Transcripción alternativa:

de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas. Sin embargo, no fue hasta mediados del siglo XIX cuando comenzó a desarrollarse el concepto de matriz. En 1850 el matemático inglés James. J. Sylvester empleó por primera vez el término de matriz. En 1853, William R. Hamilton hizo algu- nos aportes a la teoría de matrices. En 1858, Arthur Cayley introdujo la notación matricial para escribir de manera abreviada sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas y sentó las bases del cálculo matricial. 2. Operaciones con matrices (página 8). 2.1. Suma de matrices (página 8). 2.2. Producto de un número por una matriz (página 9). 2.3. Producto de matrices (página 10). 2.4. Potencia de una matriz (página 15). 2.5. Propiedades de operaciones con matrices y de la matriz traspuesta (página 20). 3. Matrices invertibles (página 22). 3.1. Cálculo de la inversa de una matriz usando el método de Gauss (página 23). 4. Rango de una matriz (página 26). 5. Determinantes (página 30). 5.1. Cálculo de determinantes de matrices de orden 2 (página 30). 5.2. Cálculo de determinantes de matrices de orden 3 (página 31). 5.3. Menor complementario y matriz adjunta (página 33). 5.4. Cálculo de determinantes de matrices de orden n (página 36). 5.5. Propiedades de los determinantes (página 37). 5.6. Cálculo de la inversa de una matriz usando determinantes (página 44). 5.7. Cálculo del rango de una matriz usando determinantes (página 47). 6. Ecuaciones matriciales (página 53). 6.1. Sistemas de ecuaciones con matrices (página 65). 7. Sistemas de ecuaciones lineales (página 65). 7.1. Notación matricial de sistemas de ecuaciones (página 65). 7.2. Problemas de sistemas de ecuaciones (página 68). 7.3. Teorema de Rouché-Fröbenius (página 71). 7.4. Discusión de sistemas de ecuaciones (página 72). Hemos realizado algunos ejercicios que han preguntado en cursos anteriores en PEVAU. Aparecen señalados con la numeración de la lista de ejercicios. De operaciones con matrices los que se han resuelto son 57 a), 51 a) y 41 a). De potencia de una matriz, 134 a), 88 a), 41 b), 75 b), 38 a) y 15 a). De determinantes, 24 a) y 73 b) y de propiedades de los determinantes, 16 a), 52, 145, 231, 1 y 39. De cálculo de la inversa de una matriz 51 b) y 2. De rango de una matriz 40 c), 4 b), 13 a) y 11 a). De ecuaciones matriciales 37 y de sistemas de ecuaciones con matrices 101 a). De problemas de sis ecuaciones 7, 9 y 12. De discusión y resolución de sistemas de ecuaciones 6, 10, 18, 17 a), 19 y 20. 1.- Matrices. Comencemos viendo qué es una matriz. Una matriz A de dimensión o tamaño m × n es todo conjunto cuyos elementos están dispuestos en m filas y n columnas de la forma: Por ejemplo: A = A = 2 3 6 - (1 ² 7 52). 10 1 a11 a12 a21 a22 : am1 am2 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. ⠀⠀ -⠀ B = ain a2n amn TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. ( -1/7 √23 0 -2346 Pág. 2 son matrices, donde A es una matriz de dimensión 2x4 (porque tiene dos filas y cuatro columnas), mientras que B es una matriz de dimensión 2x2 (pues tiene dos filas y dos columnas). Observación. Usaremos una letra mayúscula para denotar a las matrices. Cada uno de los elementos de la matriz A se representa mediante aij, donde el primer número del subíndice, i, indica la fila que ocupa el elemento, y el segundo número, j, indica la columna. Trabajaremos matrices con aij R (es decir, los elementos serán números reales). En las matrices del ejemplo anterior, a21 = 10 y a13 = -5, mientras que b22 = -2346. Abreviadamente, podemos escribir A = (aij)mxn 0 A = (aij). Cuando se quiera señalar expresamente que la matriz A tiene dimensión m x n, la denotaremos poniendo Amxn. ¡Atención! Primero indicamos la fila y luego la columna, tanto para nombrar y localizar un elemento como para expresar la dimensión de una matriz. Dos matrices de igual dimensión, A = (aij) y B = (bij), se dicen matrices iguales si tienen respecti- vamente iguales los elementos que ocupan los mismos lugares, es decir, si cumplen que aj = bij para i=1,2,..., my j = 1,2,..., n. 3 X 0 -2 y + 1 1 x, y, z para que las matrices sean iguales. TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. Ejemplo 1 Dadas las matrices A = Clasificación de matrices. Pongamos nombres a matrices con ciertas características. 3 7 -2 -28 1 5 4 -3 de filas que de columnas, 3), mientras que la matriz y B = Usaremos que dos matrices de la misma dimensión son iguales si lo son todos los elementos que ocupan idéntica posición en ambas matrices. Observamos que a₁1 = b₁1 = 3, a13 = b13 = 0 y a21 = b21 = -2. Para que las matrices sean iguales debe ser a12 = b12, de donde obtenemos x = 5. De la misma forma, tiene que ser a22 = b22, por lo que y + 1 = -4, y despejando y obtenemos y = -5. De a23 = b23 tenemos que 13z-1, por lo que 2 = 3z y entonces z = 2/3. Por tanto, x = 5, y = -5 z = 2/3 Por ejemplo, la matriz 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. 3 5 0 -2 -4 3z - 1 Se dice que Amxn es una matriz cuadrada si m = n, esto es, si tiene el mismo número de filas que de columnas. Una matriz n x n es cuadrada y se dice que es una matriz cuadrada de orden n (tiene n ■filas y n columnas). Si, en cambio, mn, se dice que es una matriz rectangular, es decir, tiene distinto número de filas que de columnas. determinar es una matriz cuadrada de orden 3 (tiene el mismo número 23-5 6 10 1 7 -2 52). que tiene dimensión 2x4, Pág. 3 es rectangular (distinto número de filas que de columnas). Observación. Para matrices cuadradas podemos usar indistintamente los términos orden y dimen- sión. Por ejemplo, podemos decir que una matriz cuadrada tiene orden 4 o dimensión 4x4. = Se llama diagonal principal de una matriz cuadrada D (dj) a la formada por los elementos d11, d22,..., dnn. La diagonal secundaria es la formada por los elementos din, d2(n-1), d3(n-1), ..., dn1. La diagonal principal son, por tanto, los elementos: y la diagonal secundaria: D = - ( Por ejemplo, D= A = d₁1 dn1 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. Llamamos traza de una matriz a la suma de los elementos de la diagonal principal. La traza de una matriz D será Tr D = d₁1 +...+ dnn. Por ejemplo, 2080 2 3-5 10 1 6 10 0 5753 A = -5 dnn es una matriz cuadrada de orden 4, cuya diagonal principal la forman a11 = 2, a22 = 1, a33 = -5 y a44 = 19 y la diagonal secundaria la forman a14 = 6, a23 = 7, a32 = 6 y a41 = 10. Su traza es Tr A=2+1–5+19 =17. Una matriz fila o un vector fila es una matriz de dimensión 1 x n, esto es, que solo tiene una fila. TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. din 200 A = (2 3 5 6) Una matriz columna o un vector columna es una matriz de dimensión m x 1, esto es, que solo tiene una columna. Por ejemplo, 10 6 -2 6 19 Pág. 4 Una matriz triangular es una matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por encima o por debajo de la diagonal principal son nulos (es decir, cero). Una matriz triangular superior tiene nulos todos los elementos situados por debajo de la diagonal principal, mientras que una matriz triangular inferior tiene nulos todos los elementos situados por encima de la diagonal principal. Por ejemplo, si consideramos las matrices: 2 3 -5 6 01 7 -2 00 -5 6 00 0 19 A = A = 20 0 0 01 0 0 00 -5 0 00 0 19 1 B = Por ejemplo, la matriz nula de orden 3 es: la matriz opuesta de A es, entonces: 03 = 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. B = A es una matriz triangular superior y B una matriz triangular inferior. Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en la que los elementos que no están en la diagonal principal son nulos. Una matriz escalar es una matriz diagonal que tiene iguales todos los elementos de la diagonal. Una matriz unidad o identidad es una matriz escalar en la que todos los elementos de la diagonal valen uno. La denotaremos por In, siendo n el orden de la matriz, o también simplemente I. Por ejemplo, si tenemos en cuenta las matrices: = 2000 0200 0020 0002 -A= NO89 2 0 00 0 000 000 10 0 10 0 6-5 A es una matriz diagonal, B una matriz escalar (por lo que también es diagonal) e 14 la matriz unidad de orden 4 (por lo que también es escalar y, por tanto, diagonal). Una matriz nula es una matriz en la que todos sus elementos son nulos. La denotaremos por O. 0903 23-5 6 (6 7 7 22 ) 01 -2 -2 = ( 3 3 5 5 ) 0 2 0009 I4 = Una matriz opuesta de una matriz A, que denotaremos -A, es una matriz cuyos elementos son los elementos opuestos de A, es decir, todos sus elementos son de signo contrario a los de los elementos de la matriz A. Por ejemplo, si: TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 19 1000 0 1 0 0 0010 0001 Pág. 5 Una matriz traspuesta de una matriz A, que denotaremos At, es la que se obtiene al intercambiar en A sus filas por sus columnas. Si A tiene dimensión mxn, entonces At tendrá dimensión n x m. Por ejemplo, si: su matriz traspuesta es: A = At = Observación. Se cumple que, si A es una matriz, (At)t = A. 23-5 6 10 1 7 -2 8 6 -5 6 A = 2 10 8 6 3 1 -5 7 -5 6 -2 6 Si una matriz cuadrada A coincide con su traspuesta, se dice que es una matriz simétrica, es decir, si A = At. Por ejemplo, si: tenemos que A = At, por lo que se dice que A es simétrica. A = 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. 23 0 35 6 06-3 Si una matriz cuadrada A coincide con la opuesta de su traspuesta, se dice que es una matriz anti- simétrica, es decir, si A = -At. Por ejemplo, si: TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 0 3 0 -3 0 6 0 -60 tenemos que A = -At, por lo que se dice que A es antisimétrica. Observación. Los elementos de la diagonal principal de una matriz antisimétrica son todos nulos. Pág. 6 1. Indica la dimensión de las siguientes matrices: 1 1 2 3 9 A = - ( ₁₁ ) - ( ¹ ) 3 B = -17 15 Solución A3x1, B3x2, C1x5, D3x3 2. Determina los valores de a, b y c para que las siguientes matrices sean iguales: (a) A = (4 a -7 b+2) y B=(4 ). (b) C = (6 a b+1 3) y D = c+2 7 0 −3 ). Solución 4. ¿Es simétrica la matriz A = 3. Escribe matrices de los tipos que se indican a continuación: (a) Matriz rectangular. (b) Matriz de orden 4. (c) Matriz de dimensión 2×3. (d) Matriz de dimensión 1×2. Solución A no es simétrica, B sí lo es Solución 1 2 34 :) PLY a) a = 8, b = 3, c = -17/2, b) C y D no pueden ser iguales para ningún valor de a, b y c, pues C14 # d14 6. Dada: C=(1-6 0 8 -1), a) x = -2, y = 2, z = 3, b) z = 3, x, y ER, 48 c+ ? ¿Y la matriz B = A = 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. 3 2 5. Halla el valor o valores que deben tomar las incógnitas x, y, z para que (a) Nula (b) Simétrica (c) Unidad 5 1 23 250 ? 305 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. (e) Matriz de orden 1. (f) Matriz identidad de orden 3. (g) Matriz triangular superior de orden 3. (h) Matriz diagonal de orden 2. 0 1 4 -3 -1 0 a -4 -4 1 0 b 3 с 2 0 D = c) x= -1, y = 2, z = 3 Ejercicios x+y y-z+1 y-2 x+z-1 1 2 8 3 4 1 0 -34 sea una matriz: Pág. 7 (a) Calcula a, b y c para que la matriz sea antisimétrica. (b) ¿Es cuadrada? Calcula a24 y a31. Solución a) a = -1, b = -2, c = 4, b) sí es cuadrada, c) a24-4, a31 = -4 2.- Operaciones con matrices. Veremos que las matrices pueden sumarse, ser multiplicadas por un número y multiplicarse entre sí. Suma de matrices. Vamos a ver cuándo y cómo podemos sumar dos matrices. Dadas dos matrices A = (aj) y B = (bij), de la misma dimensión, m × n, se llama suma A + B a la matriz A + B = (aij + bij), de tamaño m x n. TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. Es decir, para sumar dos matrices simplemente debemos sumar los elementos correspondientes en las dos matrices y obtendremos una matriz que tendrá la misma dimensión que las matrices que estamos sumando. ¡Atención! No es posible sumar matrices de distinta dimensión, solo podemos sumar matrices que tengan la misma dimensión. Puesto que en la suma de matrices vamos a realizar operaciones con números reales, esta operación tiene las mismas propiedades que la de la suma en el conjunto R. PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES Para cualesquiera que sean las matrices A, B y C, de la misma dimensión, se verifican las siguientes propiedades: 1. Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C). 2. Conmutativa: A + B = B + A. 3. Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, donde O es la matriz nula, de la misma dimensión que A. 4. Toda matriz A tiene una matriz opuesta, -A, de modo que: A+ (-A) = (-A) + A = 0. Veamos ahora la resta de matrices. 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. Pág. 8 Dadas dos matrices A = (aij) y B = (bij), de la misma dimensión, mx n, se define la diferencia A - B a la matriz que se obtiene al sumar a la matriz A la opuesta de la matriz B, que es -B. De este modo, A B = A + (-B) y A - B = (aij bij), que tiene dimensión m x n. Ejemplo 2 Dadas las matrices A = 2 1 2 30 30 -1 4 1-1 2+4 ----)-(-)-(9) A + B = 25 + 1 3 = 2+1 5+3 = 8 2 3+8 0+2 (-3). A = (-3). 4 1 2 25 30 8 2 Ejemplo 3 Dada la matriz A = Producto de un número por una matriz. Vamos a ver cómo podemos multiplicar un número real por una matriz. 2 3 -5 10 1 7 y B = 1-(-1) 2- (+4) --- ()-(-)-(1) A B = 25 3 = 2-(+1) 5- (+3) = 3- (+8) 0 (+2) -1 1 8 4321 2 3 5 10 1 7 (-3) 2 (-3) 10 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. calcular A + By A - B. (3) 3 (-3). 1 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. Dada la matriz A, de dimensión mxn, se define su producto por el número real X, esto es, A. A, como la matriz de dimensión mxn que se obtiene al multiplicar cada elemento de la matriz A por λ, es decir, A. A = A· (aij) = (λ. αij). Por tanto, para hacer el producto de un número por una matriz basta con multiplicar el número por cada uno de los elementos que tiene la matriz, y obtendremos una matriz de la misma dimensión que la que teníamos. , calcular -3 Ay 3 PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ Para cualesquiera que sean las matrices A y B, del mismo tamaño m xn, y para cualesquiera A, μ € R, se verifican las propiedades: 1. Distributiva respecto a la adición de matrices: (+μ). A = λ. A + μ. A. 2. Distributiva respecto a la adición de números reales: A (A + B) = λ. A + A. B. 3. Asociativa entre números y matrices: A (μ· A) = (λ. μ). A. 4. El número 1 es el elemento unidad: 1 A = A. (-3)-5 (-3).7 6 8 11 2 1 √11 = 2 -2 2 -5 -2 .A. -6 -9 15 -30 -3 -21 Pág. 9 √11 ·A= 1 √11 2 10 1 37)= 3 -5 VI VII VII 11 √11 √11 √11 A veces el punto lo suprimimos, igual que hacíamos con la multiplicación de números reales. Producto de matrices. Veamos cuándo podemos multiplicar dos matrices y cómo se realiza. TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. Dadas dos matrices A = (aij), de dimensión m xp, y B = (bjk), de dimensión p xn, se llama producto A B a la matriz C = (Cik) de dimensión m x n cuyo elemento de lugar (ik) resulta de sumar los productos, elemento a elemento, de la fila i de la primera matriz multiplicados por los de la columna k de la segunda matriz: 0 Cik = ail · bik + A₁2 · b2k + ... + aip. bpk Por tanto, el producto de dos matrices no puede realizarse siempre y, en caso de poder hacerse, el resultado es otra matriz cuyos elementos se obtienen multiplicando cada vector fila de la primera matriz por cada vector columna de la segunda. ¡Atención! Para poder realizar el producto de matrices A B es necesario que el número de columnas de la primera matriz, A, coincida con el número de filas de la segunda matriz, B. Si puede realizarse dicha multiplicación de matrices, la matriz resultante tendrá tantas filas como tiene A y tantas columnas como tiene B. Tenemos que Amxp Bpxn = Cmxn. Tenemos las matrices A3x2, B2x3, C2x2, D1x2 y E2x1. Observación. Dos matrices rectangulares cualesquiera no pueden multiplicarse, pero sí puede realizarse cualquier producto de matrices cuadradas de igual orden. Ejemplo 4 Sean las matrices A, con tres filas y dos columnas, B, que tiene dos filas y tres columnas, C, de orden dos, D, que es un vector fila con dos elementos y E, que es una matriz columna con dos elementos. Justificar si se pueden realizar las operaciones de matrices C. B, Bt. A, B. A + B y C.E+C. Dt. 