Inecuaciones Básicas

Las inecuaciones funcionan como las ecuaciones, pero en lugar de encontrar un valor exacto, buscas un conjunto de valores. La clave está en recordar que cuando multiplicas o divides por un número negativo, debes cambiar el sentido del símbolo (< se convierte en >, y viceversa).

El primer paso es reorganizar la inecuación para dejar un cero en un lado. Por ejemplo, si tienes 2x² + 4x ≤ $6 + 3x²$/3 + 7x, trabajas algebraicamente hasta obtener algo como x² - 3x - 2 ≤ 0.

Una vez que tienes la forma correcta, encuentras las raíces del polinomio. Estas raíces son los puntos clave que dividen la recta numérica en intervalos. Puedes usar la fórmula cuadrática o el método de Ruffini para encontrarlas.

¡Ojo! Los intervalos cerrados $a,b$ incluyen los extremos, mientras que los abiertos (a,b) no los incluyen.

El último paso es crear una tabla de signos. Eliges un número de cada intervalo, lo sustituyes en cada factor del polinomio, y determinas si el resultado es positivo o negativo. Así sabrás qué intervalos cumplen tu inecuación original.

Inecuaciones Racionales y Soluciones

Para inecuaciones racionales (con fracciones), nunca elimines los denominadores multiplicando. En su lugar, pasa todo a un lado para tener 0, y trabaja con la fracción completa.

Las raíces del denominador son especiales: siempre crean extremos abiertos en la solución porque no puedes dividir entre cero. Por ejemplo, si tienes $x-1$/$x-2$ > 0, el punto x = 2 nunca puede formar parte de la solución.

La tabla de signos funciona igual, pero ahora tienes que analizar tanto el numerador como el denominador por separado. El signo final de la fracción depende de si numerador y denominador tienen el mismo signo o signos opuestos.

Recuerda: Una fracción es positiva cuando numerador y denominador tienen el mismo signo, y negativa cuando tienen signos opuestos.

Para encontrar la solución final, miras la última fila de tu tabla. Si buscas valores mayores que cero (> 0), tomas los intervalos donde el resultado es positivo. Si buscas menores que cero (< 0), tomas los negativos. Los símbolos ≤ y ≥ incluyen las raíces del numerador, pero nunca las del denominador.

Inecuaciones con Valor Absoluto y Dos Variables

Las inecuaciones con valor absoluto se resuelven considerando dos casos. Si tienes |x-5| ≤ 3, esto significa que la distancia de x a 5 es menor o igual a 3, creando dos condiciones: x-5 ≤ 3 Y x-5 ≥ -3.

Cuando el símbolo es ≤ o <, buscas la intersección (donde ambas condiciones se cumplen a la vez). Cuando es ≥ o >, buscas la unión (donde cualquiera de las dos se cumple).

Para inecuaciones con dos variables, el proceso es más visual. Primero representas la ecuación correspondiente en el plano cartesiano. Esta línea o curva divide el plano en dos regiones.

Truco: Siempre usa el punto (0,0) para verificar cuál región es la solución, a menos que este punto esté sobre la línea.

Eliges un punto que no esté en la línea y lo sustituyes en la inecuación original. Si se cumple la desigualdad, la solución está en la misma región que tu punto de prueba. Si no se cumple, la solución está en la región opuesta. ¡Así de simple!

Sistemas de Inecuaciones

Los sistemas de inecuaciones requieren que todas las condiciones se cumplan simultáneamente. Con una variable, resuelves cada inecuación por separado y luego buscas la intersección de todas las soluciones.

Imagina que tienes dos inecuaciones: una te da la solución (-∞,-2) ∪ (1,+∞) y otra te da (-∞,-3] ∪ [1,+∞). La intersección final será (-∞,-3] ∪ (1,+∞), tomando la parte más restrictiva de cada región.

Con dos variables, trabajas gráficamente. Resuelves cada inecuación por separado en el plano cartesiano, identificando la región solución de cada una. La solución del sistema es donde todas las regiones se superponen.

Consejo: Para encontrar los vértices de la región solución, resuelve sistemas de ecuaciones entre las rectas que forman cada esquina.

Los vértices son puntos clave donde se encuentran dos o más líneas del sistema. Los calculas resolviendo sistemas de dos ecuaciones con two incógnitas. Estos puntos delimitan exactamente la región que cumple todas las condiciones del sistema.

Casos Especiales: Sin Raíces Reales

A veces te encontrarás con inecuaciones sin raíces reales, como x² + x + 1 ≥ 0. Cuando el discriminante es negativo, significa que la parábola nunca toca el eje x.

En estos casos, el método es diferente. Eliges cualquier valor $por ejemplo, x = 0$ y lo sustituyes en la inecuación original. Si obtienes un resultado positivo, significa que el polinomio es siempre positivo para cualquier valor de x.

Si tu inecuación pide valores mayores o iguales a cero (≥ 0 o > 0) y el polinomio es siempre positivo, entonces todos los números reales son solución. Escribes x ∈ ℝ o (-∞, +∞).

Si tu inecuación pide valores menores que cero (< 0 o ≤ 0) pero el polinomio es siempre positivo, entonces no hay solución. El conjunto solución es vacío: ∅.

Importante: Este método solo funciona cuando el coeficiente de x² es positivo. Si es negativo, la parábola abre hacia abajo y el razonamiento se invierte.