Matemáticas

Límites de Funciones y Asíntotas

Formas Indeterminadas

Matemáticas725 visualizaciones·Actualizado May 30, 2026·3 páginas

Resolviendo Indeterminaciones y Entendiendo Asíntotas en Matemáticas

Sandra@sandraglaba_fbdr

Las asíntotas y límites son herramientas matemáticas fundamentales para entender... Mostrar más

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$# asíntocaz horizontales Truco 9 del num g denom. Si na asinrote es horizontal no puede ser oblicua E km $x→∞ \frac{1}{x²+9} = \frac{1}{∞$

Asíntotas de una función

Las asíntotas horizontales aparecen cuando el grado del numerador es menor o igual que el del denominador. Una forma sencilla de calcularlas es evaluando el límite cuando x tiende a infinito. Por ejemplo, en $\frac{1}{x^2+9}$ , cuando x tiende a infinito, la función se acerca a 0, por lo que y = 0 es la asíntota horizontal.

Las asíntotas verticales ocurren en los valores donde el denominador se hace cero. Para encontrarlas, igualamos el denominador a cero y calculamos los límites laterales. Si estos límites tienden a infinito, existe una asíntota vertical. Por ejemplo, en $\frac{x+3}{x-2}$ , tenemos una asíntota vertical en x = 2, pues los límites laterales tienden a +∞ y -∞ respectivamente.

Las asíntotas oblicuas aparecen cuando el grado del numerador supera en 1 al del denominador, y son del tipo y = mx + n. Para calcular m, dividimos la función entre x y calculamos el límite cuando x tiende a infinito. Para n, restamos mx a la función original y calculamos su límite cuando x tiende a infinito.

💡 Consejo rápido: Para identificar qué tipo de asíntota puede tener una función racional, compara el grado del numerador y denominador: si son iguales o el denominador es mayor, busca asíntotas horizontales; si el numerador supera en exactamente 1 grado al denominador, busca asíntotas oblicuas.

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Indeterminaciones y técnicas para resolverlas

Cuando nos encontramos con indeterminaciones del tipo $\frac{\infty}{\infty}$ , necesitamos técnicas específicas para resolverlas. Una estrategia común es dividir numerador y denominador por la potencia más alta de x. Por ejemplo, en $\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^2+3x}{x-5}$ , dividimos todo por $x^2$ y obtenemos que el límite es infinito.

Para indeterminaciones $\frac{\infty}{\infty}$ con raíces, debemos ser cuidadosos con los grados. Recuerda que una raíz cuadrada de $x^2$ equivale a x, por lo que las potencias se pueden anular. En estos casos, divide por la potencia adecuada, como en $\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{-3x+4}{\sqrt{4x^2-6x}}$ donde el resultado es $\frac{-3}{2}$ .

Otra técnica útil es la factorización cuando tenemos expresiones racionales. Si puedes identificar factores comunes, simplifícalos antes de evaluar el límite. Por ejemplo, en $\lim_{x\rightarrow 3} \frac{2x-6}{x^2-9}$ , factorizamos como $\frac{2(x-3)}{(x+3)(x-3)}$ y simplificamos, obteniendo $\frac{1}{3}$ .

🔍 Ojo con esto: Cuando trabajes con límites que involucran raíces, una técnica poderosa es multiplicar por el conjugado. Esto elimina la raíz del denominador y facilita el cálculo, como se ve en el ejemplo $\lim_{x\rightarrow \infty} \sqrt{x^2-x} - x$ .

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Continuidad de funciones

Una función es continua en un punto cuando el valor de la función en ese punto existe, el límite existe y ambos coinciden. Además, los límites laterales también deben coincidir. La continuidad nos permite predecir el comportamiento de la función sin "sorpresas" ni saltos.

Existen varios tipos de discontinuidades. Una discontinuidad evitable ocurre cuando la función no está definida en un punto pero el límite existe, o cuando el valor de la función no coincide con su límite. Podemos "reparar" estas discontinuidades redefiniendo la función en ese punto.

Las discontinuidades de salto finito ocurren cuando los límites laterales existen pero son diferentes. Por ejemplo, una función que vale 0 para x < 0 y 1 para x ≥ 0 tiene un salto finito en x = 0. Por último, las discontinuidades de salto infinito aparecen cuando al menos uno de los límites laterales es infinito, como ocurre con las asíntotas verticales.

🎯 Recuerda: Para demostrar que una función es continua en todo su dominio, debes comprobar tres condiciones: que la función esté definida, que exista el límite, y que ambos coincidan. Estos tres requisitos te ayudarán a identificar cualquier tipo de discontinuidad.

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