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. El producto C2x2 B2x3 sí se puede realizar, ya que C tiene el mismo número de columnas que filas tie- ne B (dos). La matriz resultante tendrá dimensión 2x3, pues tendrá tantas filas como tiene C y tantas columnas como posee B. La multiplicación B3x2 A3x2 no se puede realizar, ya que Bt tiene dos columnas y A tres filas, y estos dos números deberían coincidir para que sea posible el producto. La operación B2x3 A3x2 + B2x3 no se puede hacer. Tenemos que sí se puede realizar el producto B2x3. A3x2, ya que el número de columnas de B coincide con el número de filas de A (tres), teniendo la matriz Pág. 10 resultante orden dos, (A B)2x2, pues debe tener el mismo número de filas que A y el mismo número de columnas que B. Pero (A B)2x2 no puede sumarse con B2x3, ya que para poder realizar dicha suma deberían de coincidir la dimensión de A B y B, pero no coinciden. TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. Sí puede realizarse C2x2 E2x1 + C2x2 D₂x1 Tenemos que se puede hacer C2x2 E2x1, por tener C el mismo número de columnas que filas tiene E (dos), teniendo la matriz resultante dimensión 2×1, (C.E)2x1. También se puede realizar el producto C2x2 D₂x1, por tener C el mismo número columnas que filas tiene Dt (dos), y siendo la matriz resultante de dimensión 2×1, (C-D¹) 2x1. Por tanto, se pueden sumar (C.E)2x1 y (CD¹)2x1, pues tienen la misma dimensión. Ejemplo 5 Considera una matriz A con dos filas y tres columnas y una matriz B con dos colum- nas y tres filas. Calcular qué dimensión debe tener M para que pueda realizarse el producto A. M. B y qué dimensión debe tener N para que el producto Bt. N sea una matriz cuadrada. Tenemos las matrices A2x3 y B3x2. 0 Veamos la dimensión que debe tener M para poder realizar A2x3 M. B3x2. Para poder hacer el producto A. M, el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de M, por lo que M tiene que tener 3 filas. De la misma forma, para que sea posible la operación M.B, el número de columnas de M debe coincidir con el número de filas de B, luego M debe tener 3 columnas. Por tanto, M debe ser de orden 3 PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES Razonemos la dimensión de N para que B₂x3 N sea cuadrada. Para poder realizar el producto de matrices, Bt debe tener el mismo número de columnas que N de filas, por lo que tiene que poseer 3 filas. Ya que el producto se puede realizar, la matriz resultante tiene el mismo número de filas que Bt (es decir, 2) y el mismo número de columnas que N. Como debe tener 2 filas, para que se cuadrada también tendrá 2 columnas. Por tanto, la dimensión de N es 3x2 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. Para cualesquiera que sean las matrices A, B y C, en las que tenga sentido realizar los productos, y para cualquier AER, se cumplen las propiedades: 1. Asociativa: (AB) C = A. (B. C). 2. Distributiva respecto a la adición, por la izquierda y la derecha: A · (B + C) = A · B + A · C, (A + B) C = A.C + B.C. 3. Asociativa respecto de la multiplicación por un número real: A (A - B) = (AA). B. 4. La matriz unidad, In, es el elemento neutro: A. In = In A = A, donde A es cuadrada de orden n. 5. En general, A.BB. A, esto es, el producto de matrices no es conmutativo. 6. Puede ser A B = O sin que sea A = O o B = 0, siendo O la matriz nula. 7. Si A.BA. C, con A 0, no necesariamente es B = C. Pág. 11 Las propiedades 1 a 4 se cumplen tanto para la multiplicación de matrices como en la de números reales, pero las propiedades 5, 6 y 7 no se verifican para las matrices y sí en los números reales. ¡Atención! El producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa. Como consecuencia, hay que indicar el orden en el que se multiplican las matrices. Así, A B quiere decir que A multiplica a la matriz B por la izquierda. Puede ocurrir, por ejemplo, que A B pueda realizarse pero que B. A no exista, debido a que el número de columnas que tiene B no coincida con el número de filas de A. Ejemplo 6 Calcular el producto A. B, donde: A. B = Luego, A. B = 235 724 23 21 26 Observamos primero que A2x3 y B3x2, por lo que podremos realizar el producto A. B al tener A el mismo número de columnas que filas tiene B. El producto será entonces una matriz C2x2, pues tendrá el mismo número de filas que tiene A y el mismo número de columnas que tiene B. D = 110 A = 7 7 2 1 -1 0 2 6 2 0-5 235 724 B = = 1 7 Ejemplo 7 Dadas las matrices A = (1 -1 3 5), B = 6 2 0-5 Observamos que, por ejemplo, en el resultado de A. B, el elemento situado en la fila 1 y columna 2, que es -7, procede de multiplicar la primera fila de la primera matriz, A, por la segunda columna de la segunda matriz, B. Igualmente, si multiplicamos la segunda fila de A por la primera columna de B, obtendremos el elemento situado en la fila 2 y columna 1, que es 21. 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 2.1+3.7+5.0 2.6+3.2+5.(-5) 7.1+2 7+4.0 7.6+2.2+4.(-5) Observación. Si te confundes al multiplicar con vectores filas y/o columnas (o al hacer el producto, en general, de dos matrices cualesquiera), es recomendable analizar qué dimensión debe tener la matriz resultante y tener en cuenta cómo debemos obtener cada elemento de la matriz. 4 5 (3) -1 2-2 producto de matrices y calcular C. B, A. Dy C.D. C = 0 , probar que A y B no cumplen la propiedad conmutativa para el 3 27 9 401 -2 y 031 1 Comencemos viendo si A y B cumplen la propiedad conmutativa para el producto de matrices. Si así fuera, tendría que verificarse que A B fuera igual a B. A. Comprobemos primero que podemos realizar dichos Pág. 12 productos de matrices. Tenemos que A1x4 B4x1 puede realizarse porque el número de columnas de A coindice con el número de filas de B (cuatro), y la matriz resultante tendrá orden 1 (porque A tiene una fila y B una columna). También podemos hacer B4x1 A1x4 y la matriz resultante tendrá orden 4. Hagamos, por tanto, los productos de matrices. AB=(1-1 3 5). 4 5 -0) B.A= 1 -1 3 5 ) = C. B = 3 27 9 4 01-2 031 1 4 5 0 -1 4 4.1 5.1 0.1 4.(-1) 4.3 4-5 5.(-1) 5.3 5.5 0.(-1) 0.3 0.5 −1.1 −1 (-1) −1.3 −1.5 C.D= 1.4 1.5 3.0 5.(-1)) = (-6) = A.D= 1-1 35 3.4+2.5+7.0+9.(-1) 4.4+0.5+1.0+(-2).(-1) 0.4+3.5+1.0+1 (1) = Por tanto, A B BA (de hecho, ni siquiera coinciden las dimensiones), por lo que no se cumple la propiedad conmutativa para el producto de matrices de A y B. TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. Tenemos que C3x4 B4x1 sí se puede realizar, pues C tiene el mismo número de columnas que B de filas (cuatro), y la matriz resultante tendrá dimensión 3×1. 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. 3 27 9 40 1 -2 031 1 4 5 0 -1 1 7 -4 2 -1 2 2-2 HOGA 3.7+2-1+7.0+9.2 3.2+2 (-1) +7.2+9 (-2) 4.7+0.1+1.0+(-2) 2 4.2+0 (-1)+12+(-2) (-2) 0.7+3.1+1.0+1.2 ). 0.2+3 (-1) +1.2+1-(-2) -5 15 7 2 1 -1 0 2 2-2 = (1.7+(-1).1 +3.0+5.2 1.2 + (−1) · (−1) +3·2+5 (-2)) = ( 16 -1 ) - ( 13 El producto A1x4 D4x2 se puede hacer, ya que A tiene el mismo número de columnas que D de filas (cuatro). La matriz resultante tendrá dimensión 1x2. 12 1503 18 14 Por último, el producto C3x4 D4x2 también puede realizarse, ya que C tiene el mismo número de columnas que D de filas (cuatro), resultando una matriz de dimensión 3x2. 2204 25 -5 41 0 24 14 5 -3 0 Pág. 13 Ejemplo 8 [PEVAU,57 a)] Considera las matrices A = M = (-1 1 2) y X= (a) Calcula BM. Realizamos el producto de matrices que nos piden. B.M= 1 (G). 2 -1 X y Z Ejemplo 9 [PEVAU,51 a)] Considera la matriz A = Comprobamos si es cierta la igualdad. -1 1 2 A. At-2A = -1 -2 1 1 2 -1 2 -1 (33) Ejemplo 10 [PEVAU,41 a)] Considera las matrices A = 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. 2 -1 1 -2 2 4 1 -1 -2 2 4 -2 (a) Comprueba que A. A¹ - 2A = I (At denota la traspuesta de A e I la matriz identidad). 2 2 - ( ² √ )· ( ² J¹ ) - ² · (² J) = -1 0 -1 0 5 =(27)-( 47 ) = (i) = ²2 1₂ TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 0 0 1 0 -1 0 1 0 0 B = 1 2 -1 y B = b 010 -1 00 a с (a) Determina, si existen, los valores de a, b y c para los que las matrices A y B conmutan. Como nos piden que las matrices dadas conmuten, debemos hacer que cumplan la propiedad conmutativa del producto, es decir, que A B = B. A. Hacemos estos productos de matrices. Pág. 14 b=0y A.B= a 1 Para que se verifique la igualdad de matrices 0 a 0 0 1 0 1 0 1 0 0 a b C 0 1 0 -100 a b C 0 0 1 --- ()-(-)-(69) :) B. A = 0 10 0-1 = 0 -1 -100 1 0 Calculamos primero A² y A³: Por tanto, = a-1 0 a 0 0 -1 0 b с 0 0 -1 0 b с Potencia de una matriz. Dada una matriz cuadrada A podemos calcular An, esto es, su potencia n-ésima. A² = A.A= с -b a 0 0 -1 с -b = 0-1 a 0 0 0 -1 En los números reales, 2¹ lo calculamos multiplicando el número 2 por sí mismo n veces. Por ejemplo, 24 = 2-2-2-2 16. En matrices, se procede de la misma forma. Por ejemplo, la potencia A³ es el producto de matrices A.A.A. 3. 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. Observación. La potencia de una matriz solo es posible calcularla cuando la matriz es cuadrada. ¡Atención! Para calcular la potencia de una matriz hay que multiplicar por sí misma la matriz el número de veces que indique la potencia. ¡No vayas a elevar cada elemento de la matriz a la potencia! Ejemplo 11 Calcular la matriz resultado de A³ - 3A²-5A+ 212, donde A = TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. Observación. Las identidades notables, en general, no se verifican para matrices, ya que no se cumple la propiedad conmutativa para la multiplicación. Para dos matrices A y B, cuadradas y del mismo orden, en general, (A + B)² # A² + 2AB + B², (A - B)² A² - 2AB + B² y (A + B). (A - B) # A²-B². 1 0 = ( 2 )· (2 9 ) = (19) debe ser a=0 1 1 A³ = A·A·A= (29) (2₂ 9 (2 9 ) - ( i ) ( 24 )-(2) = 1 A³-3A²-5A+212= (2-1)-3- ( i )-5-(2-₁)+2· (i) - -1 0 -5 0 = (2-1)-( 3 )-( 5 ) + ( 2 ) = ( 3 ) 10 -5 -8 1 0 2 -1 Pág. 15 Entonces A³-3A²-5A +21₂ = Ejemplo 12 [PEVAU,134 a)] Sea la matriz A = -5 (9) -8 3 Comprobamos si es cierta la igualdad. 2A-A² = 2. 2A+I = 2. (a) Comprueba que se verifica 2A - A² = I. 5 -4 2 -1 -4 4 5 -4 (23 m² + 2m +2 2-2m² + m² ) 2 1+m 1 Ejemplo 13 [PEVAU,88 a)] Considera las matrices A = -4 4 -1 5 3-CE1) 2 4 Calculamos, en primer lugar, A² y 2A + I. 1+m 1 1 A² = (¹+m ₁¹m) · ( ¹ + 1 m) = (14+ 1 1-m 1 10 -8 -8 10 - ( ⠀ ⠀ 4 ) - ( 4 + 4 ) - ( ¦ ;) -- 4 -2 2 -3 2 = 1 = 8 -2 8 -3 0 1 1 + m 1 1 1-m (a) ¿Para qué valores de m se verifica que A² = 2A + I? 2 -1 1 ▪ m² + 2m + 1 = 3 +2mm²-1=0 ▪ 2-2m + m² = 3 - 2m ⇒ m²-1=0 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. (1 + m)² + 1 1+m+1-m . m = ±1. m = ±1 Por tanto, los valores de m pedidos son m = -1 y m=1 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 5 (CEB)- 2 -1 1 -4 4 -1 2 2m 0 3 1-m) + ( i ) = (²+²m 2-²2m) + ( )=(³+2m 2 y B = 1+m+1-m 1+(1-m)² 2 Para que se cumpla la igualdad de matrices 2-2m+ m² debe verificarse que m² + 2m + 1 = 3+2m y 2 - 2m + m² = 3 - 2m. Resolvemos las dos ecuaciones. m² + 2m +2 2 2) - ( 3+2m 2 3-2m 1 (3) 1 2 3-2m Pág. 16 En ocasiones, la potencia n-ésima de una matriz tiene una determinada forma. Hay matrices en las que las potencias siguen un patrón, de manera que podemos encontrar una fórmula que nos proporcione la potencia n-ésima sin la necesidad de calcular todas las potencias. A veces hay que tener en cuenta la paridad del exponente, pues puede que las potencias pares tengan diferente expresión que las impares. En definitiva, para obtener la expresión A¹ debemos calcular las primeras potencias, observarlas y usar la intuición. Normalmente, con el cálculo de las primeras potencias podemos deducir la fórmula buscada. Ejemplo 14 [PEVAU,41 b)] Considera las matrices A = (b) Calcula A², A3, A2017 y A2018 у Calculamos las primeras potencias de A para buscar un patrón y poder hallar A¹. A² = A. A = 1 0 0 :))· (; ÷ ) - ( 0 0 1 0 0 Para calcular A³ usamos que A² = 13 y que 13 A = A (propiedad de la matriz identidad): A³=A².A 13. A = A es impar, A¹ = A= Por tanto, A²= 0 0 0-1 Calculamos la siguiente potencia usando también lo obtenido antes: 1 0 0 0 1 0 -1 1 0 0 0 0 0-1 1 0 A5 A4. A = I3. A = A -1 0 = 0 10 ;) Para hallar A¹ utilizamos que hemos calculado anteriormente que A³ = A y que A² = 13: A4 A³. A = A· A = A² = 13 100 010 = 13, A³ = 0 0 1 Observamos que An depende de la potencia, n. Si n es un número par, A¹ = I3 = 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. 100 0 0 1 0-1 1 0 0 0 100 A2017 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 001 y B = = = I3 0 0 1 0-1 0 1 0 0 a b C 0 10 -1 0 0 100 010 y si n 001 y A 2018 = 13 Pág. 17 Ejemplo 15 [PEVAU,75 b)] Considera la matriz A = (b) Para m = 1, determina A 2015. Calculamos las primeras potencias de A = A² = A. A = A³=A². A = A² = A·A= 002 000 A³ = A². A = 01 1 002 000 01 002 000 A4 = A³. A = Ejemplo 16 [PEVAU,38 a)] Considera las matrices A = C = ( 1 1 2). (a) Calcula A 2018 1 0 1 1 ¹) · ( ! ! ) - . 002 = 000 01 000 A4 A³ A03. A = 03 1 1 1 0 10 00 122 010 001 133 010 001 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. 0 m-1 . Por tanto, observando lo anterior tenemos que A¹ = 002 = 000 Observamos que, usando las propiedades de la matriz nula, 03, es A³ A4 A5 = ... = 03, por lo que An 03, para n ≥ 3, ne N. Por tanto, A2015 . 0 0 1-m Vamos a ver si al calcular las primeras potencias de A encontramos algún patrón: 1 n n 10 0 0 1 0 1 1 1 01 0 = 001 11 0 1 0 001 1 1 1 01 0 001 1 - C 1 1 1 0 1 0 001 = 002 000 00 = m ONE 000 000 = 03 000 12 2 010 001 133 0 1 0 001 144 0 1 0 001 2 , B = luego A2018 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. = ((G) 1 1 0 0 2018 1 0 y 2018 0 1 0 Pág. 18 Ejemplo 17 [PEVAU,15 a)] Considera la matriz A = (a) Calcula A³7 y A41. A² = A·A= Calculemos las primeras potencias de A, por si encontramos algún patrón: A³=A². A = Observamos lo siguiente: A37 = A3-12+1 A, A4 = A, A² = A, A 10 A, A² = 2 A4 A³.A 1₂.A = A 1 NWINI- 1 2 A5 = A². A8 = A², A¹1 = A², = = (A³) ¹2. A = 11² · A = A. √3 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. √3 Ni-N A³ = 1₂ 2 A6 = A³ = 1₂ A⁹ = A³ = 1₂ A 12 = A³ = 1₂ Al calcular una potencia de A, podemos obtener tres resultados posibles, que son A, A² = A dividir 37 entre 3 obtenemos de cociente 12 y de resto 1. Entonces A³7 = A= TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 2 2 y A³ = I₂. Por tanto, si dividimos n entre 3 (ya que hay tres resultados posibles), tendremos de resto los números 0, 1 o 2. Si el resto de la división es 0, al calcular la potencia será igual a A³, si da 1 la potencia dará lo mismo que A y si es 2 coincidirá con A². = I₂ A dividir 41 entre 3 obtenemos de cociente 13 y de resto 2. Entonces A4¹ = A² = 1 2 √3 1 2 √3 2 √3 2 1 2 pues Pág. 19 pues A41 = A3.13+2 = (A³) ¹3. A² = 11³. A² = A². Propiedades de operaciones con matrices y de la matriz traspuesta. Veamos algunas propiedades que cumplen las operaciones con matrices y la traspuesta de una matriz. PROPIEDADES DE OPERACIONES DE MATRICES Y MATRIZ TRASPUESTA Sean A y B dos matrices y k € R. Se cumple, siempre que las operaciones siguientes sean posibles: 1. (A + B)t = At + Bt 2. (k. A)t = k. At 3. (AB)t = Bt. At Observa que en la tercera propiedad es muy importante el orden de las matrices, ya que el producto no cumple la propiedad conmutativa. 8. Halla x, y, z para que se cumpla que 7. Para cualquier matriz cuadrada M, la matriz M+Mt es simétrica y la matriz M-Mt es antisimétrica. Elige una matriz cualquiera M de orden 2 y compruébalo. Solución x = -1, y = 2, z = 1 Solución x-y 1 0 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. -1 2 y -X Z a) 3 x 4, b) 7 x 4, c) 1 x 3, d) no se puede realizar 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. y 0 9-C-(CH) 23 = -23 X 2 + 10. Si A X B, calcula la dimensión de X en los siguientes casos: (a) A tiene dimensión 4x3 y B es de dimensión 4x3. (b) A tiene dimensión 2x5 y B es de dimensión 2x3. (c) A tiene dimensión 3x2 y B es de dimensión 4x3. Solución a) X3x3, b) X5x3, c) no tiene solución Ejercicios -1 -1 -2 9. Dadas las matrices A3x4, B7x3, C3x3 y D1x7, determina la dimensión de las siguientes matrices producto: (a) C.A. (b) B.A. (c) D.B. (d) C. B. 3 4 4 4 1 Pág. 20 11. Sea A una matriz de dimensión 5x3 y C una matriz de dimensión 4x7. Si sabemos que se puede obtener la matriz ABC, halla las dimensiones de B y de A.B.C. Solución B3x4, A B C5x7 12. Dadas las matrices A = Solución A.B= 13. Si A = Solución 2 1 -3 -2 2 -10 13 -1 13 0 1 -2 3 -1 2 Sí, A B C B = Solución 1 0-2 4 1 B = Solución 3 -1 -3 1 -15 5 A = 3 -3 M. N = (16), N.M= y B = B.A= 7¹)y x = 5/2, y = 3/2, z = 0, t = 2 - (1) 21 6 17. Calcula x, y, z yt para que se cumpla 3 14. Comprueba que se cumple la propiedad distributiva de matrices, A. (B+C) = A.B + A. C, para: 4 = (i (93₂). -(173¹), c-(1¹) C= 1 15. Comprueba para las siguientes matrices que (A + B). (A - B) # A² - B²: 3 A=(-¹₁3), B= B=(1³2) -1 -2 y C = 000 0 3 69 12 246 8 1 2 3 4 16. Dadas la matriz fila M = 1 2 3 4 ) y la matriz columna N = 0 2 -1 5 tanto M N como N. M. Calcula ambos productos. ¿Son iguales? 