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Milana Sarkisova
12/12/2025
Matemáticas
Integrales
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12 dic 2025
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Milana Sarkisova
@milanasarkisova
Las integrales son fundamentalmente lo contrario de las derivadas -... Mostrar más
¿Te has preguntado alguna vez cómo "deshacer" una derivada? Eso es exactamente lo que hace una primitiva: si F'(x) = f(x), entonces F(x) es la primitiva de f(x).
La integral indefinida es el conjunto de todas las primitivas posibles de una función, y siempre lleva una constante K porque al derivar una constante desaparece. Por eso escribimos ∫f(x)dx = F(x) + K.
Las integrales básicas son tus herramientas principales: potencias , logarítmicas , exponenciales y trigonométricas. Memoriza estas fórmulas porque las usarás constantemente.
¡Truco clave! Las integrales inmediatas aparecen cuando tienes una función compuesta: necesitas que aparezca tanto la función como su derivada multiplicando. Es como la regla de la cadena al revés.
Integrar fracciones P(x)/Q(x) puede parecer intimidante, pero siguiendo un método paso a paso se vuelve manejable. Todo depende del grado del numerador comparado con el denominador.
Si el grado del numerador es mayor o igual al del denominador, primero haces división de polinomios. Después trabajas con el resto, que ya tendrá grado menor que el denominador.
Para denominadores con raíces reales simples, usas descomposición en fracciones parciales: P(x)/Q(x) = A/ + B/. Calculas A y B sustituyendo las raíces y obtienes logaritmos neperianos al integrar.
Con raíces dobles necesitas A/ + B/², y con raíces complejas aparece un término Mx+N/ que te dará funciones arctangente. Cada caso tiene su técnica específica, pero el patrón es siempre el mismo: descomponer, calcular constantes e integrar.
Consejo práctico: Siempre verifica tus constantes A, B, M, N sustituyendo valores convenientes. Un pequeño error aquí arruina todo el ejercicio.
La integración por partes es tu salvavidas cuando tienes productos de funciones diferentes. La fórmula ∫u·dv = u·v - ∫v·du se recuerda con "un día vi una vaca vestida de uniforme".
Para elegir qué es 'u', usa la regla ALPES: Arco > Logaritmo > Polinomio > Exponencial > Seno/coseno. Siempre elige como 'u' la función que aparezca antes en esta lista. Con polinomios, repite el proceso hasta bajar el grado a cero.
El cambio de variable funciona genial con logaritmos y exponenciales. Para ln(x), haz t = ln(x), y para e^x, usa t = e^x. No olvides cambiar también el dx por dt usando las derivadas correspondientes.
Las funciones definidas a trozos como |x| se integran por separado en cada intervalo. Recuerda que |x| = x si x≥0 y |x| = -x si x<0, así que su integral cambia de signo según el intervalo.
Dato importante: En integración por partes con trigonométricas y exponenciales, a veces entras en un "bucle" - ¡no te asustes! Puedes despejar la integral original de la ecuación resultante.
Las integrales definidas te dan el área bajo una curva entre dos puntos. La regla de Barrow es tu herramienta principal: ∫f(x)dx = F(b) - F(a), donde F(x) es cualquier primitiva de f(x).
Para calcular áreas entre una función y el eje X, sigue estos pasos: encuentra las raíces en el intervalo, descompón el intervalo usando esas raíces, calcula la primitiva, aplica Barrow a cada subintervalo y suma los valores absolutos.
El área entre dos funciones requiere encontrar sus puntos de corte primero. Después determinas cuál función está arriba en cada intervalo y restas: área = ∫dx.
Regla de oro: Siempre trabaja con valores absolutos al sumar áreas. Un área negativa significa que la función está bajo el eje X, pero el área real es siempre positiva.
Recuerda que las integrales definidas tienen propiedades útiles: ∫f(x)dx = 0 (una línea no tiene área) y ∫f(x)dx = ∫f(x)dx + ∫f(x)dx (puedes dividir intervalos).
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.
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Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
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Las integrales son fundamentalmente lo contrario de las derivadas - mientras que derivar te dice cómo cambia una función, integrar te permite encontrar la función original. Es como resolver un puzzle matemático donde conoces la velocidad y necesitas encontrar la... Mostrar más
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¿Te has preguntado alguna vez cómo "deshacer" una derivada? Eso es exactamente lo que hace una primitiva: si F'(x) = f(x), entonces F(x) es la primitiva de f(x).
La integral indefinida es el conjunto de todas las primitivas posibles de una función, y siempre lleva una constante K porque al derivar una constante desaparece. Por eso escribimos ∫f(x)dx = F(x) + K.
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Regla de oro: Siempre trabaja con valores absolutos al sumar áreas. Un área negativa significa que la función está bajo el eje X, pero el área real es siempre positiva.
Recuerda que las integrales definidas tienen propiedades útiles: ∫f(x)dx = 0 (una línea no tiene área) y ∫f(x)dx = ∫f(x)dx + ∫f(x)dx (puedes dividir intervalos).
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Mar
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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