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Matrices Matemáticas Sociales Bachillerato CCSS II

E

Eva Alves González

@evaalvesgonzlez

¡Hola! Las matemáticas de bachillerato pueden parecer un montón de... Mostrar más

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--- OCR Start --- B A C $(x+\alpha)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}\alpha^{n-k} \frac{dy}{dx}$ A=$\pi r^{2}$ $5,5^{2}=ap^{2}+2,75^{2}$ $

Fórmulas y conceptos básicos

Esta página muestra una mezcla de fórmulas fundamentales que te van a acompañar durante todo bachillerato. Aquí tienes desde el teorema del binomio (x+α)n(x+\alpha)^n hasta derivadas básicas como dydx\frac{dy}{dx}.

Las fórmulas geométricas como el área del círculo A=πr2A=\pi r^2 y los cálculos con el teorema de Pitágoras son la base para problemas más complejos. Fíjate que aparecen cálculos como AP=30,25−7,56=4,7AP=\sqrt{30,25-7,56}=4,7 cm, que muestran cómo aplicar estas fórmulas en ejercicios reales.

También encuentras elementos de análisis matemático como límites lim⁡n→∞(1+1n)n\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n y la famosa fórmula cuadrática −b±b2−4ac2a\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}. Estas fórmulas te van a servir tanto para selectividad como para entender conceptos más avanzados.

Consejo clave: Guarda estas fórmulas en tu memoria a largo plazo practicándolas regularmente, no solo memorizándolas.

--- OCR Start --- B A C $(x+\alpha)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}\alpha^{n-k} \frac{dy}{dx}$ A=$\pi r^{2}$ $5,5^{2}=ap^{2}+2,75^{2}$ $

Introducción a las matrices

Las matrices son básicamente tablas de números organizadas en filas y columnas, y son mucho más útiles de lo que parecen al principio. Una matriz se escribe como A=(aij)A=(a_{ij}) donde ii es la fila y jj la columna.

Tienes varios tipos importantes: las matrices cuadradas (mismo número de filas que de columnas), las matrices identidad (con unos en la diagonal principal y ceros en el resto), y las matrices transpuestas (donde cambias filas por columnas). Por ejemplo, si A=(123\5−79)A=\begin{pmatrix}1&2&3\5&-7&9\end{pmatrix}, entonces AT=(15\2−7\39)A^T=\begin{pmatrix}1&5\2&-7\3&9\end{pmatrix}.

Las matrices simétricas cumplen que A=ATA=A^T, mientras que las antisimétricas cumplen A=−ATA=-A^T. Para sumar o restar matrices, simplemente sumas o restas elemento a elemento, pero ojo: las matrices deben tener el mismo tamaño.

Truco visual: Imagina las matrices como hojas de cálculo - cada casilla tiene una dirección específica (fila, columna).

--- OCR Start --- B A C $(x+\alpha)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}\alpha^{n-k} \frac{dy}{dx}$ A=$\pi r^{2}$ $5,5^{2}=ap^{2}+2,75^{2}$ $

Determinantes y sus propiedades

El determinante es un número que se calcula a partir de una matriz cuadrada y te dice mucho sobre sus propiedades. Para una matriz 2×2: ∣A∣=∣23\-14∣=(2⋅4)−(3⋅(−1))=11|A|=\begin{vmatrix}2&3\-1&4\end{vmatrix}=(2\cdot4)-(3\cdot(-1))=11.

Para matrices 3×3 la cosa se complica un poco, pero el patrón es similar. Los determinantes son clave porque si ∣A∣≠0|A|\neq 0, la matriz tiene inversa; si ∣A∣=0|A|=0, no la tiene.

Los conceptos de menor complementario y adjunto son fundamentales para calcular determinantes grandes y matrices inversas. El menor complementario αij\alpha_{ij} se obtiene eliminando la fila ii y columna jj, mientras que el adjunto es Aij=(−1)i+j⋅αijA_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot\alpha_{ij}.

Estrategia de examen: Si ves una fila o columna con muchos ceros, desarrolla el determinante por esa fila para simplificar los cálculos.

--- OCR Start --- B A C $(x+\alpha)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}\alpha^{n-k} \frac{dy}{dx}$ A=$\pi r^{2}$ $5,5^{2}=ap^{2}+2,75^{2}$ $

Matriz adjunta, inversa y rango

Para calcular la matriz adjunta, necesitas encontrar todos los adjuntos y organizarlos en una nueva matriz. Es un proceso laborioso pero sistemático que dominarás con práctica.

La matriz inversa se calcula con la fórmula A−1=(Adj(A))T∣A∣A^{-1}=\frac{(Adj(A))^T}{|A|}, pero solo existe si ∣A∣≠0|A|\neq 0. Una vez que tienes la inversa, puedes resolver ecuaciones matriciales fácilmente.

El rango de una matriz es el número de filas (o columnas) linealmente independientes. Si ∣A∣≠0|A|\neq 0, entonces rang(A)=nrang(A)=n (el orden de la matriz). Si ∣A∣=0|A|=0, entonces rang(A)<nrang(A)<n y tienes que calcular determinantes de submatrices más pequeñas hasta encontrar uno que no sea cero.

