Números reales: el conjunto completo

Los números reales son todos los números que puedes representar en una recta numérica. Se dividen en dos grandes grupos que debes conocer perfectamente.

Los números racionales (Q) son aquellos que puedes expresar como fracción a/b, donde a y b son enteros y b≠0. Aquí entran los decimales exactos (como 0,75), los periódicos puros (como 0,333...) y los periódicos mixtos (como 0,1666...).

Los números irracionales (I) tienen infinitas cifras decimales sin repetirse nunca. Los más famosos son π = 3,14159..., √2 = 1,4142..., el número e = 2,71828... y el número áureo φ = (1+√5)/2.

¡Recuerda! Todo número real es o racional o irracional, nunca ambos. Esta clasificación es la base de todo lo que viene después.

Intervalos y representación en la recta

Los intervalos son conjuntos de números reales que ocupan un "trozo" de la recta numérica. Dominar su notación es clave para resolver inecuaciones.

El intervalo abierto (a,b) excluye los extremos, mientras que el intervalo cerrado $a,b$ los incluye. Los intervalos semiabiertos incluyen solo uno de los extremos: $a,b) o (a,b$.

Los entornos te permiten trabajar con proximidad a un punto. El entorno simétrico E(a,r) = $a-r, a+r$ incluye todos los puntos que están a una distancia menor que r del punto a.

La racionalización es el proceso para eliminar radicales del denominador multiplicando por expresiones conjugadas. Por ejemplo: a/√b se multiplica por √b/√b para obtener a√b/b.

Dato útil: Para convertir decimales periódicos a fracciones, usa la fórmula: numerador = $parte no periódica + período$ - parte no periódica; denominador = tantos 9 como cifras del período seguidos de tantos 0 como cifras no periódicas.

Factorización de polinomios: descomponer para simplificar

Factorizar un polinomio significa expresarlo como producto de factores más simples, igual que descompones 12 = 2² × 3.

Las raíces de un polinomio P(x) son los valores de x que hacen P(x) = 0. Un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces (aunque pueden ser complejas).

El Teorema del resto te dice que el resto de dividir P(x) entre $x-a$ es P(a). Si P(a) = 0, entonces $x-a$ es un factor de P(x) (Teorema del factor).

Para factorizar completamente: P(x) = aₙ$x-x₁$$x-x₂$...$x-xₙ$, donde x₁, x₂, ..., xₙ son las raíces y aₙ es el coeficiente principal.

Estrategia ganadora: Antes de buscar raíces, saca siempre factor común de x si es posible. Si hay términos sin x, x = 0 no es raíz; si no hay término independiente, x = 0 sí es raíz.

Ecuaciones polinómicas y fracciones algebraicas

Las ecuaciones polinómicas se resuelven igualando P(x) = 0. Si el polinomio está factorizado, cada factor igual a cero te da una solución.

Para ecuaciones con fracciones, encuentra el mínimo común múltiplo de los denominadores y multiplica toda la ecuación por él para eliminar fracciones.

Las ecuaciones bicuadradas $tipo ax⁴ + bx² + c = 0$ se resuelven con el cambio de variable t = x². Resuelves la ecuación cuadrática en t, y luego calculas x = ±√t para cada valor positivo de t.

Las fracciones algebraicas son de la forma P(x)/Q(x). Se simplifican factorizando numerador y denominador, y se operan igual que las fracciones numéricas.

Clave del éxito: En ecuaciones con fracciones, siempre verifica que las soluciones no anulen ningún denominador. Si lo hacen, no son válidas.

Ecuaciones irracionales y sistemas no lineales

Las ecuaciones irracionales contienen la incógnita bajo un radical. Para resolverlas, aísla un radical y eleva al cuadrado ambos miembros.

¡Atención! Al elevar al cuadrado puedes introducir soluciones falsas, por lo que siempre debes comprobar las soluciones en la ecuación original.

Los sistemas de ecuaciones no lineales tienen al menos una ecuación que no es lineal. Se resuelven principalmente por sustitución: despeja una variable de la ecuación más sencilla y sustitúyela en la otra.

El proceso típico es: simplificar las ecuaciones → elegir el método más conveniente → resolver → comprobar las soluciones.

Consejo práctico: En sistemas no lineales, busca siempre la ecuación más simple para despejar una variable. Esto te ahorrará cálculos innecesarios y reducirá errores.

Sistemas de ecuaciones lineales: método de Gauss

Los sistemas de ecuaciones lineales pueden ser compatibles (tienen solución) o incompatibles (no tienen solución). Los compatibles se dividen en determinados (una solución) e indeterminados (infinitas soluciones).

