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Matemáticas
12 dic 2025
633
10 páginas
Paula Menarguez FERNANDEZ @paulamenarguezf
¿Te has preguntado alguna vez cómo los matemáticos organizan los números reales o por qué necesitamos intervalos? Este... Mostrar más
Los intervalos son básicamente "trozos" de la recta real que incluyen todos los números entre dos extremos. Piénsalo como elegir qué números pueden entrar en tu club matemático.
Tienes tres tipos principales cerrados (incluyen los extremos), abiertos (a,b) (no incluyen extremos), y semiabiertos como (incluyen solo uno de los extremos). Es como decidir si las puertas de tu casa están abiertas o cerradas.
Por ejemplo, el intervalo (-1, 2] incluye todos los números desde -1 hasta 2, pero el -1 no entra mientras que el 2 sí. ¡Fácil de recordar si piensas en los corchetes como puertas cerradas y los paréntesis como puertas abiertas!
Truco Los corchetes son como manos que "agarran" el número, mientras que los paréntesis ( ) son como manos que lo "rechazan".
Cuando trabajas con intervalos, puedes hacer dos operaciones súper importantes unión (∪) e intersección (∩). La unión junta todo lo que hay en ambos intervalos, mientras que la intersección solo toma lo que tienen en común.
Las semirrectas son intervalos que se extienden hasta el infinito, como (-∞, 5) o [3, +∞). El infinito siempre usa paréntesis porque nunca lo "alcanzas" realmente.
Si dos intervalos no se tocan para nada, su intersección es el conjunto vacío (∅). Es como intentar encontrar algo en común entre el aceite y el agua ¡simplemente no existe!
Dato curioso El símbolo ∞ no es un número real, por eso siempre va con paréntesis, nunca con corchetes.
La notación científica es tu mejor amiga cuando trabajas con números súper grandes o súper pequeños. Se escribe como a×10ⁿ, donde 'a' está entre 1 y 10, y 'n' te dice cuántas posiciones mover la coma.
Para multiplicar y dividir en notación científica, operas los números decimales por separado y las potencias de 10 por separado. Para sumar y restar, necesitas que ambos números tengan la misma potencia de 10.
Las aproximaciones te salvan cuando no necesitas el valor exacto. Puedes aproximar por exceso (redondear hacia arriba) o por defecto (hacia abajo). El error absoluto mide cuánto te equivocaste, y el error relativo te dice qué porcentaje de error tienes.
Consejo En un examen, la notación científica puede ahorrarte mucho tiempo en cálculos con números enormes.
Los radicales son como las potencias, pero al revés. Mientras que 2³ = 8, tenemos que ∛8 = 2. El índice (ese numerito pequeño) te dice qué tipo de raíz es, y el radicando es el número que está dentro.
Con índices impares, siempre hay una sola raíz con el mismo signo que el radicando. Con índices pares, solo puedes sacar raíz de números positivos en los números reales, y obtienes dos resultados (positivo y negativo).
Las potencias de exponente fraccionario conectan radicales con potencias a^ = ⁿ√. Es como tener un traductor entre dos idiomas matemáticos diferentes.
Importante Recuerda que √16 = ±4, pero cuando escribes just √16 en un problema, normalmente se refiere solo al valor positivo.
Racionalizar significa eliminar los radicales del denominador de una fracción. Es como limpiar tu habitación todo tiene que estar en su lugar correcto, y los radicales "pertenecen" al numerador.
Para racionalizar denominadores simples como 1/√a, multiplicas arriba y abajo por √a. Para denominadores con sumas o restas como , usas el conjugado para crear una diferencia de cuadrados.
El truco del conjugado funciona porque = a - b, eliminando completamente los radicales. Es matemática pura y elegante.
Truco de memoria El conjugado es como el "opuesto" del denominador cambias el signo del medio y listo.
Un logaritmo busca el exponente si aˣ = b, entonces log_a(b) = x. Es como preguntar "¿a qué potencia debo elevar 'a' para obtener 'b'?". Los logaritmos decimales usan base 10, mientras que los logaritmos neperianos (ln) usan la base e.