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. B = 1 0 2 3 -50 calcula A B y B.A. , ¿se cumple que A B = CB? TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 0 3 1 y (² 7¹ )· ( 2 ² ) = ( 5 2 ). Justifica que puedes calcular Pág. 21 18. Calcula 2AB + 3AC-5BC para A = Solución ( 33 -49 55 19. Dada la matriz A = Solución m=-1, n = 0 -39 Solución a = 1, b = 0 0-1 20. Dada la matriz A = 1 0 (es decir, para que se cumpla que A B=BA). 21. Dadas A = Solución 1 00 An = n 1 0 n 01 Solución 22. Dada la matriz A = A50 21 23 1 00 1 10 1 0 1 B2028 y B = (우).. -1 = halla los números reales m yn que hacen que se verifique A+ mA+nI = 0. 0 (₁ 3). 1 2 (13¹), B = (4₂2), C = (-1²) y 0 -1 3 3.- Matrices invertibles. calcula los valores de a y b para que la matriz A conmute con B = 4 -3 -4 -3 -4 !) 1 calcula A y B2028 0 4 5 -1 -3 -4 1 -3 -4 0 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. calcula A50, A67 y A97. 0 A67 (. 1), A⁹7 = ( ; ¹) -1 0 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. = (8 %) Hemos visto que la matriz unidad es el elemento neutro para el producto de matrices, es decir, que si A es una matriz cuadrada de orden n, A In In A = A. Podemos preguntarnos si para la matriz A es posible encontrar otra matriz B tal que A B = B. A = In. Vamos a ver que no siempre existe una matriz B que cumpla esa condición y que, cuando sí existe, se llama matriz inversa de A. Pág. 22 Se dice que una matriz cuadrada A de orden n es invertible o inversible si existe otra matriz, de igual tamaño, que se llama matriz inversa de A y se denotará por A−¹, tal que: A. A¹ A¹. A = In Las matrices que tienen inversa las llamamos regulares y las que no tienen inversa se llaman singulares. Observación. Solo las matrices cuadradas pueden tener inversa, pero no todas las matrices cuadradas tienen inversa. Veamos propiedades que cumplen las matrices que tienen inversa. PROPIEDADES DE LAS MATRICES INVERTIBLES Si A y B son matrices cuadradas de orden n, se verifica: 1. Si A tiene inversa, entonces solo tiene una inversa. 2. Si A y B tienen inversa, entonces el producto A B también tiene inversa: (AB)¹ = B-1.A-1 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 3. Si A tiene inversa, entonces su traspuesta, At, también tiene inversa, y es: (At)-¹ = (A-¹) t 4. Si puede realizarse la inversa del producto de un número real k 0 por una matriz A, es igual al producto del inverso del número y la inversa de la matriz: (k. A)-¹ k-¹. A-1 5. Si A tiene inversa, la inversa de su inversa es la matriz A: (A-¹)-¹ = A Cálculo de la inversa de una matriz usando el método de Gauss. Vamos a utilizar el método de Gauss para calcular la inversa de una matriz A. Para ello usaremos operaciones elementales fila, que son las siguientes: ■ Intercambiar el orden de las filas. Multiplicar una o más filas por un número distinto de cero. ■ Sumar a una fila otra multiplicada por un número real. Aunque realizaremos operaciones elementales filas, también puede realizarse con columnas. Los pasos a seguir para calcular la inversa de una matriz (si existe), son los siguientes: 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. Pág. 23 CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE GAUSS 1. Escribimos una matriz doble que contiene a la matriz A en el lado izquierdo y a la matriz identidad en el derecho (A/I). 2. Realizamos operaciones elementales fila para transformar la matriz A en la matriz identidad, im- poniendo a la matriz unidad los mismos cambios a los que hay que someter a la matriz A. Primero buscaremos los ceros y luego los unos. Debe quedar, tras los cambios, (IB). 3. Al terminar de hacer la transformación, la matriz inversa quedará en el lado derecho, B = A¯¹. En el paso 2 indicaremos las operaciones que realizamos entre filas y escribiremos primero la fila que vamos a modificar. A-¹ = a11 Veamos el motivo por el que los pasos anteriores nos permiten hallar la inversa de una matriz. Si una matriz A dada de orden 2 tiene inversa, A-¹, sabemos que se verifica A. A-¹ = I2. Si queremos calcular e igualando a I2 llegaremos a que debemos resolver un sistema de ecuaciones y para ello podemos seguir el procedimiento descrito anteriormente. Es válido para cualquier matriz de orden ʼn regular. a12 a21 a22 multiplicando A.A-¹ Observación. Como hemos comentado anteriormente, no todas las matrices cuadradas tienen inversa. Para ello, A debe poder transformarse en la matriz identidad. Si en el paso 2 obtenemos en la izquierda alguna fila de ceros, la matriz no tiene inversa. Una vez calculada la inversa de la matriz A, puede comprobarse que se ha hecho correctamente, verificando que AA-¹A-¹. A = I. Ejemplo 18 Calcular, si existe, la matriz inversa de A = Comenzaremos escribiendo (AI) y luego realizando transformaciones fila para llegar a (I|A-¹). 3510 4801 3F2-4F1 (*) A-¹. A = 12 0 24 -15 0 4 -4 3 Por tanto, A tiene matriz inversa, y es A-¹ = F₁/12(***) F2/4 2 -1 Podemos comprobar que es correcto, pues A.A-¹ = 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 3 5 0 4 2 -5/4 35 ( ²34 )· (³8) = (19). -1 48 5 48 -5/4 3/4 1 0 -4 3 1 0 0 1 4F1-5F2 (**). 2 -5/4 -1 3/4 3 5 2 -5/4 - (³8) ( ²34 ) - ( i ) y también ! = 48 -1 Pág. 24 Las transformaciones indicadas y realizadas son las siguientes: hemos (*) Donde está la matriz A, como queremos tener la matriz unidad de orden 2, que es comenzado intentando colocar un cero donde está el cuatro (lo hemos señalado en verde). Para ello, nos hemos fijado tanto en el 4 de la segunda fila como en el 3 que está arriba en la primera fila. Usando las tranformaciones filas, podemos multiplicar la segunda fila por 3 y restarle la primera fila multiplicada por 4. Observa que lo hemos escrito como 3F24F₁, escribiendo primero F2 porque es la fila que vamos a cambiar. Esa operación la realizamos con todos los elementos que hay en la segunda fila. Las operaciones que hacemos son: 3-4-4-3=0, 3.8-4.5 4, 3.0 4.1-4, 3.1 4.0 3. (**) Ahora buscamos el otro cero, que debe estar situado donde tenemos un 5, en la primera fila. Nos fijamos también en el 4 que está debajo. Si hacemos 4F₁-5F2, conseguimos el cero que queremos. Realizamos la operación para los elementos de toda la fila: 4.3-5.0=12, 4.5-5.4 0, 4.1-5 (-4) = 24, 4.0-5.3-15. Ejemplo 19 Calcular, si existe, la matriz inversa de A = (***) Ya nos faltan los dos 1 para tener la matriz identidad. En la primer fila, donde hay un 12 debemos tener un 1. Para ello, basta con hacer 12/12 = 1, es decir, dividir toda la primera fila entre 12, F₁/12: 12/12 = 1, 0/12 = 0, 24/12 = 2, -15/12 = -5/4. De la misma manera, para conseguir un 1 en la segunda fila, donde hay un 4, tendremos que dividir la segunda fila entre 4, F₂/4: 0/4 = 0, 4/4 = 1, -4/4 = -1, 3/4. Usamos el método de Gauss. 3610 40 1 1 2 1 1 0 0 2 4 3 0 1 0 3 5 2 0 0 1 2F1-3F2 Ejemplo 20 Calcular, si existe, la matriz inversa de A = F2-2F1 F3-3F1 002-3 240 1 En la primera fila hemos obtenido dos ceros. Con el primer cero, usando transformaciones filas no podemos conseguir que sea 1. Por tanto, como hemos obtenido una fila de ceros donde deberíamos tener la inversa, la matriz no tiene inversa 36 (328). 24 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 1 2 1 1 00 0 0 1 -2 10 0 -1 -301 Usamos el método de Gauss. Hemos señalado en verde el 0 o 1 que buscamos. Hemos realizado dos transformaciones simultáneamente (aunque también podríamos haberlo hecho en varios pasos). 1 21 24 3 352 10 (19) F1-F2 F2+F3 1 2 0-1 0 -1 1 3 -1 0 -5 1 1 0 1 -3 Pág. 25 F₁+2F2 F3-F2 La matriz A tiene inversa, y es A-¹ 2 (2) A = (1 ²²₁) 1 0 0 -1 0 0 0 -1 (b) B = ( 3) -1 5 Solución A-1 = E-¹ = 1 2 0-1 ). 0 0 1 1/2 1/4 0 1/4 1/8 1/2 -7 1 2 -5 1 1 2 -1 0 B-¹ = 24. Prueba que las matrices M = -7 2 1 5 -1 -1 -2 1 0 Ejercicios 23. Calcula, si existen, las matrices inversas de las siguientes matrices y comprueba en todos los casos que el producto de la matriz por su inversa da la matriz identidad. (c) C = 4.- Rango de una matriz. (d) D = -1/11 2/11 -5/11 -1/11 F-¹ = 3 2 15 10 F2/(-1) F3/(-1) 2 = ( ²1 ₂₂ ) -1 2 -60 1 y N= 1 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. Oo 0 0 0 1 0 0 -7 1 3 1 1 -1 -3 2 4 0 ܬ ܗ -2 (e) E= (f) F= TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 1 2 -1 -1 1 0 Una colección de n números reales dados en un cierto orden se llama una n-upla. 1 0 0 -2 4 0 0 1 1 0 1 -2 4 2 -1 ₁). C-¹ = ( − 1 / 6 °), D-¹ = 1 (1 2'), 120 4 1 2 201 no tienen inversa. -2 4 -2 -7 Estudiemos el concepto de rango de una matriz y cómo calcularlo. Para esto, primero debemos ver la dependencia e independencia lineal. Una n-upla de dos elementos se llama par, una de tres se llama terna y una de cuatro, cuaterna. Una combinación lineal de varias n-uplas es el resultado de multiplicar cada una de ellas por un número y sumarlas. Por ejemplo, consideremos {(1,2), (4,0)}. Una combinación lineal de los pares (1,2) y (4,0) es: Pág. 26 2. (1,2)+(-3) (4,0) = (2,4) + (-12,0) = (-10,4) Por tanto, se dice que el par (-10, 4) es combinación lineal de (1,2) y (4,0). Varias n-uplas son linealmente dependientes, (L.D), cuando alguna de ellas se puede poner como combinación lineal de las demás. Así, en el ejemplo anterior, (-10,4) es linealmente dependiente (lo hemos podido escribir como combina- ción lineal de otros pares). Varias n-uplas son linealmente independientes, (L.I.), cuando ninguna de ellas se puede poner como combinación lineal de las demás. TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. Por ejemplo, si consideramos {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} tenemos que las ternas son linealmente indepen- dientes, pues ninguna de ellas la podemos escribir como combinación lineal de las demás. Intentemos escribir (1,0,0) como combinación lineal de (0, 1,0) y (0, 0, 1), es decir, que (1,0,0) = A (0, 1,0) + B (0, 0, 1), con A, B E R. Haciendo las operaciones llegamos a (1,0,0) = (0, A, B), por lo que, igualando las primeras coordenadas llegamos a que uno es igual a cero, de modo que no es posible. Sin embargo, si consideramos la cuaterna (0, 0, 0, 0), observamos que se puede escribir como combina- ción lineal de cualquier otra cuaterna (basta multiplicar por cero cualquier otra cuaterna). Por ejemplo, (0, 0, 0, 0) 0-(1,2,3,4) +0. (5, 6, 7, 8), por lo que (0, 0, 0, 0) podemos escribirlo como combinación lineal de (1,2,3,4) y (5, 6, 7, 8). Por tanto, si en un conjunto de n-uplas está incluida (0,0,...,0), dichas n-uplas son linealmente depen- dientes. Rango de una matriz. Entre las filas de las matrices (y también entre sus columnas) puede haber relaciones de dependencia lineal. Cada fila de una matriz podemos considerarla como una n-upla. Es posible que, al efectuar operaciones entre las filas de una matriz, alguna tenga todos sus elementos nulos. Esto indica que la fila de la matriz es linealmente dependiente de las otras. Las filas de una matriz podrán ser linealmente independientes o depender unas de otras. Por ejemplo, A = 2 4 0 1 -1 32 tiene sus dos filas linealmente independientes, pues haciendo operacio- nes elementales no podemos conseguir que alguna de las filas tengan cero en todos sus elementos. Sin embargo, B = 5 -1 6 3 1 -17 11 2 tiene las dos primeras filas linealmente independientes, pero las otras dos dependen linealmente de las primeras, pues observamos que F3 = 5F₁-4F2 y F4 = F₁+F₂. Otra manera de comprobarlo es intentar hacer filas de ceros: 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. Pág. 27 Tenemos el siguiente teorema: -1 3 -17 6 1 11 2 Ejemplo 21 El número de filas linealmente independientes de una matriz A se denomina rango de la matriz A y lo representaremos mediante rang(A). Por ejemplo, en las matrices anteriores, rang (A) = 2 y rang(B) = 2. A = 5F₂-6F₁ 5F3-F1, 5F4-11F₁ En una matriz, el número de filas linealmente independientes coincide con el número de columnas lineal- mente independientes. El teorema anterior nos permite ampliar la definición de rango: Podemos saber también cuál es el rango de una matriz, como mucho: B = El rango de una matriz es igual al número de filas o de columnas linealmente independientes. C = El rango de una matriz de dimensión m x n es, a lo sumo, el menor de los números, m o n. Por tanto, para hallar el rango de una matriz podemos proceder a hacer ceros como en el método de Gauss. El rango de la matriz escalonada final será el número de filas no nulas. Calcular el rango de A = 1 30 -200 Una matriz cuadrada de orden n tendrá inversa si su rango es n, ya que esto implica que todas sus filas son linealmente independientes y, por tanto, la matriz se puede transformar realizando las operaciones elementales entre filas. 1 -2 3 -4 -2 4 -6 8 ). -1 21 0-84 0 21 5 0 2F1+F2 ( F3+4F2. F4-F2 : ) .D- = 1 -2 1 -2 3 -2 4 -6 12 -24 36 que tienen inversa. Intentamos hacer filas de ceros con transformaciones de filas y el número de filas que no son cero es el rango. por lo que rang (B) = 2 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 5 -1 0 21 0 0 0 0 -2 3 -4 4 -6 8 1 23 240 360 00 0 0 -2 4-6 8 B = y E = 1 30 -200 001 200 . Indicar las matrices 010 así que rang (A) = 1 Pág. 28 C = D = E = 1 -2 12 -24 -2 3 4 -6 36 1 2 3 2 40 360 A = F2-2F1 2F3-3F2 Ejemplo 22 Calcular a para que la matriz F3+6F2 F2+2F1 001 200 , luego rang(E) = 3 que es la única matriz que sí tiene inversa. 010 1 -2 ( 3). -5 10 Solución 1 -2 3 0 0 0 0 0 0 26. Dada la matriz 1 2 3 00-6 00 0 Solución Intentamos que la tercera fila, que es donde está a, haya ceros en todos los elementos: Por tanto, debería ser 2a - 3 = 0, es decir, a = 3/2 a=2, b=0 B = por tanto, rang (D) = 2 01 -1 22 3 1 1 a 25. Halla el rango de las siguientes matrices e indica las que tienen inversa: entonces rang (C) = 1 01 -1 22 3 11 a 2F3-F2 2 1 0 -1 -1 2 2 0 3 -5 -4 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. tenga rango 2. 01 22 0 0 2a 3 -1 3 C = rang (A) = 1, rang(B) = 3, rang(C) = 2, rang (D) = 3, ninguna tiene inversa 120 a 4 b -1 4 5 3 2 5 7 7 4 6 0 6 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. halla a y b para que el rango de la misma sea 1. D = 1 -TON 2573 Ejercicios -1 2 3 -1 2 Pág. 29 5.- Determinantes. Los determinantes tienen gran trascendencia en el campo del álgebra clásica, la geometría y el análisis. Los emplearemos para facilitar cálculos que ya hemos hecho, por ejemplo, para saber con mayor rapidez si una matriz cuadrada tiene inversa y ver otra forma de calcular la inversa de una matriz. Los determinantes hicieron su aparición en las matemáticas más de un siglo antes que las matrices, sobre el siglo XVI. Algunos de los más grandes matemáticos de los siglos XVIII y XIX contribuyeron al desarrollo de las propiedades de los determinantes. El matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz desarrolló la teoría de los determinantes en 1693 para facilitar la resolución de las ecuaciones lineales. De forma casi simultánea el matemático y samurái Seki Köwa usó en Japón un determinante para eliminar una cantidad entre dos ecuaciones, basándose en un método chino del siglo III. Gabriel Cramer profundizó la teoría de Leibniz presentando el método de Cramer en 1750. Notaciones análogas fueron introducidas también, a mediados del siglo XVIII, por matemáticos como Vandermonde, Laplace y Joseph-Louis Lagrange. El nombre de determinante fue acuñado por Gauss en 1801. El matemático francés Agustin-Louis Cauchy también hizo grandes contribuciones. Un determinante es un número que se asocia a una matriz cuadrada. El determinante de una matriz cuadrada A lo escribiremos como A o det (A). Observación. No todas las matrices tienen asociado un determinante, solo podemos realizar el determi- nante de matrices cuadradas. Cálculo de determinantes de matrices de orden 2. Veamos cómo calcular determinantes de segundo orden. Dada la matriz A = DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 2 a11 a 12 a21 a22 cuadrada de orden 2, su determinante es: a11 a12 a21 a22 Nos resultará más sencillo recordar el cálculo si lo vemos así: |A| = |A|- = a11 a22 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. a21 a22 Ejemplo 23 Calcular el determinante de las siguientes matrices: 2 • A-(3²) -1 -2 3 4 46 ▪ B = <= a11 • azz -a12 azi 2 •c- (²¹) C = -3-2 Pág. 30 |A| = det (A) = |B| = det (B) = |C| = det (C) = 32 46 -1 -2 4 www. = 3.6-4-2=18 8 10 -1 -2 -1.4-3-(-2)=-4+6=2 = 2.