Matemáticas Aplicadas 3º ESO: Guía de Repaso Completa

Números Enteros y Racionales

Dominar las operaciones con números enteros es más fácil de lo que parece. Solo tienes que recordar las reglas de signos: menos por menos da más, y cuando sumes o restes, fíjate bien en los paréntesis.

Para los números racionales (fracciones), el truco está en encontrar denominadores comunes. Cuando ordenes fracciones, conviértelas todas al mismo denominador y después compara solo los numeradores.

Los problemas con fracciones son pan comido si los traduces paso a paso. Por ejemplo, si un depósito tiene 3000 litros y vaciamos 3/8, simplemente multiplica: 3000 × 3/8 = 1125 litros.

Tip clave: Siempre simplifica las fracciones al final. Te ahorra tiempo y evita errores tontos.

Problemas de Números Racionales (Continuación)

Los problemas de porcentajes y fracciones son súper comunes en los exámenes. La clave es identificar qué representan los datos que te dan. Si alguien gasta 1/5 en material escolar y luego 200€ en ropa, ve paso a paso.

Para problemas de velocidad, recuerda que velocidad = distancia/tiempo. Si un motorista recorre 90 km en 3/4 de hora, su velocidad es 90 ÷ $3/4$ = 120 km/h.

Los problemas de mezclas siguen siempre el mismo patrón: suma todas las partes conocidas, resta del total, y lo que queda es la parte desconocida. Si tienes 3/8 de azul + 1/5 de blanco, el verde será 1 - 3/8 - 1/5.

Consejo: Dibuja esquemas o diagramas cuando resuelvas estos problemas. Te ayudan a visualizar mejor la situación.

Potencias y Notación Científica

Las potencias tienen reglas súper claras que no puedes olvidar. Cuando multiplicas potencias de la misma base, sumas los exponentes: 2⁵ × 2³ = 2⁸. Cuando divides, los restas: 2⁵ ÷ 2³ = 2².

La notación científica es genial para números muy grandes o muy pequeños. Recuerda que siempre debe ser un número entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de 10. Por ejemplo: 4230 = 4,23 × 10³.

Los números decimales se clasifican en exactos (terminan), periódicos puros (repiten desde el principio) y periódicos mixtos (repiten después de algunas cifras). Para convertirlos a fracción, usa las fórmulas que ya conoces.

Truco: En notación científica, cuenta cuántos lugares mueves la coma. Hacia la derecha = exponente negativo, hacia la izquierda = positivo.

Álgebra - Monomios, Polinomios y Ecuaciones

El álgebra es como aprender un nuevo idioma, pero más fácil. Traducir "el triple de un número menos tres unidades" es simplemente 3x - 3. Los monomios semejantes son los que tienen exactamente las mismas letras con los mismos exponentes.

Las identidades notables son tus mejores amigas: $a+b$² = a² + 2ab + b², $a-b$² = a² - 2ab + b², y a+b$$a-b = a² - b². Memorízalas porque las vas a usar constantemente.

Para resolver ecuaciones de primer grado, despeja la x paso a paso. Si tienes fracciones, multiplica toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Las ecuaciones de segundo grado se resuelven con la fórmula: x = $-b ± √(b²-4ac)$/2a. Pero antes mira si puedes factorizar o si es una ecuación incompleta.

Dato importante: Si el discriminante $b²-4ac$ es negativo, la ecuación no tiene soluciones reales.

Sistemas de Ecuaciones y Problemas

Los sistemas de ecuaciones se pueden resolver por sustitución, igualación o reducción. El método de reducción es el más rápido: multiplica las ecuaciones para que una variable se elimine al sumarlas.

Los problemas con sistemas siempre siguen el mismo esquema: identifica las incógnitas, plantea las ecuaciones según los datos del problema, y resuelve. Por ejemplo, si hay 100 entradas (adulto + niño = 100) y la recaudación es 560€ (6·adulto + 5·niño = 560).

Para problemas de edades, recuerda que las edades cambian igual para todos. Si ahora el padre tiene el triple que el hijo, dentro de 4 años será (padre+4) y $hijo+4$.

