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Matemáticas
12 dic 2025
840
7 páginas
mario dominguez perez @mariodominguezperez_8vd2
Los números complejos son una extensión de los números reales que incluye la famosa unidad imaginaria i.... Mostrar más
Los números complejos combinan números reales e imaginarios en una sola expresión. Es como si juntáramos dos mundos matemáticos diferentes para crear algo más potente.
La clave está en la unidad imaginaria i, que es igual a √(-1). Lo más importante que debes recordar es que i² = -1. Con esta simple regla puedes hacer operaciones con números que antes eran imposibles.
Los números imaginarios se escriben como bi, donde b es un número real cualquiera e i es nuestra unidad imaginaria. Gracias a esto, ahora puedes resolver ecuaciones como x² + 9 = 0, que tiene como solución x = ±3i.
💡 Truco clave Siempre recuerda que i² = -1. Es la base de todo lo que viene después.
Calcular potencias de i es más fácil de lo que parece porque siguen un patrón que se repite cada 4 potencias. Observa i⁰ = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, y i⁴ = 1 otra vez.
Para calcular cualquier potencia como i²², solo necesitas dividir el exponente entre 4 y fijarte en el resto. Si 22 ÷ 4 = 5 con resto 2, entonces i²² = i² = -1.
Este truco funciona siempre i²⁷ tiene resto 3 al dividir entre 4, así que i²⁷ = i³ = -i. Es como un ciclo que nunca se rompe.
💡 Método infalible Divide el exponente entre 4, mira el resto, y usa i⁰ = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i.
Un número complejo en forma binómica se escribe como Z = a + bi, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria. Es como tener dos componentes en uno solo.
Cuando b = 0, tienes un número real normal . Cuando a = 0, tienes un número imaginario puro . Así de simple.
El opuesto de Z = a + bi es -Z = -a - bi (cambias todos los signos). El conjugado es Z̄ = a - bi (solo cambias el signo de la parte imaginaria). Por ejemplo, si Z = 3 + 5i, su opuesto es -3 - 5i y su conjugado es 3 - 5i.
💡 Para recordar Opuesto = cambiar todos los signos, Conjugado = cambiar solo el signo de i.
Los números complejos se representan en un plano donde el eje horizontal es para la parte real y el vertical para la imaginaria. Es como un mapa de coordenadas especial.
El número Z = a + bi se representa con el punto (a, b), llamado afijo. Por ejemplo, Z = 3 + 5i va en el punto (3, 5). Su opuesto -Z = -3 - 5i está en (-3, -5), y su conjugado Z̄ = 3 - 5i está en (3, -5).
Gráficamente, el conjugado es como el reflejo del número original respecto al eje horizontal. Es una simetría perfecta.
💡 Visualiza El plano complejo es como un GPS matemático donde cada número tiene su ubicación exacta.
Sumar y restar es súper directo juntas las partes reales por un lado y las imaginarias por otro. + - = (5-8-4) + (2+3+2)i = -7+7i.
Para multiplicar, usa la propiedad distributiva y recuerda que i² = -1. = 10 - 15i + 4i - 6i² = 10 - 11i + 6 = 16 - 11i.
La división requiere un truco multiplica arriba y abajo por el conjugado del denominador. Esto elimina la i del denominador y te deja una división más sencilla.
💡 Estrategia para dividir Siempre multiplica por el conjugado del denominador para "limpiar" la i de abajo.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.
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Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
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Elena
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Mar
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mario dominguez perez
@mariodominguezperez_8vd2
Los números complejos son una extensión de los números reales que incluye la famosa unidad imaginaria i. Aunque al principio puedan parecer raros, son súper útiles para resolver ecuaciones que antes no tenían solución, como x² = -9.
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Los números complejos combinan números reales e imaginarios en una sola expresión. Es como si juntáramos dos mundos matemáticos diferentes para crear algo más potente.
La clave está en la unidad imaginaria i, que es igual a √(-1). Lo más importante que debes recordar es que i² = -1. Con esta simple regla puedes hacer operaciones con números que antes eran imposibles.
Los números imaginarios se escriben como bi, donde b es un número real cualquiera e i es nuestra unidad imaginaria. Gracias a esto, ahora puedes resolver ecuaciones como x² + 9 = 0, que tiene como solución x = ±3i.
💡 Truco clave: Siempre recuerda que i² = -1. Es la base de todo lo que viene después.
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Para calcular cualquier potencia como i²², solo necesitas dividir el exponente entre 4 y fijarte en el resto. Si 22 ÷ 4 = 5 con resto 2, entonces i²² = i² = -1.
Este truco funciona siempre: i²⁷ tiene resto 3 al dividir entre 4, así que i²⁷ = i³ = -i. Es como un ciclo que nunca se rompe.
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El opuesto de Z = a + bi es -Z = -a - bi (cambias todos los signos). El conjugado es Z̄ = a - bi (solo cambias el signo de la parte imaginaria). Por ejemplo, si Z = 3 + 5i, su opuesto es -3 - 5i y su conjugado es 3 - 5i.
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Gráficamente, el conjugado es como el reflejo del número original respecto al eje horizontal. Es una simetría perfecta.
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Para multiplicar, usa la propiedad distributiva y recuerda que i² = -1. = 10 - 15i + 4i - 6i² = 10 - 11i + 6 = 16 - 11i.
La división requiere un truco: multiplica arriba y abajo por el conjugado del denominador. Esto elimina la i del denominador y te deja una división más sencilla.
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Pablo
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Sophia
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Marta
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Izan
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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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