Consejo práctico: Para matrices grandes, usa calculadora científica o software para verificar tus cálculos de determinantes.

--- OCR Start --- B A C $(x+\alpha)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}\alpha^{n-k} \frac{dy}{dx}$ A=$\pi r^{2}$ $5,5^{2}=ap^{2}+2,75^{2}$ $

Sistemas de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales pueden tener una solución (sistema compatible determinado), infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado) o ninguna solución (sistema incompatible).

El método de Gauss consiste en convertir el sistema en una matriz escalonada mediante operaciones elementales entre filas. Es el método más sistemático y menos propenso a errores de cálculo.

El método de Cramer funciona cuando el número de ecuaciones coincide con el de incógnitas y ∣A∣≠0|A|\neq 0. Las soluciones son: xi=∣Ai∣∣A∣x_i=\frac{|A_i|}{|A|}, donde ∣Ai∣|A_i| es el determinante que se obtiene cambiando la columna ii por la de términos independientes.

Tip de eficiencia: Si el determinante principal es cero, ni te molestes con Cramer - usa Gauss directamente.

--- OCR Start --- B A C $(x+\alpha)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}\alpha^{n-k} \frac{dy}{dx}$ A=$\pi r^{2}$ $5,5^{2}=ap^{2}+2,75^{2}$ $

Resolución mediante ecuación matricial y casos especiales

La ecuación matricial A⋅X=BA \cdot X = B se resuelve como X=A−1⋅BX = A^{-1} \cdot B, pero solo si existe A−1A^{-1}. Este método es elegante pero requiere calcular la matriz inversa completa.

Para sistemas con parámetros, debes analizar diferentes casos según los valores del parámetro. Cuando el determinante se anula, el sistema puede volverse incompatible o indeterminado dependiendo del rango de la matriz ampliada.

Los sistemas compatibles indeterminados tienen infinitas soluciones que dependen de parámetros libres. El número de grados de libertad es n−rang(A)n - rang(A), donde nn es el número de incógnitas.

Estrategia para parámetros: Primero encuentra qué valores anulan el determinante, luego analiza cada caso por separado.

--- OCR Start --- B A C $(x+\alpha)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}\alpha^{n-k} \frac{dy}{dx}$ A=$\pi r^{2}$ $5,5^{2}=ap^{2}+2,75^{2}$ $

Programación lineal básica

La programación lineal te ayuda a encontrar el máximo o mínimo de una función sujeta a restricciones. Empiezas convirtiendo las inecuaciones en ecuaciones para encontrar las rectas frontera.

Para resolver un sistema de inecuaciones, dibujas cada recta y determinas qué lado satisface la inecuación probando con un punto de prueba (normalmente el origen). La región factible es donde se solapan todas las condiciones.

Los vértices de la región factible son los puntos donde se cruzan las rectas frontera. Estos puntos son candidatos para el máximo o mínimo de tu función objetivo, según el teorema fundamental de la programación lineal.

Truco gráfico: Usa diferentes colores para sombrear cada inecuación - la región donde coinciden todos los colores es tu región factible.

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!

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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.

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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

Julyana

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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

Javier

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Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

Erick

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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!

Mar

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!

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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.

Izan

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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

Julyana

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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

Javier

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Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!

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25 dic 2025

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Matrices Matemáticas Sociales Bachillerato CCSS II

E

Eva Alves González

@evaalvesgonzlez

¡Hola! Las matemáticas de bachillerato pueden parecer un montón de fórmulas sueltas, pero en realidad son herramientas súper útiles que se conectan entre sí. Vamos a ver los conceptos más importantes de matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones y programación lineal... Mostrar más

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Fórmulas y conceptos básicos

Esta página muestra una mezcla de fórmulas fundamentales que te van a acompañar durante todo bachillerato. Aquí tienes desde el teorema del binomio (x+α)n(x+\alpha)^n hasta derivadas básicas como dydx\frac{dy}{dx}.

Las fórmulas geométricas como el área del círculo A=πr2A=\pi r^2 y los cálculos con el teorema de Pitágoras son la base para problemas más complejos. Fíjate que aparecen cálculos como AP=30,25−7,56=4,7AP=\sqrt{30,25-7,56}=4,7 cm, que muestran cómo aplicar estas fórmulas en ejercicios reales.

También encuentras elementos de análisis matemático como límites lim⁡n→∞(1+1n)n\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n y la famosa fórmula cuadrática −b±b2−4ac2a\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}. Estas fórmulas te van a servir tanto para selectividad como para entender conceptos más avanzados.

Consejo clave: Guarda estas fórmulas en tu memoria a largo plazo practicándolas regularmente, no solo memorizándolas.

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Introducción a las matrices

Las matrices son básicamente tablas de números organizadas en filas y columnas, y son mucho más útiles de lo que parecen al principio. Una matriz se escribe como A=(aij)A=(a_{ij}) donde ii es la fila y jj la columna.