(-2)-(-3) - (-1)=-4-3= -7 Ejemplo 24 Dadas las matrices A = |A| = 2 y |B| = -3. Dada la matriz A = (3² 2 a Cálculo de determinantes de matrices de orden 3. Veamos cómo calcular determinantes de tercer orden. a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 y B = -1 2 =-1.a-3-2-a-6. Como debe 3 Calculamos el determinante de A. Tenemos que |A| = ser |A| = 2 y tenemos que |A| = -a-6, igualando obtenemos que -a -6=2 y despejando a tenemos que a = -8 2-3 b 4 2-3 = 2.4-b.(-3) = 8+ 3b. Tiene que Calculamos el determinante de B. Tenemos que |B| = b 4 ser |B| = -3 y hemos obtenido que |B| = 8 + 3b, por lo que, igualando, es 8 + 3b = -3 y despejando b tenemos que b = -11/3 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. calcular a y b para que DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 3 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. , cuadrada de orden 3, su determinante es: a11 a12 a13 |A| = a21 22 23 = a11 a22-a33+a31 a 12-a23+a21 a32-a13-a13-a22 a31-a11 a32a23-a33 a21.a12 a31 a32 33 La regla de Sarrus permite recordar la expresión anterior de manera sencilla. Para ello, hay que tener en cuenta que los productos correspondientes a la diagonal principal y a las líneas paralelas a ella por el vértice opuesto conservan el signo, mientras que en los productos que corresponden a la diagonal secundaria ya las líneas paralelas a esta por el vértice opuesto, el signo cambia. Podemos recordarlo así: Pág. 31 Ejemplo 25 Calcular el determinante de las siguientes matrices: 3 |A| = 2 3 |B| = 1 1 NHAHRI IZHXHAI 3 -1 2 1 ---(77) ---€49) --- () A = 2 1 0 3 = 3 1 2 -1 -1 |A-AI| = Ejemplo 26 [PEVAU,24 a))] Considera A = -1 0 = 3.1.2+3.(-1).0+(-1)-2-1-3-1-(-1)-3-1-0-2-2-(-1) = 6+0-2+3+0+4 = 11 2 2 1 0 4 3 -1 = 2.3.1+ (−1) · 1 · (−1) + 0·4·(-1)-(-1) ·3·0-2 · (-1) · (-1)-1.4.1= -1 -1 1 Calculamos A - AI en primer lugar. = 6+1+0+0-2-4-1 1 2 3 |C| = 4 5 6 =1.5.0+7.2.6+3.4.8-7-5-3-1-8-6-0-4-2=0+84+96-105-48-0=27 780 B = 1 2 3 002 0 1 1 = (1-A). (^²-^-2). - λ. 1 (!? -1 23 002 011 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. 1 y X = (a) Halla los valores de A tales que |A - AI| = 0, donde I es la matriz identidad de orden 3. TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 1 23 λο 0 2 3 100 01 0 = 001 002 011 Ο λ 0 = ο Ολ 0 -A 2 0 1 1-A = -A. (1-x)² +0+0-(0+2. (1-A) +0) = A (1-A)²-2 (1-A) = (1-A) · (-A (1-X) - 2) = - (G). y 1-A Resolvemos la ecuación |A - AI| = 0, es decir, (1-A) (A²-A - 2) = 0. De 1-A = 0 obtenemos la solución X = 1 y al resolver la ecuación de segundo grado ^²-^-2=0 hallamos las soluciones A=-1 y|λ=2| Pág. 32 y B = 1 2 0 -2 m 0 3 2 m (b) Determina, si existen, los valores de m para los que A y B tienen el mismo determinante. Ejemplo 27 [PEVAU,73 b)] Considera las matrices A = a 1 -1 Ejemplo 28 Resolver la ecuación 02 a = 2. 40-a Calculamos en primer lugar el determinante de las dos matrices en función de m. Tenemos que |A| = -m-4 y |B| = m² +0+0 (0+0-4m) = m² + 4m. Como A y B deben tener el mismo determinante los igualamos, -m-4 = m² + 4m. Resolviendo la ecuación de segundo grado m² + 5m + 4 = 0 llegamos a m-4 y m = -1 Realizamos el determinante, lo igualamos a 2 y resolvemos la ecuación para calcular a: a= -1 2 2 m a 1 -1 0 2 a = 2 40 -a -2a² +4a+0-(-8)-0-0=2 -2a² + 4a +6=0 Simplificando nos queda la ecuación segundo grado -a² + 2a +3=0. La resolvemos: -14-4 (-1)-3 -2±4 2.(-1) Por tanto, las soluciones de la ecuación son a=-1 V a = 3 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. -2+4 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. -2 4 -1 3 0 Menor complementario y matriz adjunta. Veamos cómo podemos calcular el determinante de una matriz cuadrada de cualquier orden. Para ello, debemos ver los conceptos de menor complementario y adjunto de una matriz, que también usaremos posteriormente para calcular la inversa de matrices usando determinantes. Pág. 33 Dada una matriz cuadrada A de orden n ≥ 2, llamamos menor complementario del elemento aij, que representaremos por xij, al determinante de la matriz obtenida al suprimir la fila i y la columna j. 1 0 -3 Ejemplo 29 Calcular los menores complementarios de la matriz A = 5 6 9 -8 4 0 Para calcular α1₁1 debemos realizar el determinante de la matriz que nos queda al eliminar la fila 1 y la columna 1, es decir: por lo que α11 = por lo que α12 = Para hallar 12 tenemos que hacer el determinante de la matriz que nos queda al eliminar la fila 1 y la columna 2, es decir: por lo que α13 = X21 = X23 = De la misma forma, para calcular 13 realizamos el determinante de la matriz que nos queda al eliminar la fila 1 y la columna 3, es decir: X32 = 69 40 0-3 4 0 1 0 -8 4 9 5 -80 Análogamente calculamos el resto de menores complementarios: 1-3 5 9 = 6.0-4.9 = -36. 5 6 -8 4 = 5.0 (-8). 9 = 72. = 5.4-(-8). 6 = 68. = 0.0-4.(-3) = 12, = 1.4-(-8).0 = 4, = 1.9-5. (-3) = 24, X22 = 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. α31 = α33 = 1 -3 -8 0 0-3 6 9 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 10 56 Los menores complementarios son, entonces α11 = -36 α23 = 4 X31 = 18 X32 24 y α33 = 6 = 1.0 (-8) (-3) = -24, = 0.9-6-(-3) = 18, = 1.6-5.0 = 6. α12 = 72 α13 = 68 α21 = 12, α22 = -24 Pág. 34 Dada una matriz cuadrada A de orden n ≥ 2, el adjunto de un elemento aij, representado por Aij, viene dado por Aij = (−1)i+j .xij. La matriz adjunta de la matriz A = a11 a21 : : anl an2 Ejemplo 30 Calcular la matriz adjunta de A = Por tanto, la matriz adjunta es: a12 a22 ▪ A11 = (-1)¹+¹. α11 = (-1)² · (-36) = -36 A12 = (-1)¹+2. α12 = (-1)³ 72-72 A13= (-1)1+3. α13 = (-1)4.68 = 68 ▪ A21 = (-1)²+1 a21 = (-1)³. 12-12 ▪ A22 = (-1)²+2. α22 = (−1)4 · (–24) = -24 constituida por los adjuntos de los elementos de A, es decir, adj(A) = adj(A) = Aij = { ={_a : Xij si -Xij si ain a2n ann 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. que denotaremos adj(A), es la matriz 1 0-3 5 6 9 -8 4 0 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. En el ejemplo anterior calculamos que los menores complementarios son α11 = -36, α12 = 72, α13 = 68, x21 = 12, α22 = -24, α23 = 4, α31 = 18, α32 = 24, α33 = 6. Con ellos, calculamos los adjuntos: ▪ A23 = (-1)²+3x23 = (-1)5.4 = −4 ▪ A31 = (-1)³+1. α31 = (-1)4.18 = 18 ▪ A32 = (-1)³+2. α32 = (-1)5.24 = -24 ▪ A33 = (-1)³+3.33= (-1)6.6=6 -36 -72 68 -12-24 -4 18 -24 6 A11 A12 A21 A22 : : An An2 : i+j es un número par i+j es un número impar AIn A2n Observación. Teniendo en cuenta la expresión para calcular el adjunto de un elemento de una matriz, Aij = (-1)i+i. αij, podemos hallarlo de manera rápida según la fila y columna del elemento que sea, pues: : Ann 0 ya que si i+j es un número par, (-1)i+j = 1, luego Aij = 1. αij = αij, mientras que si i+j es un número impar, (-1)+ -1, por lo que Aj = (-1). αij = -αij Por ejemplo, los signos de (-1)i+i en una matriz de orden 3 son los que aparecen en el siguiente esquema, según la ubicación de cada elemento de la matriz: Pág. 35 Para orden 2 el esquema será Pues A11 = +α11, A12 = -α12, A13 = +α13, A21 = -α21, A22 = +022, A23 = -α23, A31 = +α31, A32X32, A33 = +α33. + |tz| + Cálculo del determinante de matrices cuadradas de orden n. Con los conceptos de menor complementario y matriz adjunta podremos calcular el determinante de una matriz cuadrada de cualquier orden. El determinante de una matriz cuadrada A = |A| = DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE CUALQUIER ORDEN a11 a12 a21 a22 : : : an an2 ann los productos de los elementos de una fila (o de una columna) por sus adjuntos correspondientes. Por ejemplo, si usamos la primera fila: a11 a12 a21 a22 ⠀ an2 anl ⠀ = a11. Ejemplo 31 Calcular T + T ain a2n ⠀ ann ++ 12 -1 2 4 5 0 2 3 3 -1 1 4 1 0 5 luego por la tercera columna. Por ejemplo, también podemos calcular de este modo el determinante de una matriz A = de orden 3: - α12. TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. ain a2n a11 a12 a13 |A|=| a21 a22 a23 = a11 A11 + 912 A12 + a13 A13 = a11 α11a12 α12 + a13. α13 = a31 a32 a33 a22 a23 a32 a33 Hemos usado la primera fila, pero podíamos haber tomado cualquier otra fila o columna. 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. = a11 · A11 + a12 · A12 + ... + ªin Ain de orden n es la suma de a21 a23 a31 a33 + a13. a21 a22 a31 a32 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 33 de dos formas, primero desarrollándolo por la tercera fila y Debemos obtener el mismo resultado, pues no importa la fila o columna que utilicemos. Desarrollándolo por la tercera fila: Pág. 36 12 -1 2 4 5 0 2 33 -1 1 4 1 0 5 3.23 3 12- (-33)-1.16 50 Desarrollándolo por la tercera columna: 1 2 -1 2 4 5 0 2 1 3 3 -1 4 1 0 5 =-1 = 3. 5 1 452 = -1 3 31 4 15 (-17)-0-1-(-33)-0 = 50 2 2 5 3. Consideremos A = -0. Sea A = 1 4 4 |A| = |AB| = |A¹|= -1 0 0 1 22 3 3 1 4 15 = ( 1¹2₁ ) y B = (3²) -2 5 |A|.|B| = ■ El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta, |A| = |At|. 3 -- (-2³). 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. 2 Observación. Conviene desarrollar un determinante por la fila o columna que tenga más ceros (si los hay) para simplificar los cálculos. Es posible también aplicar Gauss para hacer ceros, con la intención de que sea más sencillo el cálculo del determinante. 1 3 -2 1 2+(-1). Podemos definir los determinantes de tercer orden en función de los de segundo orden, los de cuarto orden en función de los de tercer orden, los de quinto orden en función de los de cuarto orden, y así sucesivamente. Propiedades de los determinantes. Un determinante de cualquier matriz A de orden n cumple las siguientes propiedades: 1-2 3 1 +(-1). 1 3 -2 1 1 22 452 4 15 1 22 4 5 2 4 1 5 1 4-2 = |( -¹2³) · ( 3² ) 1 5 =1-1-(-2) 3=7 1.1-3 (-2) = 7 – 1. ■ El determinante de un producto de matrices es igual al producto de sus determinantes. Para cualesquiera dos matrices cuadradas A y B de orden n y para p ER, |AB| = |A|B|, |AP| = |A|P 4-2 5 3 -0. = 19 7 -37 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 1 2 -1 4 5 0 4 1 0 1 22 45 2 3 3 1 = 154 = 7.22 154 = Pág. 37 ¡Atención! En general, no se verifica que A + B sea igual a A+ IBI. ▪Si una matriz A tiene inversa, A-1, el determinante de la inversa es el inverso del determinante, es decir, 1 [A] |A-¹ | = Vamos a probarlo. Si una matriz A tiene inversa A-1, entonces AA-1 = A-¹. A = I. Matrices iguales deben tener determinantes iguales, luego A A-¹| = |I|. Como hemos visto que el determi- nante de un producto de matrices es igual al producto de sus determinantes, |A|A¹| = |I|. Si 1 despejamos A-¹ y tenemos en cuenta que |I| = 1, llegamos a |A-¹| |A| Al permutar dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo. 1 30 -2 16 2 0 1 la primera y tercera fila. Sea A = 1 21 Sean A = -1 1 3 ▪Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales o proporcionales, su valor es cero. Esto es, si una matriz tiene filas o columnas linealmente dependientes, entonces su determinante es 0. (³) Sea A = Calculemos su determinante y el determinante que resulta al intercambiar 1 30 -2 1 6 =1+36+0-0-0-(-6)=43 2 01 2 01 -2 16 = 0+0-6-1-36-043 1 30 4-3 5 2 1 21 segunda fila es el doble que la primera. que tiene la primera y tercera filas iguales y B = 1 |A| = -1 1 2 1 13 = 1+6-2-1-6-(-2) = 0 2 1 |B| = TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 3 4 68 = 24-24 = 0 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. 4 -3 |A|=|2|=8 = 8 (-15) = 23 5 ) Luego, si una fila o columna de una matriz es combinación lineal de otras, el determinante es cero. 34 ▪ Si se multiplican todos los elementos de una fila o de una columna por un número real, el determinante queda multiplicado por dicho número. Si multiplicamos la primera fila por 6 tenemos la matriz A' = 68 en la que la 24 -18 5 2 Pág. 38 Tenemos que A' = 6.|A|. Sea A = De lo anterior podemos deducir la siguiente propiedad también. ▪Si & E R y A tiene orden n, con n E N, entonces la A| = an .|A|. |x. A|-3 4 -|- · * . 5 2 -1 1 x³.|A| = (-3)³. 4 -3 1 5 2 0 y consideremos α = -3. -1 1 2 Sea A = |A'| = Consideremos A = (372). 8 12 segunda columna en una suma. |A| = |A| = -3 1 0 2 3 7 8 12 ▪ Si una fila o columna es una suma de dos sumandos, el determinante puede descomponerse en la suma de dos determinantes, en los que ponemos los diferentes sumandos. Las filas o columnas que no se descomponen como suma se dejan igual en los dos determinantes. -2 3-2 4 24 5 2 = 4 -3 1 5 2 0 = -27.(16+5-(-2-30)) = -27 (21-(-32)) = -27.53 = -1431 -1 1 2 = = -18 |A| = 3 3+4 8 8+4 =(² 1 a la segunda fila la primera multiplicada por 5. = 48 (-90) = 138 Calculemos su determinante descomponiendo los elementos de la De las dos últimas propiedades deducimos lo siguiente: -12 9 -3 -15-6 0 = -432-135- (54 +810) = -1431 3 -3 -6 3 7 8 12 |A| = 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. ▪Si a una fila o columna se le suma otra fila o columna multiplicada por un determinado valor, el deter- minante no varía. 3 -2 1+3.5 4-2.5 = 36-56-20 3-2 1 4 3 3 88 + . Calculemos su determinante y también el determinante que resulta al sumarle TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 3 4 84 3-2 1 4 = 0+12-32= -20 = 12-(-2) = 14 + 3 -2 3.5 -2.5 = 12-(-2) +0=14 Pág. 39 Ejemplo 32 [PEVAU,16 a)] Considera las matrices A = |X|4|A| = |B|²; |X|4 (a) Sabiendo que una matriz X verifica X³. A.X = B², halla los posibles valores de su determinante. (*) tenemos que |A| = 1 y |B| = -2. Usamos que matrices iguales tienen determinantes iguales y que el determinante de un producto de matrices es igual al producto de sus determinantes. Por tanto, X = ±√2| Como X³. A. X = B² entonces |X³. A. X| = |B2, luego |X³|A|X| = |B|2. Depejamos |X|: =(*) (−2)² = 4; |X| = ±4=± √√/2² = ± √/2 1 = B² |A| 1 1 12 y B = A = Ejemplo 33 [PEVAU,52] Sea una matriz 3 x 3 tal que det(2A) = 8. (a) ¿Cuánto vale det(A)? (b) Siendo B la matriz que se obtiene de A multiplicando por 3 la primera fila y por -1 la tercera, ¿cuánto vale det (B)? X x+1 X 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. (c) Determina los valores de x para los que la siguiente matriz A verifica que det (2A) = 8, 21 20 1 2 121) -x+2 1 (a) Usamos que si se multiplican todos los elementos de una fila (o columna) de una matriz por un mismo número, el determinante queda multiplicado por dicho número. Tenemos en cuenta que A es de orden 3, por lo que tendrá tres filas (y columnas). Luego det (2A) = 2³. det (A) = 8. det (A) = 8, ya que el enunciado nos dice que det (2A) = 8. Por tanto, despejando de 8 det(A) = 8 llegamos a det (A) = 1. (b) Por la misma propiedad enunciada en el apartado anterior, det(A) = 3· (−1) · det(A) = −3∙1 = −3. Luego det(B) = -3 Pág. 40 (c) Hallamos en primer lugar el determinante de la matriz dada. det(A) = 2x + 2x + (x + 1)(x+2) - (2x + 2x - (-x+ 2) + x + 1) = = 4x-x²+2x-x+2-(3x+1-2x² + 4x) = -x² + 5x+2+2x² - 7x-1= x² - 2x + 1. Por la misma propiedad usada en los apartados anteriores, det (2A) = 2³. det(A) = 8. (x²-2x+1). El enunciado nos dice que det (2A) = 8, luego es 8 ⋅ (x² - 2x + 1) = 8 y resolviendo la ecuación x² - 2x + 1 = 1, es decir, x (x - 2) = 0 obtenemos las soluciones x=0|yx = 2. Ejemplo 34 [PEVAU,145] Sean F₁, F2 y F3 las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz B de orden 3, cuyo determinante vale -2. Calcula, indicando las propiedades que utilices: (a) El determinante de B-¹. (b) El determinante de (B¹)4. (c) El determinante de 2 B. (d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 5F₁ - F3, 3F3, F2. Sea B = F₁ F₂ F3 con det(B) = -2. 