Las propiedades básicas son fundamentales log_a(1) = 0, log_a(a) = 1, y a^ = x. Estas son como las reglas del juego que nunca cambian.
Para las operaciones, recuerda log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y) para multiplicación, log_a = log_a(x) - log_a(y) para división, y log_a(xⁿ) = n·log_a(x) para potencias. El cambio de base te permite usar cualquier calculadora log_a(b) = log(b)/log(a).
Conexión real Los logaritmos aparecen en la escala de Richter para terremotos y en la medición del pH. ¡No son solo teoría!
Un polinomio es como una receta matemática con términos que incluyen potencias de x. Para encontrar su valor numérico, simplemente sustituyes x por el número que te dan y calculas.
Por ejemplo, si P(x) = 3x³ - 18x² + 24x - 9 y quieres P(4), sustituyes cada x por 4 P(4) = 3(4)³ - 18(4)² + 24(4) - 9. Luego calculas paso a paso 3(64) - 18(16) + 96 - 9.
La división de polinomios funciona similar a la división larga de números, pero con variables. El cociente y el resto te dan información importante sobre el comportamiento del polinomio.
Tip de examen Organiza bien tus cálculos y no te saltes pasos. Los errores aritméticos son los más tontos de cometer.
Los conjuntos numéricos se ordenan así ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Cada conjunto incluye al anterior, como muñecas rusas matemáticas. Las desigualdades se representan perfectamente en la recta real con intervalos.
En notación científica, recuerda que exponentes negativos mueven la coma hacia la izquierda, mientras que los positivos la mueven hacia la derecha. Para las operaciones con radicales, factoriza cuando puedas y simplifica siempre que sea posible.
Los logaritmos transforman multiplicaciones en sumas y divisiones en restas. Esta propiedad los hace súper útiles para resolver ecuaciones exponenciales complicadas.
Estrategia de estudio Practica estos conceptos juntos porque se conectan entre sí en problemas más complejos.
La racionalización de expresiones complejas requiere paciencia y técnica. Cuando tienes denominadores con varios términos, el conjugado es tu herramienta principal. Multiplica por la expresión que elimine los radicales del denominador.
Para logaritmos complejos, usa las propiedades paso a paso. Por ejemplo, log₃(27) = log₃(3³) = 3, y log₂(√8) = log₂ = (1/2)log₂(8) = (1/2)·3 = 3/2.
El cambio de base te permite calcular cualquier logaritmo con tu calculadora log₃(7) = log(7)/log(3). Es como tener un traductor universal para logaritmos.
Consejo práctico Siempre verifica tus respuestas sustituyendo de vuelta en la ecuación original.
Las fracciones algebraicas son cocientes de polinomios, como P(x)/Q(x). Trabajar con ellas es similar a las fracciones numéricas, pero con la complejidad añadida de las variables.
Para simplificar, factoriza numerador y denominador completamente, luego elimina factores comunes. Es crucial recordar que solo puedes cancelar factores, nunca términos que se suman o restan.
Para sumar y restar fracciones algebraicas, encuentra el mcm de los denominadores, convierte cada fracción al denominador común, y opera los numeradores. La multiplicación y división son más directas multiplicas numeradores con numeradores y denominadores con denominadores.
Error común No confundas factores con términos. Solo puedes cancelar factores que multiplican, no términos que se suman.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.
5
Herramientas Inteligentes NUEVO
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Por si alguien le sirve
MatemáticasSuma, resta y simplificar
MatemáticasExplicación de los conceptos de teorema del resto y factorización de polinomios, con ejemplos y aplicaciones prácticas.
MatemáticasDivision de polinomios y Ruffini
MatemáticasContiene ejercicios división de polinomios
MatemáticasEjercicios de repaso de operaciones con potencia , fracciones con divisiones ,…
MatemáticasApp Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
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Paula Menarguez FERNANDEZ
@paulamenarguezf
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Los intervalos son básicamente "trozos" de la recta real que incluyen todos los números entre dos extremos. Piénsalo como elegir qué números pueden entrar en tu club matemático.
