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Actualizado Mar 17, 2026
•
Números Reales y Binomio de Newton: Apuntes Matemáticos
A
Alicia Asensio González
@aliciaasensiogonzlez_fkmj
1 / 4
Conjuntos Numéricos
Los números se organizan en diferentes conjuntos según sus características. Empezamos con los números naturales que usamos para contar. Luego vienen los números enteros que incluyen negativos.
Los números racionales (ℚ) son aquellos que pueden expresarse como fracción y dan lugar a decimales exactos o periódicos. Por otro lado, los números irracionales (I) tienen decimales que no son exactos ni periódicos.
Finalmente, los números reales (ℝ) incluyen todos los anteriores: ℝ = Q ∪ I, siendo Q ∩ I = ∅. Recuerda siempre la inclusión: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
💡 En operaciones combinadas, las operaciones entre racionales dan racionales , pero al mezclar racionales con irracionales obtenemos irracionales .
Valor Absoluto e Intervalos
El valor absoluto |x| representa la distancia de un número al cero, siempre positiva. Se define como |x| = x si x ≥ 0 y |x| = -x si x < 0. Por ejemplo, |2| = 2 y |-2| = 2.
Para representar conjuntos de números utilizamos intervalos. Estos pueden ser: abiertos ( ), cerrados [ ], semiabiertos [ ) o ( ]. Las semirrectas incluyen infinito negativo o positivo. Los entornos son intervalos centrados en un punto: E(a,r) = .
Con las potencias expresamos multiplicaciones repetidas: a^n = a·a·a... (n veces). Recuerda que a^0 = 1 y a^ = 1/a^n. También ten presente que -3² = -9 pero (-3)² = 9.
💡 Al trabajar con potencias, presta especial atención a los signos negativos y a los paréntesis, ya que pueden cambiar completamente el resultado de una expresión.
Radicales y Logaritmos
Los radicales permiten expresar raíces. Para simplificarlos, podemos usar propiedades como ⁿ√ = a^ o extraer factores: ⁿ√(a·b) = ⁿ√a · ⁿ√b. Para sumar radicales necesitamos el mismo índice, y para multiplicar o dividir, el mismo índice y base.
La racionalización nos ayuda a eliminar raíces del denominador: a/ⁿ√b = (a·ⁿ√b)/b. Por ejemplo, 1/√5 = √5/5.
Los logaritmos cumplen que log₍ₐ₎p = q ⟺ a^q = p. Sus propiedades principales son: log₍ₐ₎a = 1, log₍ₐ₎1 = 0, log₍ₐ₎(P·Q) = log₍ₐ₎P + log₍ₐ₎Q y log₍ₐ₎ = log₍ₐ₎P - log₍ₐ₎Q.
💡 Ten cuidado al manipular expresiones con logaritmos: log₍ₐ₎x² = 2·log₍ₐ₎x, pero (log₍ₐ₎x)² significa elevar al cuadrado el logaritmo, no multiplicarlo por 2.
Factoriales y Binomio de Newton
El factorial de un número n (n!) es el producto de todos los enteros positivos menores o iguales que n. Por ejemplo, 5! = 5·4·3·2·1 = 120. Recuerda que 0! = 1 y 1! = 1.
El binomio de Newton nos permite desarrollar potencias de binomios sin necesidad de multiplicar: ⁿ = ∑ₖ₌₀ⁿ (ⁿₖ)aⁿ⁻ᵏbᵏ
Los coeficientes (ⁿₖ) son números combinatorios que aparecen en el Triángulo de Pascal. Cada fila comienza y termina con 1, y cada número intermedio es la suma de los dos números de arriba.
💡 El Triángulo de Pascal es una herramienta poderosa que te permite encontrar rápidamente los coeficientes del desarrollo binomial sin necesidad de calcular cada número combinatorio por separado.
Pensamos que nunca lo preguntarías...
¿Qué es Knowunity AI companion?
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¿Dónde puedo descargar la app Knowunity?