El método de Gauss transforma el sistema en forma triangular usando operaciones elementales: intercambiar filas, multiplicar una fila por una constante no nula, o sumar a una fila un múltiplo de otra.

Los pasos son: ordenar y simplificar → encontrar un pivote (coeficiente ≠ 0) → hacer ceros debajo del pivote → repetir con la siguiente columna → sustitución regresiva.

Si aparece una fila del tipo 0 = k (k ≠ 0), el sistema es incompatible. Si hay filas de ceros al final, el sistema es compatible indeterminado.

Truco organizativo: Usa matrices para organizar mejor los cálculos. Escribe solo los coeficientes y términos independientes, separados por una línea vertical.

Sistemas matriciales y tipos de soluciones

Trabajar con matrices ampliadas hace el método de Gauss más eficiente y claro. Cada fila representa una ecuación y cada columna una variable.

Los criterios de equivalencia te permiten transformar sistemas sin cambiar sus soluciones: cambiar orden de filas, multiplicar una fila por k ≠ 0, sumar a una fila un múltiplo de otra, o eliminar filas que son combinación lineal de otras.

Sistema Compatible Determinado (SCD): matriz triangular con pivotes en todas las variables. Sistema Compatible Indeterminado (SCI): hay variables libres que actúan como parámetros. Sistema Incompatible (SI): aparece 0 = número ≠ 0.

En sistemas indeterminados, las variables libres se expresan como parámetros (t, s, etc.) y las soluciones forman familias infinitas.

Identificación rápida: Cuenta las filas no nulas después de aplicar Gauss. Si hay menos filas que variables, el sistema es indeterminado; si aparece una contradicción, es incompatible.

Logaritmos: la operación inversa de la exponenciación

Un logaritmo responde a la pregunta: "¿a qué exponente debo elevar la base para obtener el argumento?". Si aˣ = m, entonces log_a(m) = x.

Los logaritmos decimales (base 10) se escriben sin base: log 100 = 2. Los logaritmos neperianos (base e) se escriben ln: ln e³ = 3.

Propiedades fundamentales: log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y), log_a$x/y$ = log_a(x) - log_a(y), log_a(xⁿ) = n·log_a(x).

Para resolver ecuaciones logarítmicas, usa la definición o las propiedades para llegar a logaritmos con la misma base. Recuerda que log_a(x) = log_a(y) implica x = y (si x, y > 0).

Restricción crucial: El argumento de un logaritmo debe ser siempre positivo, y la base debe ser positiva y distinta de 1. Comprueba siempre estas condiciones en tus soluciones.

Ecuaciones exponenciales: cuando la incógnita está en el exponente

Las ecuaciones exponenciales tienen la incógnita en el exponente. La estrategia principal es expresar ambos miembros como potencias de la misma base.

Si consigues la misma base: aˣ = aʸ implica x = y. Si no puedes igualar bases, usa logaritmos: si aˣ = b, entonces x = log_a(b) = ln(b)/ln(a).

Para ecuaciones del tipo (aˣ)² + k·aˣ + c = 0, haz el cambio de variable t = aˣ y resuelve la ecuación cuadrática en t.

Propiedades útiles: log_a(aˣ) = x, a^$log_a(x)$ = x, y el cambio de base: log_a(x) = log_b(x)/log_b(a).

Método sistemático: 1º) Busca potencias de la misma base, 2º) Si no es posible, usa cambio de variable, 3º) Como último recurso, aplica logaritmos directamente.

Inecuaciones: desigualdades que abren intervalos

Las inecuaciones de primer grado se resuelven igual que las ecuaciones, pero cambiando el sentido de la desigualdad al multiplicar o dividir por un número negativo.

Para inecuaciones polinómicas: 1º) Ordena hasta tener P(x) > 0 (o <, ≥, ≤), 2º) Encuentra las raíces de P(x), 3º) Factoriza P(x), 4º) Estudia el signo en cada intervalo usando una tabla.

La tabla de signos es tu herramienta clave: coloca las raíces en orden, estudia el signo de cada factor en cada intervalo, y determina el signo del producto completo.

Las soluciones son uniones de intervalos. Si la desigualdad es estricta (> o <), las raíces no se incluyen; si no es estricta (≥ o ≤), sí se incluyen.

Técnica infalible: Para determinar el signo en cada intervalo, elige un punto cualquiera del intervalo y evalúa cada factor por separado. El signo del producto te dice si ese intervalo es solución.