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Por ejemplo, el intervalo (-1, 2] incluye todos los números desde -1 hasta 2, pero el -1 no entra mientras que el 2 sí. ¡Fácil de recordar si piensas en los corchetes como puertas cerradas y los paréntesis como puertas abiertas!
Truco: Los corchetes son como manos que "agarran" el número, mientras que los paréntesis ( ) son como manos que lo "rechazan".
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Las semirrectas son intervalos que se extienden hasta el infinito, como (-∞, 5) o [3, +∞). El infinito siempre usa paréntesis porque nunca lo "alcanzas" realmente.
Si dos intervalos no se tocan para nada, su intersección es el conjunto vacío (∅). Es como intentar encontrar algo en común entre el aceite y el agua: ¡simplemente no existe!
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Para multiplicar y dividir en notación científica, operas los números decimales por separado y las potencias de 10 por separado. Para sumar y restar, necesitas que ambos números tengan la misma potencia de 10.
Las aproximaciones te salvan cuando no necesitas el valor exacto. Puedes aproximar por exceso (redondear hacia arriba) o por defecto (hacia abajo). El error absoluto mide cuánto te equivocaste, y el error relativo te dice qué porcentaje de error tienes.
Consejo: En un examen, la notación científica puede ahorrarte mucho tiempo en cálculos con números enormes.
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Con índices impares, siempre hay una sola raíz con el mismo signo que el radicando. Con índices pares, solo puedes sacar raíz de números positivos en los números reales, y obtienes dos resultados (positivo y negativo).
Las potencias de exponente fraccionario conectan radicales con potencias: a^ = ⁿ√. Es como tener un traductor entre dos idiomas matemáticos diferentes.
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Las propiedades básicas son fundamentales: log_a(1) = 0, log_a(a) = 1, y a^ = x. Estas son como las reglas del juego que nunca cambian.
Para las operaciones, recuerda: log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y) para multiplicación, log_a = log_a(x) - log_a(y) para división, y log_a(xⁿ) = n·log_a(x) para potencias. El cambio de base te permite usar cualquier calculadora: log_a(b) = log(b)/log(a).
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Un polinomio es como una receta matemática con términos que incluyen potencias de x. Para encontrar su valor numérico, simplemente sustituyes x por el número que te dan y calculas.
Por ejemplo, si P(x) = 3x³ - 18x² + 24x - 9 y quieres P(4), sustituyes cada x por 4: P(4) = 3(4)³ - 18(4)² + 24(4) - 9. Luego calculas paso a paso: 3(64) - 18(16) + 96 - 9.
La división de polinomios funciona similar a la división larga de números, pero con variables. El cociente y el resto te dan información importante sobre el comportamiento del polinomio.
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En notación científica, recuerda que exponentes negativos mueven la coma hacia la izquierda, mientras que los positivos la mueven hacia la derecha. Para las operaciones con radicales, factoriza cuando puedas y simplifica siempre que sea posible.
Los logaritmos transforman multiplicaciones en sumas y divisiones en restas. Esta propiedad los hace súper útiles para resolver ecuaciones exponenciales complicadas.
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Para logaritmos complejos, usa las propiedades paso a paso. Por ejemplo, log₃(27) = log₃(3³) = 3, y log₂(√8) = log₂ = (1/2)log₂(8) = (1/2)·3 = 3/2.
El cambio de base te permite calcular cualquier logaritmo con tu calculadora: log₃(7) = log(7)/log(3). Es como tener un traductor universal para logaritmos.
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Las fracciones algebraicas son cocientes de polinomios, como P(x)/Q(x). Trabajar con ellas es similar a las fracciones numéricas, pero con la complejidad añadida de las variables.
Para simplificar, factoriza numerador y denominador completamente, luego elimina factores comunes. Es crucial recordar que solo puedes cancelar factores, nunca términos que se suman o restan.
Para sumar y restar fracciones algebraicas, encuentra el mcm de los denominadores, convierte cada fracción al denominador común, y opera los numeradores. La multiplicación y división son más directas: multiplicas numeradores con numeradores y denominadores con denominadores.
Error común: No confundas factores con términos. Solo puedes cancelar factores que multiplican, no términos que se suman.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Marta
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