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Hafsa
27/12/2025
Matemáticas
Números reales
680
•
27 dic 2025
•
Hafsa
@hafsa_mxjr
Los números reales forman el conjunto más amplio que usas... Mostrar más
¿Sabías que cada número que usas tiene su "familia"? Los números reales incluyen absolutamente todos los números que puedes imaginar, y se organizan en grupos más pequeños.
Los números naturales (ℕ) son los que aprendiste a contar: 1, 2, 3, 4... Los números enteros (ℤ) añaden el cero y los negativos: ...-2, -1, 0, 1, 2...
Los números racionales (ℚ) son los que puedes escribir como fracción de enteros, como 3/4 o -2/5. Incluyen decimales exactos (2,5) y periódicos (0,333...).
Los números irracionales (𝕀) son los "rebeldes" que no se pueden expresar como fracción: √2, π, φ... Sus decimales nunca terminan ni se repiten.
¡Recuerda! Cada conjunto está incluido en el siguiente: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Visualizar números en una recta te ayuda a entender mejor las matemáticas. Es como tener un mapa de todos los números posibles.
Para representar fracciones, divide el número mixto: 8/3 = 2 + 2/3, entonces va entre 2 y 3. Para -4/3 = -1 - 1/3, va entre -2 y -1.
Los números irracionales requieren el teorema de Pitágoras. Para representar √2, construye un triángulo rectángulo con catetos de 1 unidad. La hipotenusa mide exactamente √2.
Para √5, usa catetos de 1 y 2 unidades . Con este método puedes representar cualquier raíz cuadrada en la recta.
Truco visual: Usa un compás para trasladar la medida de la hipotenusa a la recta numérica.
Los intervalos son la forma matemática de decir "todos los números entre A y B". Son súper útiles para resolver inecuaciones y expresar dominios.
El intervalo abierto (a,b) no incluye los extremos: (−1,2) significa todos los números entre -1 y 2, pero sin incluir -1 ni 2.
El intervalo cerrado sí incluye los extremos: incluye desde -2 hasta 3, incluyendo ambos números.
Los intervalos semiabiertos incluyen solo uno de los extremos: incluye 1 pero no 3.
Consejo: Los paréntesis ( ) excluyen, los corchetes incluyen. ¡Es como una puerta abierta vs cerrada!
Las semirrectas expresan "todos los números mayores que..." o "todos los números menores que...". Usan el símbolo ∞ para infinito.
significa todos los números mayores que a, sin incluir a. [a,+∞) incluye a y todos los números mayores.
(−∞,a) son todos los números menores que a, sin incluirlo. (−∞,a] incluye a y todos los menores.
El conjunto completo de números reales se escribe como (−∞,+∞) = ℝ.
Importante: El infinito (∞) nunca se incluye, por eso siempre lleva paréntesis.
Un entorno E(a,r) es el intervalo : todos los números que están a distancia máxima r del centro a. Por ejemplo, E(1,2) = (−1,3).
Las operaciones con intervalos son como operaciones con conjuntos. La unión (∪) junta intervalos: [−5,6) ∪ (4,8) = [−5,8).
La intersección (∩) encuentra la parte común: [−5,6) ∩ (4,8) = (4,6). Si no hay parte común, el resultado es el conjunto vacío ∅.
Cuando dos intervalos se "tocan" en un punto, su intersección es ese único punto: (2,5] ∩ [5,7) = {5}.
Visualiza: Dibuja los intervalos en la recta para ver claramente las uniones e intersecciones.
El valor absoluto |a| es siempre positivo: |5| = 5 y |−5| = 5. Representa la distancia desde cero en la recta numérica.
Para resolver |x−1| < 2, piensa: "¿qué números están a menos de 2 unidades de 1?" La respuesta es −2 < x−1 < 2, que da x ∈ (−1,3).
Cuando tienes |x−1| > 2, buscas números que están a más de 2 unidades de 1. Esto da dos partes: x < −1 o x > 3, escrito como (−∞,−1) ∪ (3,+∞).
Las desigualdades con valor absoluto siempre se resuelven considerando ambos casos: positivo y negativo.
Truco mental: |x−a| < r significa "x está cerca de a", |x−a| > r significa "x está lejos de a".