Tienes varios tipos importantes: las matrices cuadradas (mismo número de filas que de columnas), las matrices identidad (con unos en la diagonal principal y ceros en el resto), y las matrices transpuestas (donde cambias filas por columnas). Por ejemplo, si A=(123\5−79)A=\begin{pmatrix}1&2&3\5&-7&9\end{pmatrix}, entonces AT=(15\2−7\39)A^T=\begin{pmatrix}1&5\2&-7\3&9\end{pmatrix}.

Las matrices simétricas cumplen que A=ATA=A^T, mientras que las antisimétricas cumplen A=−ATA=-A^T. Para sumar o restar matrices, simplemente sumas o restas elemento a elemento, pero ojo: las matrices deben tener el mismo tamaño.

Truco visual: Imagina las matrices como hojas de cálculo - cada casilla tiene una dirección específica (fila, columna).

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Determinantes y sus propiedades

El determinante es un número que se calcula a partir de una matriz cuadrada y te dice mucho sobre sus propiedades. Para una matriz 2×2: ∣A∣=∣23\-14∣=(2⋅4)−(3⋅(−1))=11|A|=\begin{vmatrix}2&3\-1&4\end{vmatrix}=(2\cdot4)-(3\cdot(-1))=11.

Para matrices 3×3 la cosa se complica un poco, pero el patrón es similar. Los determinantes son clave porque si ∣A∣≠0|A|\neq 0, la matriz tiene inversa; si ∣A∣=0|A|=0, no la tiene.

Los conceptos de menor complementario y adjunto son fundamentales para calcular determinantes grandes y matrices inversas. El menor complementario αij\alpha_{ij} se obtiene eliminando la fila ii y columna jj, mientras que el adjunto es Aij=(−1)i+j⋅αijA_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot\alpha_{ij}.

Estrategia de examen: Si ves una fila o columna con muchos ceros, desarrolla el determinante por esa fila para simplificar los cálculos.

--- OCR Start --- B A C $(x+\alpha)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}\alpha^{n-k} \frac{dy}{dx}$ A=$\pi r^{2}$ $5,5^{2}=ap^{2}+2,75^{2}$ $

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Matriz adjunta, inversa y rango

Para calcular la matriz adjunta, necesitas encontrar todos los adjuntos y organizarlos en una nueva matriz. Es un proceso laborioso pero sistemático que dominarás con práctica.

La matriz inversa se calcula con la fórmula A−1=(Adj(A))T∣A∣A^{-1}=\frac{(Adj(A))^T}{|A|}, pero solo existe si ∣A∣≠0|A|\neq 0. Una vez que tienes la inversa, puedes resolver ecuaciones matriciales fácilmente.

El rango de una matriz es el número de filas (o columnas) linealmente independientes. Si ∣A∣≠0|A|\neq 0, entonces rang(A)=nrang(A)=n (el orden de la matriz). Si ∣A∣=0|A|=0, entonces rang(A)<nrang(A)<n y tienes que calcular determinantes de submatrices más pequeñas hasta encontrar uno que no sea cero.

Consejo práctico: Para matrices grandes, usa calculadora científica o software para verificar tus cálculos de determinantes.

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Sistemas de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales pueden tener una solución (sistema compatible determinado), infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado) o ninguna solución (sistema incompatible).

El método de Gauss consiste en convertir el sistema en una matriz escalonada mediante operaciones elementales entre filas. Es el método más sistemático y menos propenso a errores de cálculo.

El método de Cramer funciona cuando el número de ecuaciones coincide con el de incógnitas y ∣A∣≠0|A|\neq 0. Las soluciones son: xi=∣Ai∣∣A∣x_i=\frac{|A_i|}{|A|}, donde ∣Ai∣|A_i| es el determinante que se obtiene cambiando la columna ii por la de términos independientes.

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Resolución mediante ecuación matricial y casos especiales

La ecuación matricial A⋅X=BA \cdot X = B se resuelve como X=A−1⋅BX = A^{-1} \cdot B, pero solo si existe A−1A^{-1}. Este método es elegante pero requiere calcular la matriz inversa completa.

Para sistemas con parámetros, debes analizar diferentes casos según los valores del parámetro. Cuando el determinante se anula, el sistema puede volverse incompatible o indeterminado dependiendo del rango de la matriz ampliada.

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Programación lineal básica

La programación lineal te ayuda a encontrar el máximo o mínimo de una función sujeta a restricciones. Empiezas convirtiendo las inecuaciones en ecuaciones para encontrar las rectas frontera.

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Los vértices de la región factible son los puntos donde se cruzan las rectas frontera. Estos puntos son candidatos para el máximo o mínimo de tu función objetivo, según el teorema fundamental de la programación lineal.

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!

Sophia

usuario de Android

Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

usuaria de Android

La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.

Izan

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

Julyana

usuaria de Android

Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

Javier

usuario de Android

Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

Erick

usuario de Android

Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!

Mar

usuaria de iOS

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

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Elena

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Ana

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Sophia

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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

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