Producto vectorial y vectores ortogonales

Vamos a resolver tres problemas interesantes sobre operaciones con vectores en el espacio:

a) Producto vectorial con dirección específica

Queremos encontrar el valor del parámetro $t$ para que el producto vectorial $(1,2,t) \times (1,t,0)$ tenga la dirección del eje OZ, es decir, sea proporcional a $(0,0,1)$.

Calculando el producto vectorial: $(1,2,t) \times (1,t,0) = (-t^2,t,(t-2))$

Para que tenga la dirección del eje OZ, las componentes $x$ e $y$ deben ser cero: $-t^2 = 0$ y $t = 0$, lo que implica que $t = 0$ es la solución.

b) Vector ortogonal a dos vectores dados

Para que $\vec{w} = (x,y,1)$ sea ortogonal a $\vec{u} = (3,2,0)$ y $\vec{v} = (2,1,-1)$, debe cumplirse: $\vec{w} \cdot \vec{u} = 0$ y $\vec{w} \cdot \vec{v} = 0$

Esto nos lleva al sistema: $3x + 2y = 0$ $2x + y - 1 = 0$

Resolviendo, obtenemos $x = 2$ y $y = -3$, por lo tanto $\vec{w} = (2,-3,1)$.

c) Ortogonalidad entre suma y diferencia de vectores

Si dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ tienen el mismo módulo, entonces su suma $\vec{u} + \vec{v}$ y su diferencia $\vec{u} - \vec{v}$ son ortogonales.

Esto se comprueba calculando su producto escalar: $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 = 0$

La ortogonalidad se cumple porque ambos módulos son iguales, anulándose el resultado.

Bases vectoriales en R³

Cuando trabajamos con vectores en el espacio tridimensional, es fundamental saber identificar bases vectoriales. En este problema analizamos cuatro vectores: $\vec{u}_1(1,1,2)$, $\vec{u}_2(2,5,1)$, $\vec{u}_3(0,1,1)$ y $\vec{u}_4(-1,1,0)$.

Para formar una base de $\mathbb{R}^3$ necesitamos tres vectores linealmente independientes. Podemos comprobar esta independencia calculando el determinante de los tres vectores:

$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0\1 & 5 & 1\2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 6 \neq 0$$

Al obtener un valor distinto de cero, confirmamos que ${\vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3}$ forman una base de $\mathbb{R}^3$.

💡 Consejo práctico: Para comprobar rápidamente si tres vectores forman una base, calcula su determinante. Si es distinto de cero, tienes una base.

Para expresar $\vec{u}_4$ como combinación lineal de los vectores de la base, planteamos la ecuación: $\vec{u}_4 = x\vec{u}_1 + y\vec{u}_2 + z\vec{u}_3$

Resolviendo el sistema de ecuaciones resultante, obtenemos $x = -1$, $y = 0$, $z = 2$, por lo tanto: $\vec{u}_4 = -\vec{u}_1 + 2\vec{u}_3$

Planos paralelos y perpendiculares

Continuando con el problema anterior, vamos a encontrar varios planos con características específicas.

d) Plano paralelo a otro que pasa por un punto

Para hallar el plano $\pi_2$ paralelo a $\pi$ y que pasa por $P(1,0,1)$, utilizamos el mismo vector normal: $(2,-1,2)$.

La ecuación del plano será: $\pi_2: 2x - y + 2z - 4 = 0$

e) Plano perpendicular que contiene a una recta

El plano $\pi_3$ que contiene a la recta $r$ y es perpendicular al plano $\pi$ tendrá como vectores directores:

• El vector director de $r$: $\vec{u}_r = (1,2,-1)$
• El vector normal al plano $\pi$: $\vec{n}_{\pi} = (2,-1,2)$

La ecuación del plano resultante es: $\pi_3: 3x - 4y - 5z - 10 = 0$

f) Volumen de un tetraedro

Los puntos de intersección del plano $\pi$ con los ejes de coordenadas son: $A(\frac{1}{2},0,0)$, $B(0,-1,0)$ y $C(0,0,\frac{1}{2})$

💡 Truco de cálculo: Para hallar el volumen del tetraedro formado con el origen, calcula el determinante de los vectores $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ y $\vec{OC}$ y divídelo entre 6.