Las raíces son la operación inversa de las potencias. ∛8 = 2 porque 2³ = 8. Es como preguntarse "¿qué número elevado a 3 da 8?"
Con índice impar (3, 5, 7...), puedes tener radicandos negativos: ∛(−8) = −2. Con índice par (2, 4, 6...), el radicando debe ser positivo.
La forma exponencial convierte radicales en potencias: ∛a² = a^(2/3). Esto facilita las operaciones porque usas las reglas de potencias.
Las propiedades básicas incluyen: ⁿ√1 = 1, ⁿ√0 = 0, y ⁿ√aⁿ = a (con cuidado en el signo para índices pares).
Conexión clave: Dominar la forma exponencial te simplificará enormemente el álgebra avanzada.
Los radicales del mismo índice se multiplican fácilmente: √3 · √10 = √30. Para índices diferentes, necesitas encontrar un índice común.
Para multiplicar ∛3 · √2, usa índice 6: ⁶√(3²) · ⁶√(2³) = ⁶√(27·4) = ⁶√108.
Sacar factores del radical simplifica expresiones: √27 = √(9·3) = √9 · √3 = 3√3. Busca cuadrados perfectos dentro del radicando.
La simplificación de radicales reduce índice y exponente por su máximo común divisor: ⁶√(25²) = ³√25.
Estrategia: Siempre busca factores perfectos para simplificar antes de operar.
La división de radicales con igual índice es directa: √10/√2 = √(10/2) = √5. Para índices diferentes, busca índice común como en la multiplicación.
Las potencias de radicales siguen la regla (ⁿ√a)^m = ⁿ√. Por ejemplo: (∛5)² = ∛(5²) = ∛25.
Los radicales anidados se simplifican multiplicando índices: ³√(⁵√7) = ¹⁵√7. Es como "desarrollar" las raíces desde dentro hacia fuera.
Para dividir con índices diferentes, convierte a índice común y opera: ⁵√4 ÷ ³√2 = ¹⁵√(4³)/¹⁵√(2⁵) = ¹⁵√(64/32) = ¹⁵√2.
Paciencia: Las operaciones complejas requieren pasos ordenados, pero el resultado siempre se simplifica.
Los radicales semejantes tienen el mismo índice y radicando, como 3∛5 y 7∛5. Se suman como términos algebraicos: 3∛5 + 7∛5 = 10∛5.
A veces los radicales parecen diferentes pero son semejantes. √20 = √(4·5) = 2√5, y √45 = √(9·5) = 3√5, así que √20 + √45 = 2√5 + 3√5 = 5√5.
Para identificar radicales semejantes, factoriza completamente cada radicando buscando cuadrados perfectos, cubos perfectos, etc.
La clave está en simplificar cada radical por separado antes de determinar si se pueden combinar.
¡Éxito asegurado! Dominar radicales semejantes te facilitará enormemente las ecuaciones con raíces.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
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Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Julyana
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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
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Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
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Hafsa
@hafsa_mxjr
Los números reales forman el conjunto más amplio que usas en matemáticas, incluyendo desde números naturales hasta decimales infinitos como π. Dominar estos conceptos te dará las bases sólidas que necesitas para álgebra y cálculo.
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¿Sabías que cada número que usas tiene su "familia"? Los números reales incluyen absolutamente todos los números que puedes imaginar, y se organizan en grupos más pequeños.
Los números naturales (ℕ) son los que aprendiste a contar: 1, 2, 3, 4... Los números enteros (ℤ) añaden el cero y los negativos: ...-2, -1, 0, 1, 2...
Los números racionales (ℚ) son los que puedes escribir como fracción de enteros, como 3/4 o -2/5. Incluyen decimales exactos (2,5) y periódicos (0,333...).
Los números irracionales (𝕀) son los "rebeldes" que no se pueden expresar como fracción: √2, π, φ... Sus decimales nunca terminan ni se repiten.
¡Recuerda! Cada conjunto está incluido en el siguiente: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
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Para representar fracciones, divide el número mixto: 8/3 = 2 + 2/3, entonces va entre 2 y 3. Para -4/3 = -1 - 1/3, va entre -2 y -1.
Los números irracionales requieren el teorema de Pitágoras. Para representar √2, construye un triángulo rectángulo con catetos de 1 unidad. La hipotenusa mide exactamente √2.
