder representar una funcion debemos seguir estos pasos: ① DOMINIO Depende

Asíntotas horizontales y oblicuas

Para las asíntotas horizontales, calcula lim⁡x→±∞f(x)\lim_{x \to ±∞} f(x). Si el resultado es un número, tienes una asíntota horizontal y=y = ese número.

En g(x)=xx2+1g(x) = \frac{x}{x^2+1}, ambos límites dan 0, así que hay una asíntota horizontal en y=0y = 0.

Las asíntotas oblicuas solo existen cuando no hay horizontales. Si lim⁡x→±∞f(x)=±∞\lim_{x \to ±∞} f(x) = ±∞, calcula m=lim⁡x→∞f(x)xm = \lim_{x \to ∞} \frac{f(x)}{x} y después n=lim⁡x→∞[f(x)−mx]n = \lim_{x \to ∞} [f(x) - mx]. La asíntota oblicua es y=mx+ny = mx + n.

Recuerda: Si una función tiene asíntotas horizontales, no puede tener oblicuas (y viceversa).

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# MATES APUNTES # ESTUDIO DE FUNCIONES MATES I In bach Para Poder representar una funcion debemos seguir estos pasos: ① DOMINIO Depende

Monotonía y curvatura

Para estudiar la monotonía, calcula la primera derivada f′(x)f'(x). Donde f′(x)>0f'(x) > 0 la función crece, y donde f′(x)<0f'(x) < 0 decrece. Los puntos donde f′(x)=0f'(x) = 0 son posibles máximos o mínimos.

La curvatura se estudia con la segunda derivada f′′(x)f''(x). Si f′′(x)>0f''(x) > 0 la función es convexa (forma de U), y si f′′(x)<0f''(x) < 0 es cóncava (forma de ∩).

Los puntos donde f′′(x)=0f''(x) = 0 son posibles puntos de inflexión, donde cambia la curvatura.

Consejo: Haz una tabla de signos para organizar mejor los intervalos de crecimiento y curvatura.

Pensamos que nunca lo preguntarías...

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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Anausuaria de iOS

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Simetría Geométrica y Funcional

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Guía de Representación de Funciones Matemáticas

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Belinda 2016@belinda2016_grrm

¿Te agobias cuando tienes que representar una función? Tranqui, que no es tan complicado como parece. Solo tienes que seguir unos pasos ordenados y ya verás cómo todo cobra sentido.

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Dominio de funciones

Lo primero que tienes que hacer siempre es encontrar el dominio, que básicamente son todos los valores de x que puedes usar sin que la función se rompa.

Para las funciones fraccionarias como f(x)=1x2−9f(x) = \frac{1}{x^2-9}, el denominador nunca puede ser cero. Igualas el denominador a cero: x2−9=0x^2 - 9 = 0, y obtienes x=±3x = ±3. Por tanto, el dominio es R−−3,3\mathbb{R} - {-3, 3}.

Las funciones polinómicas como f(x)=x+5f(x) = x + 5 son súper fáciles: su dominio siempre son todos los números reales, R=(−∞,+∞)\mathbb{R} = (-\infty, +\infty).

Recuerda: Las raíces cuadradas no pueden tener números negativos dentro, así que x−9\sqrt{x-9} necesita que x−9≥0x-9 ≥ 0, o sea x≥9x ≥ 9.

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Casos especiales de dominio

Cuando tienes una fracción con raíz cuadrada como f(x)=xx−2f(x) = \frac{x}{\sqrt{x-2}}, necesitas que lo de dentro de la raíz sea positivo (no solo mayor o igual a cero) porque está en el denominador. Así que x−2>0x-2 > 0 y el dominio es (2,∞)(2,∞).

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Para encontrar los puntos de corte con los ejes, sustituye: para el eje x haz f(x)=0f(x) = 0, y para el eje y haz x=0x = 0.

Truco: Siempre comprueba que los puntos de corte estén dentro del dominio.

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Simetría y asíntotas verticales

Una función es par (simétrica respecto al eje y) si f(x)=f(−x)f(x) = f(-x), e impar (simétrica respecto al origen) si f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x). Por ejemplo, g(x)=x2+3g(x) = \sqrt{x^2+3} es par porque g(−x)=(−x)2+3=x2+3=g(x)g(-x) = \sqrt{(-x)^2+3} = \sqrt{x^2+3} = g(x).

Las asíntotas verticales aparecen en los valores que no están en el dominio. Si lim⁡x→af(x)=±∞\lim_{x \to a} f(x) = ±∞, entonces x=ax = a es una asíntota vertical.

Para g(x)=xx−3g(x) = \frac{x}{x-3} con dominio R−3\mathbb{R}-{3}, calculamos: lim⁡x→3+xx−3=+∞\lim_{x \to 3^+} \frac{x}{x-3} = +∞ y lim⁡x→3−xx−3=−∞\lim_{x \to 3^-} \frac{x}{x-3} = -∞. Por tanto, x=3x = 3 es asíntota vertical.

Importante: Solo las funciones racionales (fracciones) pueden tener asíntotas verticales.

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Asíntotas horizontales y oblicuas

Para las asíntotas horizontales, calcula lim⁡x→±∞f(x)\lim_{x \to ±∞} f(x). Si el resultado es un número, tienes una asíntota horizontal y=y = ese número.

En g(x)=xx2+1g(x) = \frac{x}{x^2+1}, ambos límites dan 0, así que hay una asíntota horizontal en y=0y = 0.

Las asíntotas oblicuas solo existen cuando no hay horizontales. Si lim⁡x→±∞f(x)=±∞\lim_{x \to ±∞} f(x) = ±∞, calcula m=lim⁡x→∞f(x)xm = \lim_{x \to ∞} \frac{f(x)}{x} y después n=lim⁡x→∞[f(x)−mx]n = \lim_{x \to ∞} [f(x) - mx]. La asíntota oblicua es y=mx+ny = mx + n.

Recuerda: Si una función tiene asíntotas horizontales, no puede tener oblicuas (y viceversa).

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Para estudiar la monotonía, calcula la primera derivada f′(x)f'(x). Donde f′(x)>0f'(x) > 0 la función crece, y donde f′(x)<0f'(x) < 0 decrece. Los puntos donde f′(x)=0f'(x) = 0 son posibles máximos o mínimos.

La curvatura se estudia con la segunda derivada f′′(x)f''(x). Si f′′(x)>0f''(x) > 0 la función es convexa (forma de U), y si f′′(x)<0f''(x) < 0 es cóncava (forma de ∩).

Los puntos donde f′′(x)=0f''(x) = 0 son posibles puntos de inflexión, donde cambia la curvatura.

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