1 (a) Como |B| 0, existe B-¹, por lo que de B. B-¹ = B-¹B = I. Usando que matrices iguales tienen determinantes iguales tenemos que |B B-¹|=|I|. Como el determinante de un producto de matrices es igual al producto de sus determinantes, |B|- |B¹| = |I|. Por tanto: TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. B-1 1 |I| 1 B -2 2 = 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. (b) Utilizamos que el determinante de un producto de matrices es igual al producto de sus determinantes y que el determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta. |(Bt)4| = |B¹|4 = |B|4 = (-2)4 = 16 (c) Usamos que si se multiplican todos los elementos de una fila (o columna) de una matriz por un mismo número, el determinante queda multiplicado por dicho número, y tenemos en cuenta que B es una matriz de orden 3. |2 B| = 2³. |B| = 8 (-2)=-16 Pág. 41 (d) Sea A = 5F₁ - F3 3F3 F₂ 5F₁-F3 3F3 F₂ _(1) k X 2k y 3k z 5F₁ 3F3 + F₂ 1 + ax 2 + ay 3 + az , con det(B) = -2. -F3 3F3 _(2) F₂ (1) 5F₁ F₂ 3F3 k X 1 2k y 2 3k Z 3 + = -15 |B| = -15- (-2) = 30 + -F3 3F3 F₂ (1) Si una fila o columna es una suma de dos sumandos, el determinante puede descomponerse en la suma de dos determinantes, en los que ponemos los diferentes sumandos. (2) Al permutar dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo. (3) Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales o proporcionales, su valor es cero. (4) Si se multiplican todos los elementos de una fila o de una columna por un número, el determinante queda multiplicado por el dicho número. _(3) Ejemplo 35 [PEVAU,231] Sin desarrollarlo, calcula el valor del determinante de la matriz k x 1 + ax y enuncia las propiedades que hayas usado. 2k y 2 + ay 3k z 3 + az 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. k x ax 2k y ay 3k Z az TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 5F₁ F₂ +0=(4) -5.3 F₂ 3F3 B|- F3 k X X (2) 0+ a 2k y y 3k z z 0 = 0+ a.00 (1) Si una fila o columna es una suma de dos sumandos, el determinante puede descomponerse en la suma de dos determinantes, en los que ponemos los diferentes sumandos. (2) Si un determinante tiene dos filas o columnas proporcionales, su valor es cero (en este caso, primera y tercera columna del primer determinante). Si se multiplican todos los elementos de una fila o de una columna por un número, el determinante queda multiplicado por el dicho número (que es a € R). (3) Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales, su valor es cero (segunda y tercera columna). Pág. 42 Ejemplo 36 [PEVAU,1] Considera la matriz A = (b) 2b 2a -1 2c (b) Calcula -1 с 1 1 (a) Calcula razonadamente el determinante de 2A³. = 2 T-INTIN 1 2 a a + 4 a +1 b + 1 b C b 2 c+2 c+1 3 3 3 (1) 2.3. razonadamente los determinantes a b C a +4 b-2 c+2 (3) a +1 b+1 c+1 a 2 1 b C (a) |2A³1 (1) 23- |A³|(2) 8. |A³ = 8.5³ = 8.125 1000 (1) Si se multiplican todos los elementos de una fila (o columna) de una matriz por un mismo número, el determinante queda multiplicado por dicho número. En este caso multiplicamos 2 por las tres filas (o columnas) de la matriz, luego el determinante queda multiplicado por 2³. (2) El determinante de un producto de matrices es igual al producto de sus determinantes. a a a a 2 b -1 1 с 1 1 a b b b b с c c+ 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. -1 1 = 2.|A|=2.5 10 1 1 2 1 1 , con determinante igual a 5. a 4 1 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 2a -1 3 b с -22 (4) 0+ 1 1 2b 2c =-3-|A|-3.5 -15 T-IN IN a 4 1 b -2 1 C 2 1 1 2 3 (1) 3 (3) Si una fila o columna es una suma de dos sumandos, el determinante puede descomponerse en la suma de dos determinantes, en los que ponemos los diferentes sumandos. (4) Si un determinante tiene dos filas iguales, su valor es cero. El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta. y Pág. 43 Ejemplo 37 [PEVAU,39] Considera la matriz M = (b) 1 2 3 603 x y z Sabiendo que el determinante de M es 2, calcula los siguientes determinantes e indica las propiedades que utilices: (a) El determinante de la matriz 5 M4. (c) (b) (c) 20 1 123 x y z 1 x + 6 x 2 (a) 5 M4 (1) 53. |M4| (2) 125 |M|4 = 125.24 2000 (1) Si se multiplican todos los elementos de una fila (o columna) de una matriz por un mismo número, el determinante queda multiplicado por dicho número. (2) El determinante de un producto de matrices es igual al producto de sus determinantes. 1 x + 6 x 2 y y 3 z+3 z y y 3 z + 3 z 201 1 2 3 _(3) 1 2 3 20 1 x y z x y Z (3) Al permutar dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo. =(1) 1 3 1 2 3 (4) x+6 y z+3 X y Z 1 2 3 603 x y Z 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. _(5) 1 == M: 3 1 2 3 + x y z x y Z 1 3 1 23 603 X y Z TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 2 2 3 (6) 0+|M| =2 (4) El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta. (5) Si una fila o columna es una suma de dos sumandos, el determinante puede descomponerse en la suma de dos determinantes, en los que ponemos los diferentes sumandos. (6) Si un determinante tiene dos filas iguales, su valor es cero. Cálculo de la inversa de una matriz usando determinantes. Como hemos visto anteriormente, para que una matriz tenga inversa debe ser cuadrada, pero no todas las matrices cuadradas tienen inversa. Usábamos el método de Gauss para ver si una matriz tiene inversa y, si es así, calcularla. Ahora veremos una forma más rápida para saber si una matriz tiene inversa. Pág. 44 Una matriz tiene inversa, es decir, es invertible o regular, si su determinante es distinto de cero. No tiene inversa, es decir, será singular, si su determinante es cero. Ejemplo 38 Determinar si tienen inversa las matrices A = det(A) = det (B) SABER SI UNA MATRIZ TIENE INVERSA = -1 2 6 5 Una matriz tiene inversa si su determinante es distinto de cero. Calculemos, por tanto, el determinante de las matrices anteriores: puesto que det (B) = 0, la matriz B no tiene inversa B = =-1-5-6-2-5-12-17, como det(A) = -170, la matriz A tiene inversa 2 1 0 3 0 2 =2.0.2+1·2·1+3 (-1)-0-1-0-0-2-(-1)-2-2-3-1=2+4-6= 0, 1 -1 2 Ejemplo 39 Hallar para qué valores de m tienen inversa las matrices A = 1 1 m m 0 -1 6 -1 0 m 2 6 m C = -1 2 6 5 (15 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 15 3m m y B = y D= 2 1 0 3 0 2 1 -1 2 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. 1 (23). Una matriz tiene inversa si su determinante es distinto de cero. Por tanto, vamos a calcular el determinante de cada matriz e igualarlo a cero y resolveremos la ecuación para encontrar para qué valor o valores de m la matriz no tiene inversa. Así sabremos para qué valor o valores de m sí tiene inversa. ■ El determinante de A es |A| = -3-2m. Resolvemos la ecuación |A| = 0, es decir, -3-2m = 0, por lo que obtenemos m = -3/2. Como para m = -3/2 el determinante de la matriz se anula, ese valor es el único para el que la matriz no tiene inversa. Por tanto, A sí tiene inversa para m-3/2, con mER. ■ Calculamos el determinante de B, det(B) = m² - 12. Resolvemos det(B) = 0 para hallar para qué valor o valores de m la matriz no tiene inversa. De m² - 12 = 0 obtenemos m = ±√12. Por tanto, B tiene inversa para m-√12 y m‡ √12, con m € R. ■ El determinante de C es |C| = 15m - 15m = 0. Como el determinante es cero independientemente del valor de m, la matriz no tiene inversa. Es decir, no existe ningún m ER para que C tenga inversa. ■ Tenemos que det (D) = -6- m² -1 =-7-m². Para hallar los valores para los que la matriz no tiene inversa resolvemos -7-m² = 0. Obtenemos m = ±√-7 R, por lo que la ecuación no tiene solución real. Esto quiere decir que hallamos mR para que la matriz no tenga inversa. Por tanto, D tiene inversa para cualquier valor de m€ R. Pág. 45 Si una matriz A tiene inversa, se puede calcular como: Ejemplo 40 [PEVAU,51 b)] Considera la matriz A = (b) Calcula A-¹. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA USANDO DETERMINANTES Entonces, A-1 Calculamos la matriz adjunta de A, que es adj(A) El determinante de A es |A| = 2.0-(-1)-(-1)=0-1=-1, por lo que la matriz tiene inversa. Ejemplo 41 = Por tanto, A-¹ = m m m 1 |A| · adj(A)t = -1. ( 0 A-¹ = adj (A)t |A| -1 -1 -2 m m m+1 m 2 -1 (²3). -1 0 0 -¹ · ( 2 ) - ( ; ₂) - ( 9 ) = 12 12 -1 -2 01 (12) [PEVAU,2] Considera la matriz A = m m m+2 (a) ¿Para qué valores de m existe la inversa de la matriz A? Razona la respuesta. (b) Para m = 1, halla m m mm + 1 m TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. (a) Para que una matriz tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero. Calculamos entonces el determinante de la matriz. 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. m m m+2 = m (m+1). (m+2)+m·m·m+m·m·m (m·m (m+1) +m·m·m+m·m (m+2)) = = = (m² + m) · (m + 2) + m³ + m³ − (m³ + m² + m³ + m³ + 2m²) = = Pág. 46 =m³ +2m² + m² + 2m + 2m³ - 3m³ - 3m² Puesto que |A| = 2m, la matriz tendrá inversa para los valores m E R tal que A #0, es decir, que cumplan 2m 0. Por tanto, existe la inversa de A para m #0 MER 1 (b) Nos piden hallar la inversa de A para m = 1, es decir, de A = A A 2 La matriz adjunta de A es adj(A) = Luego, A-1 Usamos que si ke Ry A es invertible, entonces (k. A)¹ = k-¹. A-1. Por esta propiedad, = 2.A-¹. Calculemos entonces la inversa de A. -1 (₁2.A) Entonces, Teniendo en cuenta que en el apartado anterior obtuvimos que el determinante de A es 2m, es |A| = 2.1 2. Por tanto, 1 = 5/₂ |A| -1 1 adj(A)t = -1 = 2.A-¹ = 2. 1 2 71 + = 2m. 5 -2 -1 -2 2 0 0 1 5 -2 -1 0 5 -2 -1 2 0 -2 -1 0 1 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. 2 0 1 5 -2 2 -1 0 1 1 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. .... 11 1 12 1 11 3 2 5 -2 -1 -2 2 -1 0 ;) 1 ¡Atención! Para calcular la inversa de una matriz usando determinantes, recuerda que debes calcular la traspuesta de la matriz adjunta. Y para hallar la matriz adjunta no olvides que al calcular los menores complementarios debes tener en cuenta si el adjunto conserva el signo o tiene el signo opuesto, que es + + (+7) para orden 2 y para orden 3 (y que estos signos no significan que el elemento + + sea positivo o negativo, sino si el adjunto tiene el mismo signo que el menor complementario o su opuesto). Cálculo del rango de una matriz aplicando los determinantes. Definimos anteriormente el rango de una matriz como el número de filas o columnas linealmente indepen- dientes que tiene. Por las propiedades de los determinantes estudiadas, sabemos ahora que si una matriz cuadrada tiene alguna fila o columna linealmente dependiente de otras, su determinante es cero. Y recípro- camente, si el determinante de una matriz cuadrada es cero entonces sus filas o columnas son linealmente dependientes. Vamos a usar a continuación estas ideas para realizar el estudio del rango de una matriz usando determinantes. Pág. 47 Dada una matriz A de dimensión mxn, no necesariamente cuadrada, se llama menor de orden k, donde k es menor o igual que m y n, al determinante de una matriz cuadrada de orden k que resulta de eliminar m - k filas y nk columnas de la matriz A. Consideremos, por ejemplo, la siguiente matriz de orden 4x5: 1 3 11 -7 4 1 5 6 4 -3 -4 6 8 12 13 16 -10 2 -1 0 Un ejemplo de menor de orden 1, k = 1, es el siguiente determinante, obtenido cuando eliminamos m-k=4-1=3 filas (las tres primeras) y n-k=5-1=4 columnas (las cuatro últimas): [8]. TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. Un ejemplo de menor de orden 2, k = 2, es el siguiente determinante, obtenido cuando eliminamos m-k=4-2= 2 filas (la segunda y la tercera) y n- k = 5-2 = 3 columnas (las tres primeras): 3 16 -10 0 Un ejemplo de menor de orden 3, k = 3, es el siguiente determinante, obtenido cuando eliminamos 1 0 3 m-k=4-3= 1 fila (la cuarta) yn-k=5-3= 2 columnas (la segunda y la cuarta): 11 1 5 6 -4 6 Un ejemplo de menor de orden 4, k = 4, es el siguiente determinante, obtenido cuando eliminamos 1 0 2 3 11 -7 1 5 6 4 -4 6 8 12 16 -10 m-k=4-4 = 0 filas y n-k=5-4=1 columna (la tercera): Observamos que si el valor de alguno de los determinantes anteriores es cero, entonces algunas de las filas o columnas de la matriz que intervienen en él son linealmente dependientes. Sin embargo, si todos los menores de un determinado orden son distintos de cero, las filas o columnas escogidas son linealmente independientes. Para saber cuántas filas o columnas linealmente independientes tiene una matriz, es decir, para conocer cuál es su rango, basta con encontrar el menor distinto de cero de mayor orden, de forma que los menores de orden inmediatamente superior a él sean todos cero. De este modo, usando el concepto de menor de orden k podemos dar una nueva definición de rango de una matriz: Se denomina rango de una matriz al orden del mayor menor distinto de cero. Lo anterior quiere decir que el rango de una matriz es k si existe un menor de orden k distinto de cero y, además, cualquier otro menor de orden superior a k es cero. 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. Dado un menor de una matriz, se pueden formar otros menores de un orden superior con una fila y una columna más, añadiendo los elementos de otra fila y otra columna cualesquiera. Este procedimiento recibe el nombre de orlar el menor. Pág. 48 Veamos, mediante un ejemplo, el proceso para calcular el rango de una matriz usando determinantes. Consideremos: 1 4 3 ■ Seleccionamos un menor de orden 2 distinto de cero, como el que procede de los elementos que hemos marcado de color verde en la matriz: = 1 / 0. ■ Orlamos el menor y analizamos los menores de órdenes superiores. 4 3 • Comenzamos tomando las tres primeras filas y orlando el menor inicial con las tres primeras columnas, una a una: = 0 = 0 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. Los tres determinantes, resultado de orlar usando las tres primeras filas, son cero. Así, usando la tercera fila, las tres primeras columnas son combinaciones lineales de la cuarta y quinta, y dado que el rango por filas es igual al rango por columnas, la tercera fila es combinación lineal de las dos primeras. = 0 • Tomamos ahora las filas primera, segunda y cuarta y orlamos el menor inicial de nuevo con las tres primeras columnas una a una: 1 0 0 = 0 Ejemplo 42 [PEVAU,40 c)] Considera la matriz A = (c) Calcula el rango de A - 21. 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. Al igual que antes, podemos concluir que la cuarta fila es combinación lineal de las dos primeras. Por tanto, el rango de la matriz inicial dada es 2, puesto que hemos comprobado que todos los menores de orden 3 son cero y hay al menos un menor de ordenn 2 distinto de cero. En general, sea cual sea la matriz es preferible iniciar el proceso con un menor no nulo de orden 2 e ir orlándolo progresivamente, como hemos realizado en el ejemplo. Si no existiera un menor no nulo de orden 2 el rango de la matriz sería 1, pues salvo en el caso de la matriz nula, siempre podemos encontrar un menor de orden 1 no nulo. = 0 Hemos calculado 7 determinantes en lugar de los 26 que hubiéramos calculado si se realizara al revés, es decir, empezando por los menores de orden 4 y reduciendo el orden hasta encontrar uno distinto de cero. 0 -1 -2 0 2 0 1 1 3 Pág. 49 Tenemos que A - 21 = Como -2 -1 1 1 Puesto que det(A - 21) = Por tanto, rang (A-21) = 2 Puesto que -2 0 1 = -1 = 0, sabemos que rang(A-21) ≥ 2. Tenemos que B. A = 21 22 0 0 1 1 -2 -1 -2 0 1 Ejemplo 43 [PEVAU,4 b)] Considera las matrices A = (1 Como 0 1 1 1 0 2 m -1 0 1 y B = (b) Estudia el rango de la matriz B. A según los valores de m. = 0, el rango de A-21 debe ser inferior a 3. -1 0 (₂9) = m = 20, sabemos que rang (BA) ≥ 2. 1 -1 0 m 2 2 m-1 = -4m - 2m +2m² +2-2m-4m-2m² + 12m - 2 = 0. = -4m+ (2m-2).(-1 + m) - 4m - (2m² - 2m - 8m+2-2m) = Ejemplo 44 [PEVAU,13 a)] Considera la matriz A = -1+m 2m -2m Tenemos que det (BA) = -4m+2. (m-1) (-1+m) -4m- (2m (m-1)-8m-2.(-1+m)) = 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 1 2 -1 El determinante de BA es igual a cero independientemente del valor de m, por lo que rang (A) = 2 (a) Estudia el rango de A según los valores de m. 1 -1 m + 2 0 1 m+1 m 0 5 1 0 m 1 2 -1 1 -1 67 = 10 independientemente del valor de m E R, sabemos que rang (A) > 2. 1 0 Pág. 50 Calculamos el determinante de A. 1 |A| = 0 -1 m+2 1 m+1 = 5-m(m+1)+0-(m.