Los problemas de animales con patas son clásicos: si hay conejos y gallinas, cada conejo tiene 4 patas y cada gallina 2. Total animales = cabezas, total patas = 4·conejos + 2·gallinas.

Estrategia ganadora: Define claramente qué representa cada variable antes de plantear las ecuaciones.

Más Problemas de Sistemas y Funciones

Los problemas más complejos de sistemas requieren plantear bien las ecuaciones. Si un palo está 1/3 enterrado, 2/5 en agua y 90 cm al aire, entonces: 1/3·x + 2/5·x + 90 = x.

Para problemas de conciertos o entradas, identifica los tipos de entradas y sus precios. Siempre tendrás una ecuación para el total de entradas y otra para el dinero recaudado.

Las funciones representan relaciones entre magnitudes. En una gráfica distancia-tiempo, la pendiente indica velocidad. Si la línea es horizontal, significa que no hay movimiento (parada).

Una función creciente sube de izquierda a derecha, decreciente baja. Los máximos y mínimos son los puntos más altos y bajos de cada "montaña" o "valle".

Clave visual: En las gráficas, el eje horizontal $x$ suele ser el tiempo, y el vertical $y$ la magnitud que cambia.

Funciones - Interpretación de Gráficas

Interpretar gráficas es como leer una historia. En una gráfica distancia-tiempo, una línea recta inclinada significa velocidad constante. Cuanto más inclinada, mayor velocidad.

Si dos ciclistas se cruzan en una gráfica, es donde sus líneas se intersecan. El que llega primero es el que alcanza antes la distancia máxima.

Las gráficas de beneficios te muestran cuándo una empresa gana (valores positivos) o pierde dinero (valores negativos). El punto donde cruza el eje x es donde no gana ni pierde.

Para funciones de temperatura, los picos indican fiebres y los valles cuando baja. Es importante saber leer en qué intervalos sube o baja la temperatura.

Consejo de interpretación: Siempre lee qué representan los ejes antes de interpretar la gráfica. No es lo mismo distancia-tiempo que velocidad-tiempo.

Funciones Lineales y Ecuaciones de Rectas

Una función lineal tiene la forma y = mx + n, donde m es la pendiente (inclinación) y n es la ordenada en el origen (donde corta el eje y).

Para calcular la pendiente entre dos puntos, usa: m = $y₂-y₁$/$x₂-x₁$. Si dos rectas son paralelas, tienen la misma pendiente.

Cuando tengas que hallar la ecuación de una recta, identifica qué datos te dan. Con un punto y la pendiente: y - y₁ = m$x - x₁$. Con dos puntos: calcula primero la pendiente.

Los problemas de tarifas (técnicos, alquiler de coches) siempre dan funciones lineales. La cantidad fija es n, y lo que cobran por hora/día es m.

Tip matemático: Las rectas paralelas nunca se cortan, las perpendiculares se cortan formando 90°.

Funciones Lineales - Problemas Prácticos y Geometría

Los problemas de comparar precios entre empresas se resuelven igualando las funciones. El punto de corte te dice cuándo conviene cambiar de opción.

Para problemas de movimiento uniforme, la distancia es función del tiempo: d = velocidad × tiempo + distancia_inicial.

En geometría plana, recuerda las fórmulas básicas: área del triángulo = (base × altura)/2, área del trapecio = (base_mayor + base_menor) × altura/2.

Para el área del rombo = (diagonal₁ × diagonal₂)/2. El área del círculo = π × r².

Fórmula salvadora: Si conoces el área y una dimensión, siempre puedes despejar la otra usando álgebra básica.

Geometría - Cuerpos Tridimensionales

Los volúmenes de cuerpos geométricos requieren fórmulas específicas que debes memorizar. El volumen del cilindro = π × r² × h, donde r es el radio y h la altura.

Para una pirámide, el volumen = (área_base × altura)/3. El volumen del cono = (π × r² × h)/3.

El volumen de la esfera = $4/3$ × π × r³. Es la fórmula más complicada, pero aparece mucho en los exámenes.

Cuando calcules volúmenes, fíjate bien en las unidades. Si las medidas están en cm, el volumen será en cm³.

Consejo final: Practica con las fórmulas hasta que las sepas de memoria. En el examen no tendrás tiempo para deducirlas.