Operaciones Básicas con Matrices

La multiplicación por un número es súper sencilla: multiplicas cada elemento de la matriz por ese número. Por ejemplo, si tienes la matriz $-1, 2; 3, 4$ y la multiplicas por 2, obtienes $-2, 4; 6, 8$.

La transposición cambia filas por columnas. Se escribe como A^t y es una operación que verás mucho en los exámenes. Si tu matriz original es de 3x2, la transpuesta será de 2x3.

Para multiplicar dos matrices, multiplicas cada fila de la primera por cada columna de la segunda. Ojo: solo puedes hacerlo si el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda. El resultado tendrá las filas de la primera y las columnas de la segunda.

Recuerda: El producto de matrices NO es conmutativo. A·B ≠ B·A en general.

Determinantes y sus Propiedades

Los determinantes te dicen si las filas o columnas de una matriz son independientes. Si el determinante vale 0, hay dependencia; si es distinto de 0, son independientes.

Para matrices 2x2 es fácil: determinante = $a·d - b·c$. Para matrices 3x3 usas la regla de Sarrus o desarrollas por una fila o columna.

Las propiedades más importantes que debes memorizar son:

• Si una fila o columna son todo ceros → determinante = 0
• Si dos filas o columnas coinciden → determinante = 0
• Si cambias dos filas o columnas → el determinante cambia de signo
• |A·B| = |A|·|B| y |A^t| = |A|

Truco de examen: Si una fila es combinación lineal de otras, el determinante siempre vale 0.

Más Propiedades de Determinantes

Hay dos propiedades súper útiles para simplificar cálculos en los exámenes. Si una fila está expresada como suma, puedes dividir el determinante en la suma de dos determinantes separados.

La propiedad más práctica es que puedes sumar a una fila una combinación lineal de las otras sin cambiar el valor del determinante. Esto te permite crear ceros estratégicamente y simplificar muchísimo los cálculos.

También puedes sacar factores comunes de filas o columnas, multiplicando el determinante por ese factor. Estas técnicas te ahorrarán tiempo precioso en selectividad.

Consejo: Usa siempre estas propiedades para crear ceros antes de calcular. Te facilitará la vida enormemente.

Cálculo de la Matriz Inversa

Para calcular A^$-1$, necesitas seguir tres pasos claros. Primero, comprueba que |A| ≠ 0. Si el determinante es cero, la matriz no tiene inversa y ya puedes parar.

Segundo, calcula la matriz adjunta. Para cada elemento, eliminas su fila y columna, calculas el determinante de lo que queda y le cambias el signo según el patrón de signos alternos (+, -, +, -, ...).

Tercero, aplicas la fórmula: A^$-1$ = $1/|A|$ · (Adj(A))^t. No te olvides de transponer la adjunta antes de dividir por el determinante.

Las matrices inversas son clave para resolver ecuaciones matriciales. Para AX = B, la solución es X = A^$-1$B. Pero cuidado con el orden: el producto no es conmutativo.

Importante: Siempre verifica tu resultado multiplicando A · A^$-1$ = I (matriz identidad).

Ecuaciones Matriciales y Rango

Para resolver ecuaciones matriciales, multiplica por la inversa en el orden correcto. En AX = B, haces X = A^$-1$B. En XB = C, sería X = CB^$-1$. El orden importa porque la multiplicación no es conmutativa.

El rango de una matriz es el número de filas (o columnas) que son linealmente independientes. Puedes calcularlo de dos formas: viendo qué filas no son combinación de otras, o usando determinantes.

La técnica de determinantes es más sistemática: el rango coincide con el orden de la mayor submatriz cuadrada cuyo determinante sea distinto de cero. Empiezas por matrices 1x1, luego 2x2, etc.

Método rápido: Si ves que una fila es múltiplo de otra, ya sabes que el rango es menor del número total de filas.