(m+2)+0+0) = 5-m²-m-m²-2m = -2m²-3m+5. m 0 5 Resolvemos la ecuación −2m² – 3m + 5 = 0 para saber para qué valores de m se anula el determinante de A y averiguar por tanto el rango de A según los valores de m. Obtenemos m = -5/2 y m = 1. Las soluciones de la ecuación -2m²2 - 3m + 5 = 0 son m = -5/2 y m = 1. Entonces, para esos valores de m se cumple |A| = 0, por lo que el rango de A es 2. Como m= Por tanto, si m = -5/2 o m = 1 entonces rang (A) = 2 y si m # -5/2 y m / 1 es rang (A) = 3 Ejemplo 45 [PEVAU,11 a)] Considera la matriz A = Tenemos que A - λI = -1 2-A 0 1 3+√√9-4 (-2).5 3±7 2.(-2) 2 02 -1 21 0 1 4 (a) Estudia, según los valores de A, el rango de la matriz A-XI, siendo I la matriz identidad de orden tres. Calculamos el determinante de A - AI. Tenemos que det(A - XI) = TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 2 02 -1 2 1 01 4 λο 0 Ο λο = 00 A 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. 2-A 0 2 1 1 4-A -1 2-A 0 con m € R = -1/0 independientemente del valor de λ € R, sabemos que rang(A - XI) > 2. □ 2-A 0 2 -1 2-A 1 = (2-x)² (4-A) +0-2-(0+(2-x)+ 0) = 0 1 4-X = (4-4^+^²). (4-A)-2-2+A= 16-4A-16A + 4^²+4^²-x³-4+A=-1³ +8^² - 19A + 12. Pág. 51 Resolvemos la ecuación -1³ +87² - 19A + 12 = 0 para saber para qué valores de A E R el determinante de la matriz se anula y, por tanto, su rango es 2. Como para λ = 1 es −1³+8.1²-19.1+12=0, usamos el método de Ruffini para factorizar el polinomio -A³+ 8A²19A + 12: 27. Calcula los siguientes determinantes: -1 2 5 3 (a) (b) λ= 1 -3 2 2 1 Luego -³ +8² – 19a + 12 = (A − 1) · (–^² + 7A − 12). Resolvemos la ecuación -^² +7A - 12 = 0. Solución -7√√49-4-(−1) · (–12) 2. (-1) Obtenemos λ = 3 yλ = 4. Entonces, -A³+8A²—19A+12 = (a−1)·(−^²+7^—12) = −(−1)·(A—3).(^—4). Las soluciones de la ecuación -1³ +8A²19A + 12 = 0 son entonces λ = 1, λ = 3 y λ = 4. Para esos valores de A, el determinante de la matriz A - XI es cero, por lo que el rango de la misma es 2. -1 -1 28. Resuelve las siguientes ecuaciones: Por tanto, si x = 1, λ = 3 o λ = 4 entonces rang (A-AI) = 2 y si λ ‡ 1, A‡3 y λ = 4, con λ = R es rang(A-AI) = 3 (c) 8-19 12 7-12 0 -1 (d) 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. 7 12 a)-13, b) 8, c)-26, d)-8, e) 7, f) 0 -2 -3 5 1 2 -1 3 5 14-3 = -7214 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. (e) INM IN3 1 1 2 -1 4 2 -1 1 -1 1 1 (f) 2 -1 3 0 4 Ejercicios Pág. 52 (a) Solución 1 7 2 a) x = 4, b)x= -3, x=0 29. Prueba que las matrices M = Solución = 1 (b) B = Solución A-1 = E-¹ = 30. Calcula el valor de m para que las siguientes matrices sean regulares: 07 5 1 -1 1 -1 -1 m m ~ ~GD -GD) -(B) (a) 34 m (b) m 3 (c) 1 -1 0 m 0 m 705 4 1 1 0 m m m (²3) -1 a) m #5, con meR, b) m #1 y m #3, con m ER, c) hay inversa para cualquier m E R d) no hay inversa para ningún valor de m 3 -8 3 31. Calcula, si existen, las matrices inversas de las siguientes matrices usando determinantes: 3 1 -1 -2 -1 (0) A = (³¹) 8 3 6 -2 12 5 -5 3/2 -2 -1/2 3 2 15 10 ), B-1 -3/2-1/2 3 1 1/2 1/2 a = -3 ya = 3 B-¹ = y N= (c) C = 6.- Ecuaciones matriciales. (d) D = 3/10 1/10 -2/5 1/5 F-1 = (b) 1 3 1 1 -1 -3 2 4 0 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. 102 2 3 1 01 2 C-1 -1 1 -X -1 -1 32. Calcula los valores de a para los que la inversa de la matriz A = 1/1/ Solución -2 no tienen inversa. 1 1 2 0 -6 -1 0 1/10 3/10 -1/2 3/10 -1/10 1/2 -1/2 1/2 -1/2 = -2 2 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. (e) E= (f) F= a 4 -4 a D-¹ = 21 0 1 1 -1 1 0 3 21 4 4 2 1 21 -3 -( m m 5/9 2/9 -2/3 -4/9 2/9 1/3 2/9 -1/9 1/3 coincide con su traspuesta. Vamos a ver cómo resolver ecuaciones matriciales, es decir, ecuaciones cuya incógnita es una matriz. Pág. 53 Hay varios procedimientos que podemos utilizar para resolver estas ecuaciones. El más habitual es despejar la matriz incógnita, si se puede. Para poder resolver una ecuación matricial despejando la matriz incógnita, debemos proceder de la mis- ma forma que usamos para las ecuaciones con números reales, pero teniendo en cuenta las propiedades de las matrices vistas anteriormente. Tendremos que sumar y multiplicar matrices. Las matrices no pueden dividirse, por lo que, en su lugar, podremos multiplicar por la matriz inversa, si existe. Recordamos las siguientes propiedades para matrices A y B de orden n, que emplearemos para despejar la matriz incógnita: ■ La multiplicación de matrices no cumple la propiedad conmutativa, por lo que el resultado de A B no es el mismo que el de B. A. Dada la matriz A, no es lo mismo multiplicar la matriz B a su izquierda que a su derecha. ■ El elemento neutro de las matrices es la matriz identidad, es decir, In A = A.In = A. ▪ Si multiplicamos una matriz por su inversa, por la izquierda o por la derecha, su resultado es la matriz identidad, A.A-¹ = A-¹. A = In. Ejemplo 46 Resolver la ecuación matricial A. X = B, donde A = Despejemos X: A.X = B A¹ (A.X) = A-¹. B (A-¹. A) X= A-¹. B I.X A¹ B X = A ¹. B Debemos hallar la matriz X que cumple A. X = B. Veamos primero qué dimensión tiene que tener X. Dado que A es de orden 2 y B tiene dimensiónn 2x1, para poder hacer A X el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de X, por lo que X tiene 2 filas. Para que ese producto tenga como resultado la matriz B, X tiene que tener el mismo número de columnas que B, es decir, 1. Por tanto, la matriz X que buscamos tiene dimensión 2×1. TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. Al calcular la matriz inversa de A, tenemos que y haciendo las operaciones: 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. multiplicamos por A-¹ a la izquierda*, en ambos miembros utilizamos la propiedad asociativa del producto de matrices usamos que A.A-¹ = I utilizamos que I.X = X A-¹ = 12 22 Nota muy importante: en * debemos tener en cuenta que si multiplicamos por una matriz a la izquierda (o derecha) en el primer miembro de la ecuación, también debemos multiplicarla a la izquierda (o derecha) en el segundo miembro de la ecuación, pues vimos que el producto de matrices no cumple, en general, la propiedad conmutativa. -1 1 1 2). y B = -1/2 3). 4 Como X = A-¹. B, sustituyendo Pág. 54 X = A ¹. B = Por tanto, la solución de la ecuación matricial es X = Ejemplo 47 Calcular la matriz X tal que X. Despejamos X: -1 = (₁ - ₁1/₁2) · ( ² ) = ( 1 ) X A 3B 4C X A- 3B + 3B = 4C + 3B X A+ 0 = 4C + 3B X A=4C + 3B En primer lugar, para que sea más cómodo al escribir los pasos para despejar X, ponemos nombres a las De esta forma, -2 1 -2 matrices que aparecen. Llamamos A = B = (13) yc (14 C = = 13 -3 3-4 debemos resolver la ecuación X. A-3. B = 4. C. Para que sean posibles las operaciones entre matrices, X debe tener orden 2. (XA) A¹ (4C + 3B). A-¹ X. (A A-¹) = (4C+ 3B). A-¹ X I = (4C + 3B). A-¹ X = (4C+3B). A-¹ Debemos calcular la inversa de A, que es A-¹ = -(1) = ( 15 Por tanto, la matriz buscada es X = -2 1 -2 0 7²3) - ³ - ( 13 ) - 4 - ( 2 ). 3. = 1 -3 3-4 sumamos 3B en ambos miembros de la ecuación una matriz más su opuesta es la matriz nula, -3B + 3B = 0 la matriz nula es el elemento neutro de la suma, X. A + 0 = X. A multiplicamos por A-¹ a la derecha en ambos miembros usamos la propiedad asociativa del producto de matrices utilizamos que A . A-¹ = I por el elemento neutro del producto de matrices, X. I = X Sustituimos en X= (4C+ 3B). A-1 y hacemos las operaciones: -3/7 -1/7 1/7 -2/7 1 4. 34 X = (4C + 3B) - A-¹ = (4- ( 4 ) + ³ (1 3)) (3/721/72) = · (~ 25 ) (13/71/7) - (-2707 557) 7 -6 -2/7 -27/7 5/7 -10 5 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. Observación. Una vez que adquiramos práctica, no es necesario que escribamos todos los pasos que hemos puesto antes para despejar X. Podemos escribir solo los siguientes: X A 3B 4C Pág. 55 ¡Atención! En el paso hay que escribir paréntesis. De lo contrario, haremos una operación diferente a la que debemos realizar y el resultado será incorrecto. X A=4C + 3B X. A A¹ (4C + 3B). A-¹ * X. I = (4C+ 3B). A-1 X = (4C + 3B). A-1 No siempre vamos a tener una ecuación en la que aparezca la matriz incógnita X solo una vez. Puede aparecer dos o más veces, como en el siguiente ejemplo: Ejemplo 48 Dadas las matrices A = 1 2 1 1 2 9 B = 10 -3 5 calcular la matriz X que verifica X. A + C = X. B. X A+C =X. B X A+ C-C-X B-X B-C-X B X A+ C-C-X.B=X B-X B-C X A+O-X.B=O-C X A-X B-C X (AB) = -C X. (A-B). (A-B)-¹ = −C. (A-B)-¹ X I-C. (A-B)-¹ X=-C (AB)-¹ Calculamos la inversa de A - B = y hacemos las operaciones: Veamos la dimensión que debe tener X. Para poder realizar el producto X. A, la matriz X debe tener el mismo número de columnas que filas tiene A, es decir, 3. También llegamos a esa conclusión para poder realizar X. B. Como C tiene dimensión 2x3, para que sea posible X. A+ C, tiene que ser X. A una matriz 2x3, por lo que X debe tener 2 filas. Por tanto, X es una matriz de dimensión 2x3. Por tanto, X= Despejemos X. En este caso, como X aparece más de una vez, debemos sacar X factor común, pero, debido a que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, debemos tener en cuenta que tenemos que sacar factor común en el mismo lado en el que está X. X=-C (AB)-¹ = 135 10 -1 0 0 2 2 0 1 3 9 10 -3 4 0 1 -1 0 0 1 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. -1 -3 6 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. sumamos -C y -X B en ambos miembros usamos la propiedad conmutativa de la suma de matrices una matriz más su opuesta es O O es el elemento neutro de la suma de matrices , que es (A-B)-¹ = -1 y C = sacamos X factor común por la izquierda multiplicamos por (A-B)-¹ a la derecha en los dos miembros usamos que (A - B) - (A-B)-¹ - I por el elemento neutro de matrices, X. I = X 0 -1 0 0 1 0 1 3-6 01 0 -1 0 1 0 -1 0 0 0 1 135 01 0 y sustituimos Pág. 56 Observación. Si en una ecuación la matriz incógnita aparece más de una vez, para despejarla habría que sacar factor común la matriz incógnita, si se puede. En ese caso, es muy importante tener en cuenta si hay que realizarlo por la izquierda o derecha, según el lado por el que esté multiplicando a las otras matrices. ¡Atención! Al sacar factor común, si la matriz incógnita X no está multiplicando a ninguna matriz, debe- mos tener en cuenta que X. I = I.X = X. Por ejemplo, en la ecuación A.X + X = B, como I · X = X podemos escribirla como A.X+I.X = B y si sacamos factor común X a la derecha queda (A + I).X = B. Por el mismo motivo, si despejamos X en la ecuación 7.1-2X + A.X = B, es X = (A-21)-¹. (B —71). Observación. No siempre podemos sacar X factor común si aparece dos o más veces. Por ejemplo, en la ecuación X A+B X = C no es posible, que X multiplica a A por la izquierda y a B por la derecha. En ese caso habría que proceder de otra forma. Ejemplo 49 [PEVAU,37] Considera las matrices A = c-(-²), 3 A²XBA + X = CD. ■ Calculamos la inversa de la matriz A² + I. 200 020 002 Por tanto, det (A²+I3) = det(2 · 13) = 2³- det (I) = 8.1 = 8. Como A² I3, entonces A² + 13 = Vamos a comenzar despejando la matriz incógnita de la ecuación matricial: A²X-BA+X = CD; A²X + X = CD + BA; sumamos BA en ambos miembros de la ecuación sacamos factor común X por la derecha. (A²+1)-¹. (A²+1) X = (A²+13)-¹. (CD+BA); multiplicamos por la inversa de A² + 13 a la izquierda (A²+13) X = CD + BA; I. X= (A²+13)-¹. (CD + BA); X = (A²+13)-¹. (CD + BA) el producto de una matriz y su inversa es I utilizamos que I. X = X Tenemos que adj (A²+I3) = Por tanto, (A²+13)-¹ ■ CD + BA = y D= (4 5 6). Determina, si existe, la matriz X que verifica que = 4 0 0 04 0 0 04 1 1 4.13 = . I3. 8 1 -2 (4 5 6) + 3 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. -1 0 0 0 0 -1 0 -1 0 = 213. = 4.13. -2 2 -1 1 01 -1 2-2 , B = -1 0 0 0 0 -1 0 0 -1 -2 2 -1 1 0 1 -1 2-2 = Pág. 57 4 Hallamos X. -8 12 -5 6 10 -12 -15 18 Por tanto, X= X = (A²+13)-¹. (CD + BA) 1 2 1 ) + (²²) ² -1 -1 1 2 -12-1 · 13 · 6 -4 4 -9 9 -12 13 -13 16 X < = }(C − B) · A = ■ 5.X.A+B=C 5X ACB (5X A) A¹ = (C-B). A-¹ 5X I (CB). A-¹ 5X = (CB). A-¹ ■ A³.X. Bt+C = D A³ X. Bt D-C 6 -9 13 ■X.A-3. Bt = -X X A+ X=3Bt X. (A + I) = 3Bt X. (A + I). (A + I)-¹ =3Bt. (A + I)-¹ X. I = 3Bt. (A + I)-¹ X = 3Bt. (A + I)-¹ -2 0 -2 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. 6 -9 -4 9 13 -13 -4 4 9 -12 -13 16 = -IN Ejemplo 50 Despejar la matriz X en las siguientes ecuaciones matriciales, teniendo en cuenta que todas las matrices inversa que se escriban existen y todas las operaciones de matrices e igualdades dadas tienen sentido: ■ 5.X.A + B = C 1 4 -12 16 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 6 -4 4 -9 9 -12 13 -13 16 ▪ X.A 3. Bt = -X sumamos -B en los dos miembros y simplificamos multiplicamos por A-1 a la derecha en ambos miembros usamos la propiedad asociativa y que A . A-¹ = I utilizamos que X. I = X multiplicamos por 1/5 en ambos miembros ■ A³.X.Bt + C = D sumamos 3Bt y X en ambos miembros y simplificamos sacamos factor común X a la izquierda multiplicamos por (A + I)-¹ a la derecha usamos que (A + I) · (A + I)¹ = I utilizamos que X. I = X sumamos -C y simplificamos (A³)-1. A³.X.Bt. (B¹)-¹ = (A³)-¹. (D-C). (B)-¹ mult. (A³)-1 a la izq. y (B¹)-¹ a la derecha I.X. I = (A³)-¹. (D-C). (B¹)-1 usamos que (A³)-1¹A=I y Bt. (Bt)-¹ = I X = (A³)-1. (DC). (B¹)-1 utilizamos que I.X=X.I=X 0 Pág. 58 Cuando despejamos la matriz incógnita, si hay algún paso en el que debemos multiplicar por una matriz inversa debemos saber si es cierto que existe esa matriz inversa y, por tanto, tiene sentido ese paso. Si escribimos la inversa de una matriz al despejar en una ecuación matricial, debemos fijarnos en primer lugar si la matriz es cuadrada y, si lo es, comprobar que el determinante es distinto de cero. En el siguiente ejemplo veremos que, si comenzamos de una forma acabaremos multiplicando por una matriz inversa que no existe, por lo que no podremos resolverlo como en el siguiente ejercicio. Ejemplo 51 Resolver la ecuación A. At. X = B, con A = A.At. X = B (A.At)-¹. (A.At).X = (A.A¹)-¹.B I.X= (A.At)-1.B X = (A.A¹)-¹.B Tenemos que (A. At)-¹ = Para que sea posible que A2x3 A3x2 = B2x2, X debe tener orden 2. Intentemos despejar X en A. At. X = B. Si comenzamos multiplicando por A-¹ a la izquierda tenemos A-¹. (A.At.X) = A-¹. B. Sin embargo, no podemos multiplicar por A-1, puesto que A no es cuadrada (tiene dimensión 2x3), por lo que no tiene inversa. No obstante, A. At, de orden 2, sí tiene inversa, por lo que podemos despejar X de la siguiente forma: (o Entonces, X= 3 x = ( 1₁1/₂2 ₁¹ ) 1 0 0 1/2 X = (A.A¹)-¹.B = 010 101 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. y B = y, si sustituimos y hacemos las operaciones: multiplicamos por (A.At)-1 a la izquierda en los dos miembros ya que (A. At)-¹. (A.At) = I pues I.X = X 3 -1 (12). 3 -1 3 -1 (11/2) (1 2¹ ) - ( 1₁³/₂2 1¹) 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. 0 A veces no podemos proceder como en el ejemplo anterior y no es posible despejar la matriz incógnita porque llegamos a que hay que multiplicar por la inversa de alguna matriz que no tiene inversa. En ese caso, podemos resolver la ecuación de la siguiente manera, en la que no aplicamos la inversa de matrices: 1. Averiguamos y razonamos la dimensión de la matriz incógnita. 2. Asignamos incógnitas (a, b, c,...) a los elementos de la matriz que queremos hallar, teniendo en cuenta su dimensión. 3. Expresamos la ecuación matricial escribiendo todos los elementos de todas las matrices. 4. Realizamos las operaciones con matrices, a izquierda y derecha del signo igual, hasta que nos quede una sola matriz en cada uno de los miembros de la ecuación. Pág. 59 5. Aplicamos la igualdad de matrices, por lo que igualamos elemento a elemento. 6. Resolvemos las ecuaciones resultantes, que suelen ser ecuaciones de primer grado con una incógnita o sistemas de ecuaciones. Comprobamos que se da la igualdad en todos los elementos. 7. Decimos cuál es la solución de la ecuación (si tiene), sustituyendo en la matriz incógnita los valores hallados en el paso anterior. Ejemplo 52 Resolver A. X. B = C, donde A = (1). (ª (!) B = Sustituimos a continuación todas las matrices en la ecuación matricial: a b 0 1 No podemos resolverlo despejando X, ya que A no es una matriz regular, pues es rectangular, por lo que al no tener inversa no podemos multiplicar por A-¹ a la izquierda. Por tanto, la matriz es X = (3 2 Veamos qué dimensión debe tener X. Para poder realizar la multiplicación A2x1 · X, tiene que tener A el mismo número de columnas que X de filas, por lo que X tiene 1 fila. Por lo mismo, para que sea posible X1x B2x2, como X debe tener el mismo número de columnas que B de filas, tendrá 2 columnas. Por ello, X tiene dimensión 1x2. La matriz resultante al hacer A2x1 X1x2 B2x2 debe tener el mismo número de filas que A y de columnas que B, es decir, de orden 2, tal como es C, luego todas las dimensiones cuadran. Puesto que X tiene dimensión 1×2 es de la forma X = (a b). TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. J) 2 > ) · ( √ ) = ( ²3 ) 0 . 