Reglas de Derivación y Funciones Especiales

Esta página profundiza en las reglas de derivación para funciones más complejas y presenta las derivadas de funciones especiales como las trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

Vocabulary: Función potencial: Una función de la forma f$x$ = x^n, donde n es un número real.

Se presentan las siguientes reglas:

1. Derivada de funciones potenciales: $x^n$' = nx^$n-1$
2. Derivadas de funciones trigonométricas: (sen x)' = cos x, (cos x)' = -sen x
3. Derivada de la función exponencial: $e^x$' = e^x
4. Derivada de la función logarítmica: (ln x)' = 1/x

Example: La derivada de f$x$ = x³ es f'$x$ = 3x².

También se introducen las reglas para derivar sumas, productos y cocientes de funciones:

• Derivada de la suma: $f(x) + g(x)$' = f'$x$ + g'$x$
• Derivada del producto: (f$x$·g$x$)' = f'$x$·g$x$ + f$x$·g'$x$
• Derivada del cociente: $f(x)/g(x)$' = $f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)$ / (g$x$)²

Highlight: Estas reglas son fundamentales para derivar funciones complejas y son ampliamente utilizadas en ejercicios de derivadas de 1º y 2º de bachillerato.

Regla de la Cadena y Aplicaciones

Esta página se centra en la regla de la cadena para derivar funciones compuestas y muestra cómo obtener el valor de la derivada en un punto específico.

Definition: La regla de la cadena establece que la derivada de una función compuesta f(g$x$) es el producto de la derivada de f evaluada en g$x$ por la derivada de g$x$.

Se presentan ejemplos de aplicación de la regla de la cadena:

Example: Para y = (sen x)^4, y' = 4(sen x)³ · cos x

La página también explica cómo calcular la derivada en un punto específico y cómo obtener la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto dado.

Highlight: La ecuación de la recta tangente en un punto (x₀, f(x₀)) se puede expresar como y - f(x₀) = f'(x₀)$x - x₀$.

Se incluyen ejercicios resueltos para practicar estos conceptos, lo cual es especialmente útil para ejercicios resueltos de derivadas en 1º y 2º de bachillerato.

Aplicaciones de las Derivadas

Esta última página se enfoca en las aplicaciones prácticas de las derivadas, como la obtención de puntos singulares y el estudio del crecimiento y decrecimiento de funciones.

Vocabulary: Puntos singulares: Son los puntos donde la derivada de una función es cero o no existe.

Se explica cómo encontrar máximos y mínimos de una función utilizando la primera y segunda derivada:

1. Encontrar los puntos donde f'$x$ = 0 o no existe.
2. Evaluar f''$x$ en estos puntos:
   • Si f''$x$ > 0, es un mínimo local.
   • Si f''$x$ < 0, es un máximo local.

Example: Para f$x$ = x³ - 6x² + 9x + 2, se encuentran los puntos singulares resolviendo 3x² - 12x + 9 = 0.

La página concluye con un estudio del crecimiento y decrecimiento de funciones basado en el signo de la primera derivada:

• f'$x$ > 0: La función es creciente.
• f'$x$ < 0: La función es decreciente.

Highlight: El análisis de los puntos críticos y el comportamiento de la función es crucial para resolver problemas de optimización en matemáticas de bachillerato.

Este resumen proporciona una base sólida para comprender y aplicar las derivadas, siendo especialmente útil para estudiantes que buscan apuntes de derivadas para 2º de bachillerato o ejercicios resueltos de derivadas para 1º de bachillerato.

Introducción a las Derivadas

Esta página introduce el concepto de derivada como una medida del crecimiento de una función. Se explica cómo calcular la tasa de variación media en un intervalo y se introduce la idea de la derivada como el límite de esta tasa cuando el intervalo se hace infinitesimalmente pequeño.

Definición: La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva de la función en ese punto.

Se presentan las reglas básicas para calcular derivadas de algunas funciones simples:

1. Función constante: La derivada es siempre 0.
2. Función identidad: La derivada es 1.
3. Función de proporcionalidad directa: La derivada es la constante de proporcionalidad.

Ejemplo: Para la función f$x$ = 5x - x², la tasa de variación media en el intervalo [1,2] es $6-4$/$2-1$ = 2.

Highlight: La derivada en un punto se denota como f'$x$ o y' y representa la pendiente de la recta tangente en ese punto.