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
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4.6/5
App Store
4.7/5
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
LOS QUIZ Y FLASHCARDS SON SÚPER ÚTILES Y ME ENCANTA Knowunity IA. ADEMÁS ES LITERALMENTE COMO CHATGPT PERO MÁS LISTO!! ME AYUDÓ TAMBIÉN CON MIS PROBLEMAS DE MÁSCARA!! Y CON MIS ASIGNATURAS DE VERDAD! OBVIO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
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Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
Números Reales y Binomio de Newton: Apuntes Matemáticos
A
Alicia Asensio González
@aliciaasensiogonzlez_fkmj
Los números reales, sus propiedades y operaciones forman la base de las matemáticas avanzadas. Entender cómo trabajar con conjuntos numéricos, potencias, radicales y logaritmos te permitirá resolver problemas complejos en diferentes áreas de las matemáticas.
Conjuntos Numéricos
Los números se organizan en diferentes conjuntos según sus características. Empezamos con los números naturales que usamos para contar. Luego vienen los números enteros que incluyen negativos.
Los números racionales (ℚ) son aquellos que pueden expresarse como fracción y dan lugar a decimales exactos o periódicos. Por otro lado, los números irracionales (I) tienen decimales que no son exactos ni periódicos.
Finalmente, los números reales (ℝ) incluyen todos los anteriores: ℝ = Q ∪ I, siendo Q ∩ I = ∅. Recuerda siempre la inclusión: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
💡 En operaciones combinadas, las operaciones entre racionales dan racionales , pero al mezclar racionales con irracionales obtenemos irracionales .
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Valor Absoluto e Intervalos
El valor absoluto |x| representa la distancia de un número al cero, siempre positiva. Se define como |x| = x si x ≥ 0 y |x| = -x si x < 0. Por ejemplo, |2| = 2 y |-2| = 2.
Para representar conjuntos de números utilizamos intervalos. Estos pueden ser: abiertos ( ), cerrados [ ], semiabiertos [ ) o ( ]. Las semirrectas incluyen infinito negativo o positivo. Los entornos son intervalos centrados en un punto: E(a,r) = .
Con las potencias expresamos multiplicaciones repetidas: a^n = a·a·a... (n veces). Recuerda que a^0 = 1 y a^ = 1/a^n. También ten presente que -3² = -9 pero (-3)² = 9.
💡 Al trabajar con potencias, presta especial atención a los signos negativos y a los paréntesis, ya que pueden cambiar completamente el resultado de una expresión.
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Radicales y Logaritmos
Los radicales permiten expresar raíces. Para simplificarlos, podemos usar propiedades como ⁿ√ = a^ o extraer factores: ⁿ√(a·b) = ⁿ√a · ⁿ√b. Para sumar radicales necesitamos el mismo índice, y para multiplicar o dividir, el mismo índice y base.
La racionalización nos ayuda a eliminar raíces del denominador: a/ⁿ√b = (a·ⁿ√b)/b. Por ejemplo, 1/√5 = √5/5.
Los logaritmos cumplen que log₍ₐ₎p = q ⟺ a^q = p. Sus propiedades principales son: log₍ₐ₎a = 1, log₍ₐ₎1 = 0, log₍ₐ₎(P·Q) = log₍ₐ₎P + log₍ₐ₎Q y log₍ₐ₎ = log₍ₐ₎P - log₍ₐ₎Q.
💡 Ten cuidado al manipular expresiones con logaritmos: log₍ₐ₎x² = 2·log₍ₐ₎x, pero (log₍ₐ₎x)² significa elevar al cuadrado el logaritmo, no multiplicarlo por 2.
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Factoriales y Binomio de Newton
El factorial de un número n (n!) es el producto de todos los enteros positivos menores o iguales que n. Por ejemplo, 5! = 5·4·3·2·1 = 120. Recuerda que 0! = 1 y 1! = 1.
El binomio de Newton nos permite desarrollar potencias de binomios sin necesidad de multiplicar: ⁿ = ∑ₖ₌₀ⁿ (ⁿₖ)aⁿ⁻ᵏbᵏ
Los coeficientes (ⁿₖ) son números combinatorios que aparecen en el Triángulo de Pascal. Cada fila comienza y termina con 1, y cada número intermedio es la suma de los dos números de arriba.
💡 El Triángulo de Pascal es una herramienta poderosa que te permite encontrar rápidamente los coeficientes del desarrollo binomial sin necesidad de calcular cada número combinatorio por separado.
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¿Dónde puedo descargar la app Knowunity?
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Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
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Erick
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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
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Roberto
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