Para √5, usa catetos de 1 y 2 unidades . Con este método puedes representar cualquier raíz cuadrada en la recta.
Truco visual: Usa un compás para trasladar la medida de la hipotenusa a la recta numérica.
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El intervalo cerrado sí incluye los extremos: incluye desde -2 hasta 3, incluyendo ambos números.
Los intervalos semiabiertos incluyen solo uno de los extremos: incluye 1 pero no 3.
Consejo: Los paréntesis ( ) excluyen, los corchetes incluyen. ¡Es como una puerta abierta vs cerrada!
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significa todos los números mayores que a, sin incluir a. [a,+∞) incluye a y todos los números mayores.
(−∞,a) son todos los números menores que a, sin incluirlo. (−∞,a] incluye a y todos los menores.
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Las operaciones con intervalos son como operaciones con conjuntos. La unión (∪) junta intervalos: [−5,6) ∪ (4,8) = [−5,8).
La intersección (∩) encuentra la parte común: [−5,6) ∩ (4,8) = (4,6). Si no hay parte común, el resultado es el conjunto vacío ∅.
Cuando dos intervalos se "tocan" en un punto, su intersección es ese único punto: (2,5] ∩ [5,7) = {5}.
Visualiza: Dibuja los intervalos en la recta para ver claramente las uniones e intersecciones.
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El valor absoluto |a| es siempre positivo: |5| = 5 y |−5| = 5. Representa la distancia desde cero en la recta numérica.
Para resolver |x−1| < 2, piensa: "¿qué números están a menos de 2 unidades de 1?" La respuesta es −2 < x−1 < 2, que da x ∈ (−1,3).
Cuando tienes |x−1| > 2, buscas números que están a más de 2 unidades de 1. Esto da dos partes: x < −1 o x > 3, escrito como (−∞,−1) ∪ (3,+∞).
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Las raíces son la operación inversa de las potencias. ∛8 = 2 porque 2³ = 8. Es como preguntarse "¿qué número elevado a 3 da 8?"
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La forma exponencial convierte radicales en potencias: ∛a² = a^(2/3). Esto facilita las operaciones porque usas las reglas de potencias.
Las propiedades básicas incluyen: ⁿ√1 = 1, ⁿ√0 = 0, y ⁿ√aⁿ = a (con cuidado en el signo para índices pares).
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Para multiplicar ∛3 · √2, usa índice 6: ⁶√(3²) · ⁶√(2³) = ⁶√(27·4) = ⁶√108.
Sacar factores del radical simplifica expresiones: √27 = √(9·3) = √9 · √3 = 3√3. Busca cuadrados perfectos dentro del radicando.
La simplificación de radicales reduce índice y exponente por su máximo común divisor: ⁶√(25²) = ³√25.
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La división de radicales con igual índice es directa: √10/√2 = √(10/2) = √5. Para índices diferentes, busca índice común como en la multiplicación.
Las potencias de radicales siguen la regla (ⁿ√a)^m = ⁿ√. Por ejemplo: (∛5)² = ∛(5²) = ∛25.
Los radicales anidados se simplifican multiplicando índices: ³√(⁵√7) = ¹⁵√7. Es como "desarrollar" las raíces desde dentro hacia fuera.
Para dividir con índices diferentes, convierte a índice común y opera: ⁵√4 ÷ ³√2 = ¹⁵√(4³)/¹⁵√(2⁵) = ¹⁵√(64/32) = ¹⁵√2.
Paciencia: Las operaciones complejas requieren pasos ordenados, pero el resultado siempre se simplifica.
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Los radicales semejantes tienen el mismo índice y radicando, como 3∛5 y 7∛5. Se suman como términos algebraicos: 3∛5 + 7∛5 = 10∛5.
A veces los radicales parecen diferentes pero son semejantes. √20 = √(4·5) = 2√5, y √45 = √(9·5) = 3√5, así que √20 + √45 = 2√5 + 3√5 = 5√5.
Para identificar radicales semejantes, factoriza completamente cada radicando buscando cuadrados perfectos, cubos perfectos, etc.
La clave está en simplificar cada radical por separado antes de determinar si se pueden combinar.
¡Éxito asegurado! Dominar radicales semejantes te facilitará enormemente las ecuaciones con raíces.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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Roberto
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Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
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Julyana
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Javier
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