¿Qué son las potencias?

Las potencias son como atajos matemáticos para cuando tienes que multiplicar el mismo número varias veces. En lugar de escribir 5 × 5 × 5 × 5, simplemente escribes 5⁴.

La base es el número que se repite (en nuestro ejemplo, el 5). El exponente te dice cuántas veces tienes que multiplicar ese número (en este caso, 4 veces).

¡Recuerda! 5⁴ se lee "cinco elevado a cuatro" o "cinco a la cuarta potencia", y el resultado es 625.

Casos especiales: exponentes 1 y 0

Hay dos casos que pueden parecer raros pero son súper importantes. Cuando el exponente es 1, la potencia vale exactamente igual que la base. Por ejemplo: 9¹ = 9 o 434¹ = 434.

Lo más curioso es cuando el exponente es 0: cualquier número elevado a cero siempre da 1. Sí, siempre 1, sin importar lo complicado que sea el número base.

Si piensas en 4⁴, 4³, 4², 4¹... cada vez que bajas el exponente, divides entre 4. Siguiendo esta lógica, 4⁰ = 1.

¡Dato curioso! Incluso $π·√2/-3$⁰ = 1. ¡No importa lo loco que sea el número!

Multiplicar potencias con la misma base

Aquí viene el primer truco genial: cuando multiplicas potencias que tienen la misma base, mantienes la base y sumas los exponentes. ¡Así de fácil!

Por ejemplo: 3² × 3³ = 3²⁺³ = 3⁵. ¿Por qué funciona? Porque 3² × 3³ = (3×3) × (3×3×3) = 3×3×3×3×3 = 3⁵.

Otro ejemplo rápido: 9³ × 9⁴ = 9⁷. No necesitas calcular cuánto vale cada potencia por separado.

¡Truco! Solo funciona si las bases son iguales. No puedes usar esta regla con 2³ × 3⁴.

Dividir potencias con la misma base

La división es igual de sencilla: cuando divides potencias con la misma base, mantienes la base y restas los exponentes.

3⁵ ÷ 3³ = 3⁵⁻³ = 3². Si lo piensas: 3⁵ ÷ 3³ = (3×3×3×3×3) ÷ (3×3×3). Los tres treses de abajo cancelan tres de arriba, quedando 3².

Un ejemplo práctico: 5⁷ ÷ 5⁴ = 5³. ¡Súper directo!

¡Cuidado! El exponente del denominador se resta, no se suma. Es fácil confundirse al principio.

Potencia de una potencia

Cuando tienes una potencia elevada a otra potencia, como (7²)³, mantienes la base y multiplicas los exponentes.

(7²)³ = 7²×³ = 7⁶. ¿Por qué? Porque (7²)³ significa 7² × 7² × 7², que son seis veces el 7 multiplicándose.

Ejemplo: (6³)⁴ = 6¹². Los exponentes 3 y 4 se multiplican para dar 12.

¡No te lies! Esta vez los exponentes se multiplican, no se suman como en los casos anteriores.

Multiplicar potencias con el mismo exponente

Cuando tienes potencias con diferentes bases pero el mismo exponente, puedes multiplicar las bases y mantener el exponente.

4³ × 3³ = (4×3)³ = 12³. Funciona porque estás reagrupando: 4×4×4 × 3×3×3 = (4×3) × (4×3) × (4×3).

Otro ejemplo: 2⁵ × 6⁵ = 12⁵. ¡Mucho más fácil que calcular cada potencia por separado!

¡Útil para cálculos! Esta propiedad te ahorra muchísimo tiempo en los exámenes.

Dividir potencias con el mismo exponente

La última propiedad es similar a la anterior: cuando divides potencias con el mismo exponente, divides las bases y mantienes el exponente.

8³ ÷ 3³ = (8÷3)³ = $8/3$³. Es como reorganizar: (8×8×8) ÷ (3×3×3) = $8/3$ × $8/3$ × $8/3$.

Un ejemplo con números enteros: 10² ÷ 2² = 5². Mucho más limpio que hacer 100 ÷ 4 = 25.

¡Perfecto para fracciones! Esta regla hace que trabajar con fracciones elevadas a potencias sea súper sencillo.