10 00 b 2 (88) (i) = (²3) 1 b (83²) = (²3) 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. y C = Hacemos las operaciones de matrices anteriores, hasta que quede una matriz en cada miembro de la ecuación: 2 -3 0 0 Por igualdad de matrices, igualando elemento a elemento en la primera fila obtenemos b = 2 y -a = -3, es decir, a = 3 y b = 2. En la segunda fila, con los dos elementos que tenemos llegamos a 0 = 0, por lo que se da una igualdad que es cierta. El método anterior, en el que no usamos la inversa de matrices, también podríamos haberlo aplicado en los ejemplos anteriores en los que resolvíamos las ecuaciones despejando X. Pág. 60 Sistemas de ecuaciones con matrices. Vamos a resolver sistemas de ecuaciones matriciales de dos ecuaciones y dos incógnitas, que serán matrices que debemos calcular. Podemos resolver estos sistemas por los mismos métodos que empleábamos en cursos anteriores con ecua- ciones con números reales, pero teniendo en cuenta las propiedades de matrices vistas anteriormente. Podemos emplear los métodos de sustitución, igualación y reducción. Una vez resuelto el sistema, lógi- camente también es posible comprobar que la solución es correcta, sustituyendo en las dos ecuaciones la solución obtenida y verificando que se cumplen ambas. Ejemplo 53 [PEVAU,101 a)] Considera las matrices A = Despejamos X: Nos piden resolver el siguiente sistema de ecuaciones matriciales, que tiene dos ecuaciones y dos incógnitas. -1 X-Y = 2 1 E:88 2X Y = 1 0 (a) Calcula X e Y tales que X - Y = A¹ y 2X - Y = B (A¹ es la matriz traspuesta de A). X-2X = Por tanto, X= Usemos el método de reducción para resolverlo. Sumemos la primera ecuación, E₁, y el opuesto de la segunda ecuación, -E₂, de manera que Y se cancela y nos queda una ecuación de primer grado con X como incógnita: (21)-(3) -1 2 (3²), 1 2 x= (33) TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. y B-(17¹). 3 -1 - (²) Y-(³) -1 -1 -3 -2 e Y= = Ahora, para calcular Y podemos, por ejemplo, usar la primera ecuación, sustituir el valor de la matriz X obtenida anteriormente y despejar Y: X-Y = - ( 12 ) + ((G)--( 2 ) +- (²)-(29) -1 →Y= -1 -1 = 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. Pág. 61 Ejemplo 54 Hallar las matrices X e Y tales que 5X + 3Y = A y 3X + 2Y = B, sabiendo que 0 ^ - ( A y B = 5X + 2Y = Debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 3X + 2Y 2 -4 15 5X + 2Y = 3X + 2Y = 2 0 -4 15 1 -1 -2 9 Usemos el método de reducción. Comencemos, por ejemplo, calculando X. Para ello, podemos multiplicar la primera ecuación por -2 y la segunda por 3, de manera que al sumar ambas ecuaciones, y se cancela: (-12-3¹). 9 2 0 -4 15 1 -1 -2 9 Al sumar las dos ecuaciones obtenemos -X = Al sumar ambas da -Y = 5X + 3Y -2E1, 3E2 3X + 2Y = 1 5 -20 - (2-3³). Calculemos ahora Y. Para ello podemos usar de nuevo el método de reducción: 3E1, -5E2 (a) A27 X = B²+ Ct. D (b) A.B.X-C.X=Ct (c) A³ + X. B+C.X=3. Ct (d) 4.X A+3.1 = A² (e) (A + B.X) = Ct 1 8 = 2 0 -4 15 &B 1 -1 9 luego Y = -10X-6Y = 9X+6Y 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. = 15X + 9Y = Por tanto, la solución del sistema de ecuaciones es X = por lo que X = -15X - 10Y = -1 -5 - (23) -4 0 8 -30 3 -3 -6 27 3 = (-1/₂2³) y (f) A.B 5. (X-6.1) (g) A X-3. B. Ct B² (h) X A+ 3B Bt = A (i) A.B.X.C=D (j) 6XB-3A. X (k) C.B.X-2.A.X = At 6 0 -12 45 -5 5 10 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. yY= 1 3 -2 3 -45 Ejercicios 33. Despeja la matriz X en las siguientes ecuaciones matriciales, teniendo en cuenta que todas las matrices inversa que se escriben existen y todas las operaciones de matrices e igualdades dadas tienen sentido: -1 -5 ㅓㅎ) 2 0 1 (1) X. B. Bt= .A - 2. At 2 (m) X-A¹+2. B = 3Ct. D (n) 6A B-¹.X + 5B = C (ñ) A+X.A-X B-¹0 (0) (AB) X-A.X=I Pág. 62 Solución a) X = (A²7)-1. (B²+ Ct. D), b) X = (A-B-C)-¹. Ct, c) no se puede sacar factor común X, d) X=(A²-31). A-¹, e)X = B-¹. (8C¹-A), f) X=6I+=A.B, g) X=A−¹. (B² + 3B ⋅ Ct), h) X = (A-3B.Bt). A-¹, i) X=B-¹.A-¹.D.C-¹, j) X = (61+3A)-¹.B, k)X = (C-B-2A)-¹. At, -2A¹). (B. Bt)-1, m) X=(3Ct.D - 2B). A, n) X=-B.A-¹. (C-5B), 1) X = ( ½A-2A²).( ñ) X=-A (A-B-¹)-¹, o) X=-B-1 34. Resuelve la ecuación A X+C = 2B, donde A = Solución X = X = 3 0 Solución 2 -1 35. Resuelve la ecuación C = (B · A — I) · X, donde A = ( 2 1 −1 ), B = X = 36. Resuelve la ecuación Solución 5 (²) -4 3 ) =(₁ X = 3 -11/15 -4 -13/5 -22/5 -5 -(2 0-1/2 2 1/2 (7 1¹ ) + ( 7 ) · x = ( 10-1 -3 -2 -5 x = (²²5) -1 37. Resuelve la ecuación A-X-B = 2C, donde A = († ;). B= ( 2² ) y c= ( ²₁ 2). ₂² Solución 2 3 -2 - ( ² ). B- (³₁1) c-(13²7). = y C = -5 0 2 ) X <= ( ¹₁¹ ) -1 38. Resuelve la ecuación C (A + X) B = I, donde A = Solución 39. Resuelve la ecuación XA - A = I2, donde A = Solución 40. Resuelve la ecuación X. Solución 12 15 ( 12 17 16). 11 10 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 3 4 - ( ²³² ) , c - ( ²² ) y C 1 - (i 2). B- (1 ¦ ) y C-( ! ). = 34 12 ¦ (33) 2 13 - ( 12 )² + 4- ( 2 ) = ( 10 20)- +4 4 4 Pág. 63 =( X = 41. Resuelve la ecuación A X = B.X + C, donde A = Solución 1 = ( -¹2) X = 42. Resuelve la ecuación A B. X = Solución 4/5 -7/10 12/5 -31/10 x=(8/3) Solución X = 13 43. Resuelve la ecuación X B+A=B+ A², donde A = 1 1 Solución X = 44. Resuelve la ecuación X A² - B = X, donde A = X = Solución -1 0 0 -1 -1 0 -1 -1 -1 45. Resuelve la ecuación X B = B+ A, donde A = X = 1/3 0 7/3 7/6 1/2 7/6 0 0 0 X = 2 46. Resuelve la ecuación B X-A= 2X, donde A = Solución 3 Solución 2 donde A = 47. Resuelve la ecuación X-1. A + A = B, donde A = 0 -1 1 1 -1 0 0 10 -1 (=-2²). 1 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. 2 -1 1 -1 0 1 1 1 0 0 1 -1 -1 1 1 0 0 0 0 00 1 0 3 2 -1 0 1 0 -1 1 (¦ ¦ 0 0 0-1 B = 0 1 -3 = ( 7³ ₂ ) y c = ( 9₁ ). C y B = y B = y B = y B = = (37) y ₁ = ( 7²₂ }). B 0 2 3 1 y B = 1 2 -2 0 -1 1 1 00 2 10 3 2 2 0 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 0 1 -2 1 -1 3 -2 4 1 1 01 1 0 1 0 0 1 Pág. 64 48. Resuelve la ecuación 2X-B = A.X, donde A = Solución X = 49. Resuelve Solución =( X = 1 -1 -1 1 0 1 A = -4 50. Para C= 5 Solución (a) 2 -1 2X - 3Y = X-Y = Solución -5 16 a) X = ·( 1 0 3 2 5 -2 0 Y = 0 5 5 -4 9 0 15 -4 4 51. Halla X e Y que cumplan: (2³ 15 42 83 0 3 6 B = 10 yD = 2X + Y = ~EGR X-3Y = -1 0 1 -1/7 3/7 4/7 -1 3/7 1/7 :). ( 10 -4 -3 -2 3 -1 -4 0 0 -1 Y = -6 7 10 ) (917 2 3) -2 9/7 8/7 1 2 6 7 -5 2 1 0 1 (GA) 2 10 -1 3 1 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. 7.- Sistemas de ecuaciones lineales. 1/7 -2/7 Dado el sistema de m ecuaciones y n incógnitas: y B = (b) 1 -3 4 halla A y B que verifiquen 3A-2B = Cy2A+B = D. -2 3 -3 Notación matricial de un sistema de ecuaciones matriciales. . TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 3 2X + Y = (*:88 1 X + 2Y = 1 0-2 0 6277). b)X = ( 2/3 2003). Y = (1/370/3 -8/3 -4/3 Comencemos viendo cómo podemos expresar sistemas de ecuaciones usando matrices. -2 4 Pág. 65 A' = se le pueden asociar las matrices A = a11 a12 a21 a22 aml am2 incógnitas y B = b₁ b₂ bm b₁ b2 am1x1 + am2x2 + am3x3 +...+ amnxn = bm Tenemos que A = ain a2n amn a11x1 + a12x2 + a13x3 +...+ anxn a21x1 + a22x2 + a23x3 +...+ a2nxn = b₁ b2 la matriz ampliada, X = bm a11 a21 Ejemplo 55 Resolver el sistema 1 -1 -1 -1 0 3 -2 5 -3 a12 a22 aml am2 X y Z la matriz de los términos independientes. ain a2n amn llamada matriz ampliada, X = Se cumple que A. X = B. Si la matriz de los coeficientes, A, es regular, podemos despejar la matriz X multiplicando por A-1 a la izquierda en los dos miembros, de manera que obtenemos X = A-¹. B Por tanto, es posible resolver un sistema de ecuaciones lineales conociendo la matriz inversa de la matriz de los coeficientes y la matriz de los términos independientes. Como sabemos, también podemos resolver los sistemas de ecuaciones usando el método de Gauss. Para ello, podemos operar directamente con las ecuaciones o bien con las filas de la matriz ampliada del sistema. -Z = +3z -2x +5y -3z X -X ■ usando la matriz inversa de la matriz de los coeficientes. -y 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. la de las incógnitas y B = que es la matriz de los coeficientes, ■ con el método de Gauss, operando directamente con las ecuaciones. ■ con el método de Gauss, usando las filas de la matriz ampliada. es la matriz de los coeficientes, A' = = -52 Podemos expresar el sistema en forma matricial como 1 X1 Xn 18 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 1 18 de las siguientes formas: 2) -52 la matriz de las -1 ■ Resolución del sistema usando la matriz inversa de la matriz de los coeficientes. 1 - -1 0 3 -2 5 -3 1 18 -52 la de los términos independientes. 1 -1 -1 X --- (G)-0)-(G) 3 y = 18 -2 5 -3 1 -52 Pág. 66 es decir, A X = B. Despejemos X. Si A tiene inversa, multiplicando por A-¹ a la izquierda en los dos miembros de la ecuación, A-¹.A.X = A-¹. B, y, como A-¹A = I e I-X = X, tenemos que X = A-¹. B. Calculamos la inversa de A y obtenemos A-¹ = Aplicando X = A-¹. B, tenemos: X (:). -5 y = -y -Z = +3z -2x +5y -3z = X -X 15 8 3 9 52 31 1 18 -52 es decir, x = 3 y = z=7 ■ Resolución del sistema usando el método de Gauss, operando directamente con las ecuaciones. 1 -1 -1 1 -1 0 3 18 -2 5 -3 -52 X E3+5E1 3x 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. -y 15 8 3 9 5 2 5 3 1 1 ·(₁¹)-(. 18 -52 F3+5F1 X -y -Z = +3z -8z -X 3x -Z Z -8z = 1 -1 -1 0 1 0 3 0 -8 1 7 -47 De la segunda ecuación obtenemos directamente z = 7. Sustituyéndolo en la tercera ecuación tene- mos que x = 3. Usando la primera ecuación y sustituyendo los valores de x y z hallamos y = -5 ■ Resolución del sistema usando el método de Gauss, usando las filas de la matriz ampliada. 3 -5 7 Vamos a dar los mismos pasos que en la forma anterior, pero usando la matriz ampliada en lugar de escribir las ecuaciones. 1 -1 3 -1 -1 0 3 0 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 1 7 -47 -8 1 18 -47 1 18 -47 3E2+E3 3F2+F3 La primera fila representa la ecuación x-y-z = 1, la segunda, z = 7 y la tercera, 3x - 8z = -47. Procediendo como en el método anterior obtenemos x = 3, y = -5 z=7 Usar la notación matricial para resolver un sistema de ecuaciones lineales tiene la ventaja de no tener que escribir de forma reiterada las incógnitas. Pág. 67 Problemas de sistemas de ecuaciones.. Veamos algunos ejercicios de resolución de problemas de sistemas de ecuaciones que han sido preguntados años anteriores en PEVAU. Ejemplo 56 [PEVAU,7] En una empresa se fabrican tres tipos de productos plásticos: botellas, garrafas y bidones. Se utiliza como materia prima 10 kg de polietileno cada hora. Se sabe que para fabricar cada botella se necesitan 50 gramos, para cada garrafa 100 gramos y 1 kg para cada bidón. El gerente también nos dice que se debe producir el doble de botellas que de garrafas. Por último, se sabe que por motivos de capacidad de trabajo, en las máquinas se producen en total 52 productos cada hora. ¿Cuántas botellas, garrafas y bidones se producen cada hora? En primer lugar, definimos las variables del problema: x = "número de botellas que se fabrican por hora" y = "número de garrafas que se fabrican por hora" z = "número de bidones que se fabrican por hora" ■ Como el problema nos dice que para fabricar cada botella se necesitan 50 gramos, para cada garrafa 100 gramos y 1 kg para cada bidón y se dispone de un total de 10 kg de polietileno cada hora, podemos escribir 50x+100y + 1000z 10000, es decir, x + 2y + 20z = 200. ■ Puesto que se debe producir el doble de botellas que de garrafas, debe cumplirse x = 2y. ▪ Ya que se producen un total de 52 productos cada hora, x + y + z = 52. Es decir, debemos resolver el sistema de ecuaciones: Resolvemos el sistema usando el método de Gauss. 1 2 20 1 -2 0 1 1 1 -88 x +2y +20z x - 2y X +y 200 0 52 F3-F1 1 28 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. 208 200 0 +z = 52 1 2 1 -2 19 18 20 200 0 840 840 19 18 0 200 De la segunda fila de la matriz obtenemos 28x = 840, luego x = 30. Observando la tercera fila sabemos que 19x + 18y = 840, es decir, y De la primera fila obtenemos x + 2y + 20z = 200, por lo que z = TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 200 0 840 9F2+F3 840-19.30 18 200302.15 20 = 7. 15. Pág. 68 Por tanto, se producen cada hora 30 botellas 15 garrafas y 7 bidones Ejemplo 57 [PEVAU,9] En una cafetería, tres cafés, una tostada y dos zumos de naranja cuestan 7.50 €. Cuatro cafés, una tostada y un zumo de naranja cuestan 7.20 €. (a) Calcula, de forma razonada, el precio total de dos cafés, una tostada y tres zumos de naranja. (b) ¿El precio de un zumo de naranja podría ser de 2 €? Razona la respuesta. En primer lugar, definimos las variables del problema: x = "precio de un café" y = "precio de una tostada" z = "precio de un zumo de naranja" ■ Como tres cafés, una tostada y dos zumos de naranja cuestan 7.50 €, 3x + y + 2z = 7.5. ■ Puesto que cuatro cafés, una tostada y un zumo de naranja cuestan 7.20 €, 4x+y+z= 7.2. Es decir, sabemos que: = 7.5 3x +y +2z 4x +y +z = 7.2 (a) Como debemos calcular el precio total de dos cafés, una tostada y tres zumos de naranja, tenemos que saber el valor de 2x + y + 3z. Luego el precio pedido es de 7.8 € Si en el sistema de ecuaciones planteado realizamos la operación 2E₁-E₂ obtenemos 2x+y+3z = 7.8. (b) Nos preguntan si es posible que z = 2. Resolvemos el sistema de ecuaciones de dos ecuaciones y tres incógnitas planteado para z = 2, es decir: 3x +y +4 = 7.5 4x +y +2 = 7.2 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. ; 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. 3x +y 4x +y = = 3.5 5.2 Haciendo E₁ E₂ llegamos a x = -1.7, luego x = 1.7. Calculamos el valor de y sustituyendo el que hemos obtenido de x y tenemos que y = 3.5-3-1.7 -1.6. Hemos obtenido un valor negativo de y, pero no tiene sentido, ya que y es el precio de una tostada. Entonces no tiene sentido que el precio de un zumo de naranja sea de 2 € en este contexto. ☐ Pág. 69 Ejemplo 58 [PEVAU,12] Una empresa de mensajería opera en tres rutas distintas A, B y C. Semanalmente hace un total de 70 viajes, y el número de viajes por la ruta B es igual a la suma de los viajes por las rutas A y C. (a) Si sabemos que el doble de la suma de los viajes por las rutas A y C es 70, ¿podemos deducir el número de viajes por cada ruta? Razona la respuesta. (b) Si el doble de viajes por la ruta C es igual al número de viajes por la ruta B menos 5, ¿cuántos viajes hace por cada ruta? En primer lugar, definimos las variables del problema: x = "número de viajes semanales realizados por la ruta A" y = "número de viajes semanales realizados por la ruta B" z = "número de viajes semanales realizados por la ruta C" ■ Como el problema nos dice que semanalmente se realizan 70 viajes, x+y+z = 70. ■ Puesto que el número de viajes realizados a la semana por la ruta B es igual a la suma de los realizados por las rutas A y C, y = x+z, esto es, x-y +z = 0. (a) En el caso en el que el doble de la suma de los viajes que se hacen por las rutas A y C es 70 sabemos que 2. (x+2) = 70, es decir, x+z = 35. Nos piden conocer si con los datos que tenemos es posible deducir el número de viajes que se realizan en cada ruta. Para ello, debemos hallar la solución del sistema de ecuaciones lineales: Usemos el método de Gauss para resolverlo. 1 1 -1 1 1 0 1 70 0 35 x +y +z x -y +z X +z De x + z = 35 obtenemos x = 35 - A. F₂+F1 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 70 0 = 35 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. 1 1 1 202 1 10 1 1 1 70 202 70 000 0 70 70 35 Se trata de un sistema compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. 2F3-F2 Hemos llegado a x+y+z=70 y 2x + 2z = 70, es decir, x + z = 35. Llamamos y = λ, con λ = R. De x + y + z = 70 sabemos que 35-A+y+A=70, de donde deducimos y = 35. Pág. 70 Las infinitas soluciones del sistema son las ternas de la forma (35-A, 35, A), con λ E R. Sabemos que el número de viajes realizados por la ruta B es 35 y que la suma de los viajes de la ruta A y C es también de 35 (b) Si el doble de viajes por la ruta C sea igual al número de viajes por la ruta B menos 5, es 2z = y-5. Esto es, y - 2z = 5. Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales, usando el método de Gauss: 1 70 0 5 Teorema de Rouché-Fröbenius. x +y x -y y F₂-F1 70 +z +z = 0 -2z 5 1 1 1 -4 00 01 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. 1 1 1 0 -2 0 0 1 -2 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 70 -60 5 Se trata de un sistema compatible determinado, tiene solución única. 70 -70 5 De 4z = -60 obtenemos z = 15. De y - 2z = 5 llegamos a y = 5+ 2z = 5+ 2.15 = 35. De x+y+z= 70 deducimos que x = 70-y-z = 70-35-15 = 20. Por tanto, el número semanal de viajes realizados es 20 por la ruta A, 35 por la ruta By 15 por la ruta C F2+2F3 Vamos a discutir sistemas de ecuaciones dependientes de uno o más parámetros, es decir, identificaremos para qué valores de los parámetros los sistemas son compatibles o incompatibles, distinguiendo también los casos en que son compatibles determinados o indeterminados. La discusión de sistemas por el método de Gauss puede complicarse si aparecen parámetros que se han de ir arrastrando al operar entre las ecuaciones. El teorema de Rouché-Fröbenius, que veremos a conti- nuación, aprovecha el concepto de rango de una matriz para discutir sistemas de un modo más práctico. Su fundamento es el siguiente: si el sistema tiene solución, la columna de los términos independientes se puede poner como combinación lineal de las columnas de la matriz de los coeficientes, luego la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada deben tener el mismo rango. Pág. 71 Teorema de Rouché-Fröbenius. La condición necesaria y suficiente para que el sistema de ecuaciones lineales: a11x1 + a12x2 + a13x3 +...+ ainxn b₁ a21x1 + a22x2 + a23x3 +...+ a2nxn = b₂ Demostración. am1x1 + am2x2 + am3x3 +...+ amnxn = bm tenga solución es que la matriz de los coeficientes, A, y la matriz ampliada, A', tengan el mismo rango. Es decir: rang (A) = rang (A') sistema compatible rang (A) #rang (A') ⇒ sistema incompatible Probemos el teorema anterior. Veamos que rang(A) = rang(A') ⇒ sistema compatible. Podemos poner el sistema como una relación lineal entre los vectores columna: a11 (O)- x₁ + aml a12 a22 am2 = x₂ +...+ aln a2n amn Discusión de sistemas de ecuaciones. . TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. Xn = 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. b₁ b₂ bm Si el sistema tiene solución, existen unos números X1, X2, X3,... Xn que permiten poner la columna de los términos independientes como combinación lineal de las columnas de la matriz A. Por tanto, al añadir la columna (bi) a la matriz A, esta no aumenta su rango. Es decir, si el sistema tiene solución, entonces: rang (A) = rang (A'). El argumento recíproco es similar. Si rang (A) = rang (A') es porque la columna (bi) es combinación lineal de las restantes y, por tanto, existen unos números X1, X2, X3,... Xn que multiplicados por las columnas (ait), (ai2), (ai3),..., (ain) dan como resultado el vector (bi). De modo que esos números X1, X2, X3,... Xn son solución del sistema. Ahora debemos saber si un sistema en el que el rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada coinciden es compatible determinado o indeterminado. Tendremos lo siguiente. 0 ■ Si el rango de la matriz de los coeficientes, r, coincide con el número de incógnitas, n, el sistema es compatible determinado. ■ Si el rango de la matriz de los coeficientes es menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado con nr grados de libertad. Pág. 72 A continuación, resumimos lo anterior. Dado un sistema de ecuaciones en el que r es el rango de la matriz de los coeficientes, A, y el de la matriz ampliada, A', y n el número de incógnitas del sistema, puede ser: ■ Incompatible: rang(A) #rang (A') ■ Compatible: rang(A) = rang(A') • Determinado: r = n • Indeterminado: con n-r grados de libertad, r<n Ejemplo 59 [PEVAU,6] Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: +2y -Z = 1 -4y +2z 0 +3my mx 5x Como X = m 2 -1 5 -4 2 1 3m 0 m 2 -1 5 -4 2 (a) Consideremos A = y A' = 1 3m 0 coeficientes y la matriz ampliada del sistema de ecuaciones. = = -20, es rang (A) > 2. m+ (a) Discute el sistema según los valores de m. (b) Resuelve el sistema para m = 0. ¿Hay alguna solución en la que x = 0? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta. 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 2 5 Aplicaremos el teorema de Rouché-Fröbenius, por lo que calcularemos el rango de A y A'. 5 2 10 1 0 m + 2/5 0 2 1 -4 0 = 0+0+0-(-4+0+4)=0 1 0 2/5 la matriz de los Calculamos el determinante de A para saber para qué valores de m ER se anula dicho determinante. |A| = 0+4-15m - (4 +6m² + 0) = 4-15m - 4 - 6m² = −6m² – 15m |A|-0-6m² – 15m = 0 ⇒ −3m · (2m+5)=0 m = 0, m = -5/2 ■ Sim0ym #-5/2, es rang(A) = rang(A') = 3 (número de incógnitas del sistema), y entonces por el teorema de Rouché-Fröbenius el sistema es compatible determinado, tiene solución única. ▪ Si m = 0, es rang (A) = 2. Veamos rang(A'). Como rang (A) = rang(A') = 2 < 3 (número de incógnitas del sistema), por el teorema de Rouché-Fröbenius si m = 0 el sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones que dependen de un solo parámetro. Pág. 73 ▪ Si m = -5/2, es rang(A) = 2. Veamos rang(A'). -5/2-1 5 2 1 0 1 0 -21/10 0 2 -1 5 1 -4 0 De 5x 2 obtenemos x = 2/5. Entonces rang(A') = 3. Como rang (A) #rang(A'), por el teorema de Rouché-Fröbenius si m = -5/2 el sistema es incompatible, no tiene solución. 1 0 2/5 21 10 (b) Por el apartado anterior sabemos que si m = 0 el sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. Usamos el método de Gauss. → +0+0 (2+0+ F2+2F1 - (2+0+2²1) 02 -1 50 0 00 0 Llamamos z = A, con λ E R y de 2y -z = 1 tenemos que y = 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. 02 -1 50 0 1 0 0 1 2 0 Las infinitas soluciones del sistema son las ternas de la forma Ejemplo 60 [PEVAU,10] Considera el sistema de ecuaciones: X +y +2z 3x -y -2z -x +2y +mz 1 1 2 (a) Consideremos A = 3 -1 -2 y A' = -1 2 m tes y la matriz ampliada del sistema de ecuaciones. 1 2 2/5 1 + A 2 2 1+A 5' 2 No puede existir una solución en la que x = 0 porque por lo anterior es x = 2/5. 1 1 3 -1 -2 -1 2 m TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. = -20 0 0 = 0 2 0 0 0 > (a) Calcula m para que el sistema tenga infinitas soluciones y hállalas. (b) Para m = 2, ¿existe alguna solución tal que z = 1? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta. 5F3-F2 con AER la matriz de los coeficien- Aplicaremos el teorema de Rouché-Fröbenius para saber para qué valores de m el sistema tie- ne infinitas soluciones. Tendremos que calcular entonces el rango de A y A' y buscamos que Pág. 74 rang (A) = rang (A') < 3 (número de incógnitas del sistema). 1 1 3-1 Calculamos el determinante de A para saber para qué valores de m ER se anula dicho determinante. Como =-40, es rang(A) > 2. |A| = -m+2+12-(2-4+3m) = −m +14+2-3m-4m + 16 |A|-0-4m +16=0 m = 4 ▪ Si m 4, con m € R, es rang(A) = rang(A') = 3 (número de incógnitas del sistema), y entonces por el teorema de Rouché-Fröbenius el sistema es compatible determinado, tiene solución única. ▪ Si m = 4, es rang (A) = 2. Veamos rang(A'). 1 1 2 3 -1 -2 -1 2 El sistema de ecuaciones es homogéneo (la matriz de los términos independientes es nula), por lo que ya sabíamos que rang(A') <3. → Como rang (A) = rang (A') = 2 < 3 (número de incógnitas del sistema), por el teorema de Rouché-Fröbenius si m = 4 el sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones que dependen de un solo parámetro. Vamos a hallar las infinitas soluciones del sistema, como nos piden. 0 0 0 4 112 0 400 0 500 0 De 4x = 0 obtenemos x = 0. 1 3 -1 1 0 -1 0 =0 2 0 F3+2F2 1 1 2 3 -1 -2 -1 2 2 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. 4F3-5F2 Como x + y + 2z = 0 si llamamos z = A con A E R tenemos que y = -21. 0 0 0 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 1 1 2 3 -1 -2 5 0 0 112 0 400 0 0 000 Las infinitas soluciones del sistema de ecuaciones son las ternas de la forma (0, -2^, ^) con AER 0 0 0 (b) Por el apartado anterior sabemos que si m = 2 el sistema es compatible determinado, tiene una única solución. Usemos el método de Gauss. F2+F1 F3-F1 1 1 2 4 0 0 -2 1 0 F2+F3 0 0 0 Pág. 75 De 4x = 0 obtenemos x = 0. De-2x+y = 0 llegamos a y = 0. De x+y+2z = 0 sabemos que z = 0. En el caso m = 2 hemos obtenido la solución trivial, es decir, x = 0, y = 0, z = 0.Por tanto, no existe una solución en la que z = 1, ya que es z = 0. Ejemplo 61 [PEVAU,18] Considera A = Como 1 1 1 101 4 1 4 (a) Consideremos A' = la matriz ampliada del sistema de ecuaciones, respectivamente. B = = -10, es rang (A) > 2. (a) Discute el sistema dado por AX = B, según los valores de a. (b) Para a = 0, resuelve el sistema dado por AX = B. Calcula, si es posible, una solución en la que y + z = 4. a 2a 3a 1 1 1 a 10 1 2a Tenemos que A y A' son la matriz de los coeficientes y 41 4 3a Calculemos el rango de la matriz ampliada, A'. TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. y X = Aplicaremos el teorema de Rouché-Fröbenius, por lo que calcularemos el rango de A y A'. 1 1 |||| 10 El determinante anterior se anula si a = 0. X y Z Como la primera y la tercerca columna de A son iguales, por las propiedades de los determinantes es |A| = 0. Por tanto, sabemos que rang(A) = 2. 11 a 1 0 2a = 0+8a+a-(0+2a+3a) = 9a - 5a = 4a 4 1 3a 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. ■ Si a 0 con a € R, es rang(A) = 2 y rang (A') = 3, luego rang (A) # rang(A') y entonces por el teorema de Rouché-Fröbenius el sistema es incompatible, no tiene solución. ■ Si a = 0 es rang(A) = rang(A') = 2 < 3 (número de incógnitas del sistema), y por el teorema de Rouché-Fröbenius el sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones que dependen de un solo parámetro. (b) Por el apartado anterior sabemos que si a = 0 el sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. Usamos el método de Gauss. Pág. 76 De -y = 0 obtenemos y = 0. 1 1 1 101 4 1 4 (a) Tenemos que C - B = Llamamos z = X, con λ ER, y de x+y+z=0 tenemos que x = -^. Ejemplo 62 [PEVAU,17 a)] Considera A = Consideremos A' = 0 0 0 Como 2 -2 Las infinitas soluciones del sistema son las ternas de la forma (-A, 0, A), con λ ER 1 Veamos si existe una solución en la que y + z = 4. Para ello debe cumplirse que 0 + λ = 4, es decir, A = 4. Entonces la solución que nos piden es x = -4 y=0 |y|z=4 F2-F1 F3-4F1 m 1 Co 0 0 m-1 -1 m 1 1 0 -1 0 0 0 0 0 |A| = 0 -2m² +9m+5 = 0 m = ( 1 0 -1 0 0-30 = 80, es rang (A) > 2. 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. 1 (a) Determina los valores de m para los que la ecuación AX + B = C tiene solución única. m -2 2 -2 0 0 0 m-1 0 4 ( 2 -3 04 cientes y la matriz ampliada del sistema de ecuaciones AX = C-B, respectivamente. TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. F3-3F2 -1 m 5 2 -3 B = -1 2 -9√√√81-4. V -4 Aplicaremos el teorema de Rouché-Fröbenius, por lo que calcularemos el rango de A y A'. 2 -3 0 4 Calculamos el determinante de A para saber para qué valores de m ER se anula dicho determinante. |A| = 8+3. (m-1) +0- (2m (m-1) +0-4m) = 5 +3m-2m² + 6m = -2m² +9m +5 | y C = Tenemos que A y A' son la matriz de los coefi- -2).5 -9±11 -4 3 (1) m=-1/2, m = 5 Si m-1/2 y m #5, es rang (A) rang(A') = 3 y entonces por el teorema de Rouché- Fröbenius el sistema es compatible determinado, tiene solución única. Pág. 77 Ejemplo 63 [PEVAU,19] Siendo A un número real, considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas: X +λy 2x+4y λα +y Discútelo según los valores de A y resuélvelo cuando sea posible. Consideremos A = 1 ) 1 λ 24 y A' = λ 1 del sistema de ecuaciones, respectivamente. 1 A 2 24 1 la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada λ1 2λ 2 1 21 Aplicaremos el teorema de Rouché-Fröbenius, por lo que calcularemos el rango de A y A'. Puesto que A tiene dos columnas sabemos que rang(A) < 3. TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. Calculamos el determinante de la matriz ampliada, A', para saber para qué valores de A E R se anula dicho determinante. |A| = 8^+^² + 4 − (8λ +1 +4^²) = −3^² + 3 |A| = 0-3^²+3=0^²=1^=-1, λ=1 Resolvemos el sistema: ▪ Si A-1 y A1, es rang(A') = 3 y rang(A) < 3, entonces puesto que rang(A) ‡ rang(A'), por el teorema de Rouché-Fröbenius el sistema es incompatible, no tiene solución. ▪ Si λ = -1, veamos los rangos de A y A', sabiendo que rang (A) < 3 y rang (A') < 3. 1 -1 2 31 = 60, es rang(A) = rang(A') = 2 (número de incógnitas), por lo que para 4 Como A = -1 debido al teorema de Rouché-Fröbenius el sistema es compatible determinado, tiene so- lución única. 2 X -y 2x+4y = 1 -X +y -2 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. Como E₁-E3 debemos resolver el sistema de ecuaciones: X -y = 2 2x +4y = 1 Usemos, por el ejemplo, el método de sustitución. Sustituimos x = 2 + y en la segunda ecuación: Pág. 78 2. (2+ y) + 4y = 14+2y + 4y = 16y=-3y = -1/2 Luego x = 2- 1 3 = 2 2 La solución del sistema es x=3/2, y = -1/2 ▪ Si λ = 1, veamos los rangos de A y A', sabiendo que rang(A) < 3 y rang(A') < 3. 1 1 Como = 20, es rang(A) = rang(A') = 2 (número de incógnitas), por lo que para 24 A = 1 debido al teorema de Rouché-Fröbenius el sistema es compatible determinado, tiene solu- ción única. Resolvemos el sistema: Como E₁ E3 debemos resolver el sistema de ecuaciones: { 2x Luego x = 2 - 2-y= X +y 2x +4y X ty 1-4y 2 = Usemos, por el ejemplo, el método de igualación. Tenemos que x = 2-yyx= +y 2x+4y 7 2 La solución del sistema es x = 7/2, y = 3/2 2 1 2 TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. 2 = 1 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. 4-2y = 1-4y2y=-3y=-3/2 Ejemplo 64 [PEVAU,20] Considera el sistema de ecuaciones: ax +y +z = 1 X +ay +z = a X +y +az a² (a) Discútelo según los valores de a. (b) Resuelve, si es posible, el sistema para a = 1 y a = -2. 1-4y 2 0 Pág. 79 a 1 1 (a) Consideremos A = GAD 1 1 a matriz ampliada del sistema de ecuaciones. 1 a 1 y A' = Resolvemos la ecuación a² + a- 2 = 0. Aplicaremos el teorema de Rouché-Fröbenius para discutir el sistema, por lo que calcularemos el rango de A y A'. Como Calculamos el determinante de A para saber para qué valores de a ER se anula dicho determinante. ³+1+1-(a +a+a)= a³-3a+2 |A| = a³- Resolvemos la ecuación a³-3a+2=0 para saber para qué valores de a € R el determinante de la matriz se anula y, por tanto, su rango es inferior a 3. Sabemos que a = 1 es solución de la ecuación, pues 13-3.1+2=0. Usamos el método de Ruffini. Como a 1 -2 1 1 a 1 1 1 a 1 1 1 a 1 1 0 -3 2 1 1 -2 1 1 -2 0 -11-4-1. (-2) 2.1 1 a a² Obtenemos a = -2 y a = 1. Las soluciones de la ecuación a³ - 3a+2=0 son entonces a = -2 y a = 1. Para esos valores de a es |A| = 0, por lo que rang(A) < 3. ■ Sia -2 ya #1, es rang(A) = rang(A') = 3 (número de incógnitas del sistema), y entonces por el teorema de Rouché-Fröbenius el sistema es compatible determinado, tiene solución única. ▪ Si a = -2 sabemos que rang (A) < 3. Veamos rang (A) y rang(A'). = 30, es rang (A) = 2. TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. la matriz de los coeficientes y la 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. -1±3 2 -2 1 1 1 -2 -2 = 16-2+1-(-2+4+4)= 90 es rang (A') = 3. 1 1 4 1 **--L-^-(D**-(D ■ Si a = 1, es A = 1 1 1 y A' = 1 1 1 1 1 11 Como rang (A) #rang (A') por el teorema de Rouché-Fröbenius si a = 2 el sistema es incompatible, no tiene solución. Tenemos que rang(A) = rang(A') = 1 y por el teorema de Rouché-Fröbenius si sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. el Pág. 80 (b) ■ Por el apartado anterior sabemos que para a = -2 el sistema es incompatible, por lo que no tiene solución. TEMA 7. MATRICES Y DETERMINANTES. ■ También vimos que para a = 1 se cumple rang(A) rang (A') = 1, el sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad. Vamos a calcular las infinitas soluciones que tiene el sistema en este caso. El sistema de ecuaciones es: 1 1 +y +z = 1 2º BACH. CC. IES VIRGEN DEL CARMEN. X +y +z x +y +z x Llamamos y = xyz = μ, con A, μ E R. Entonces, x = 1 -λ-μ. Las infinitas soluciones del sistema son las ternas de la forma (1-A – µ, λ, µ), con λ, μER 0 Pág. 81