El volumen del tetraedro OABC es: $V = \frac{1}{6}|\det(\vec{OA},\vec{OB},\vec{OC})| = \frac{1}{24}$ u³

Posiciones relativas entre rectas y planos

En este problema analizamos la posición relativa entre una recta $r$, un plano $\pi$ y un punto $P(1,0,1)$, además de obtener diversos elementos geométricos derivados.

a) Intersección entre recta y plano

La recta $r: x = \frac{y+5}{2} = \frac{z-2}{-1}$ y el plano $\pi: 2x - y + 2z - 1 = 0$ se cortan en el punto $(4,3,-2)$.

b) Plano que contiene a una recta y un punto

Para hallar el plano $\pi_1$ que contiene a la recta $r$ y al punto $P$, necesitamos:

• Un punto de $r$: $Q(0,-5,2)$
• Vector director de $r$: $\vec{u}_r = (1,2,-1)$
• Vector $\vec{QP} = (1,5,-1)$

El plano vendrá dado por la ecuación: $\pi_1: x + z - 2 = 0$

💡 Recuerda: Para determinar un plano que contiene una recta y un punto exterior, necesitas dos vectores directores (uno de la recta) y un punto del plano.

c) Recta perpendicular al plano

La recta $s$ perpendicular al plano $\pi$ que pasa por $P$ tendrá como vector director el vector normal al plano: $\vec{u}_s = (2,-1,2)$.

Por tanto, sus ecuaciones continuas son: $s: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z-1}{2}$

Paralelogramos en el espacio

En este problema tenemos una recta $r: \frac{x-1}{-2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-1}{2}$ y dos puntos $A(-1,-2,3)$ y $B(2,-2,-1)$ que determinan un lado de un paralelogramo. Necesitamos encontrar los otros dos vértices sabiendo que el perímetro es 16 unidades.

Primero analizamos la situación:

• Vector $\vec{AB} = (3,0,-4)$ con $|\vec{AB}| = 5$ unidades
• Vector director de la recta $\vec{u}_r = (-2,-1,2)$ con $|\vec{u}_r| = 3$ unidades
• Como es un paralelogramo, $|\vec{AB}| = |\vec{CD}| = 5$ unidades
• Los lados $BC$ y $AD$ miden 3 unidades cada uno

Con estas condiciones, podemos usar el vector director de la recta para encontrar los otros vértices:

1ª solución: $C(0,-3,1)$ y $D(-3,-3,5)$

2ª solución: $C'(4,-1,-3)$ y $D'(1,-1,1)$

💡 Visualización: Un paralelogramo tiene lados opuestos paralelos e iguales. En el espacio 3D, existen dos posibles orientaciones que cumplen las condiciones dadas.

Ambas soluciones son válidas y representan dos paralelogramos diferentes con el mismo perímetro.

Posiciones relativas de planos y simetría

En los dos últimos problemas, analizaremos posiciones relativas de tres planos y calcularemos elementos relacionados con la simetría.

Problema 5: Posición relativa de tres planos

Dados los planos: π₁: x + 2y - z = 1 π₂: 2x + y - z = 0 π₃: 3x + 3y - 2z = 0

Para analizar su posición relativa, estudiamos el sistema formado por sus ecuaciones. Al calcular el rango de la matriz de coeficientes y la matriz ampliada:

• Rango(M) = 2
• Rango(M') = 3

Como los rangos son diferentes, el sistema es incompatible. Además, ninguno de los vectores normales es proporcional a otro, por lo que los planos no son paralelos.

Conclusión: Los tres planos se cortan dos a dos formando un prisma triangular.

Problema 6: Simetría respecto a un punto

Dados los puntos $P(2,-1,5)$ y $M(-1,1,3)$:

a) El punto $P'$ simétrico de $P$ con respecto a $M$ es $P'(-4,3,1)$, ya que $M$ debe ser el punto medio del segmento $PP'$.

b) El plano mediatriz del segmento $PP'$ tiene como vector normal $\vec{n} = \vec{PP'} = (6,-4,4) = (3,-2,2)$ y su ecuación es: $π: 3x - 2y + 2z - 1 = 0$

💡 Propiedad clave: El plano mediatriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de $P$ y $P'$.