Información General y Ejercicio de Análisis

Este examen tiene 4 ejercicios de 2,5 puntos cada uno, con 90 minutos para resolverlo. El primer ejercicio es obligatorio (sin opcionalidad) y trata sobre derivadas e integrales aplicadas a un contexto real.

HidroBio es el contexto del primer ejercicio: un preparado médico donde la tasa de variación del principio activo viene dada por c$t$ = 3/2$t - t²/2$. Necesitas dominar tres conceptos clave: primitivas (para calcular la cantidad total), análisis del crecimiento (usando la derivada) y máximos y mínimos.

Para el apartado $a$, calculas la primitiva F$t$ = 3t²/4 - t³/4 y evalúas en t=1. Para $b$, estudias el signo de c$t$ para ver cuándo crece la función. Para $c$, encuentras el máximo de F$t$ derivando e igualando a cero.

Consejo clave: Recuerda que la derivada de la cantidad es la tasa de variación. Si c$t$ > 0, la cantidad aumenta; si c$t$ < 0, disminuye.

Ejercicios de Álgebra y Sistemas

Aquí eliges entre matrices (2.1) o sistemas de ecuaciones (2.2). Ambos son fundamentales en selectividad.

En matrices, trabajas con operaciones básicas: calcular inversas, resolver ecuaciones matriciales como B$Dᵗ + A⁻¹$B⁻¹ = 2I, y potencias usando relaciones como A² = A + 2I. La clave está en despejar paso a paso y aplicar las propiedades correctamente.

En sistemas, haces la discusión según el parámetro a. Calculas el determinante de la matriz de coeficientes, encuentras los valores críticos $a = 0 y a = 1$, y analizas cada caso: compatible determinado, incompatible o compatible indeterminado usando el teorema de Rouché-Frobenius.

Para a = 1, el sistema es compatible indeterminado, así que expresas la solución en función de un parámetro λ.

Truco importante: En sistemas, siempre compara el rango de la matriz de coeficientes con el rango de la matriz ampliada para determinar la compatibilidad.

Estadística y Distribuciones

Aquí eliges entre dos problemas de estadística inferencial. Ambos tratan sobre el compromiso con el reciclaje en diferentes municipios.

En la opción 3.1, trabajas con una distribución binomial B(600, 0,7) y su aproximación normal. Calculas la esperanza para personas no comprometidas (180) y usas la aproximación N(420, 11,225) con corrección por continuidad para probabilidades.

En la opción 3.2, construyes intervalos de confianza al 90% usando la fórmula p̂ ± z_{α/2}√$p̂(1-p̂)/n$ y calculas el tamaño muestral mínimo para un error del 3% con confianza del 95%.

Las fórmulas clave son: para intervalos de confianza necesitas z_{0.05} = 1,645, y para tamaño muestral usas n > $z_{α/2}√(p(1-p))/E$².

Recuerda: La tabla Z de la página 3 es tu mejor aliada. Úsala para encontrar las probabilidades y valores críticos que necesitas.

Probabilidad y Teorema de Bayes

El último ejercicio te ofrece dos problemas de probabilidad: uno con sucesos generales y otro con el teorema de Bayes.

En la opción 4.1, tienes datos como P(A∪B) = 1, P(B) = 0,8 y P(Ā) = 0,55. Usas las fórmulas básicas de probabilidad: P(A|B) = P(A∩B)/P(B) y las relaciones entre unión, intersección y complementarios.

En la opción 4.2, aplicas el teorema de la probabilidad total y Bayes con los premios Grammy Latino. Defines sucesos (dúos, grupos, solistas) con sus probabilidades a priori y condicionadas para ganar el premio.

La probabilidad total es P(G) = P(G|A)·P(A) + P(G|B)·P(B) + P(G|C)·P(C), y Bayes es P(C|G) = P(G|C)·P(C)/P(G).

Estrategia ganadora: En problemas de Bayes, siempre dibuja un diagrama de árbol o tabla para visualizar todas las probabilidades y evitar errores de cálculo.