Transcripción alternativa:

+∞0 = +∞0 X Como coinciden los límites laterales existe lim f(x) 4. Halla, si existen, el límite de siguiente función en x = -2 y en x = 2: 3x5 si x < -2 f(x) = 3x²-1 si-2 ≤x≤2 3x² 3x + 5 si x > 2 Como NO coinciden los límites laterales no existe lim f(x) x-2 lim 3x²-1 =3.2² - 1 = 11 Indeterminaciones Como coinciden los límites laterales existe lim f (x) 5. Calcula los siguientes límites: 3x²–5x+2 a. lim x→∞0 4x²+3x-1 1+x³ b. lim x--∞ x²-1 C. d. lim e. f. lim 3x² 3x +5= 3·2²-3·2+5 = 11 X+2+ i. x³+x²+2 lim x→∞0 4x²-3x+7 x-∞ 1-x x+3 lim x--∞x²+4 = 2x-2 g. lim = x-1x²-1 x²-16 h. lim X-4 X-4 lim_3x - 5=-6-5=-11 lim 3x²1 = 3 (-2)² - 1 = 11 x-2+ x+3 lim x--39-x² j. lim 5x³-2x+4 lim X→-∞ 7-2x³ = I. lim = x-3 x-3x²-4x+3 = = x³-3x+2 k. lim. x-1x¹-2x²+1 x²-3x-10 x-5x2-8x+15 = = () = 0 = HOJA DE PROBLEMAS 7: Límites y continuidad Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales = =10 = +∞0 = 0 () == // = lim 2(x-1) x-1(x-1)(x+1) = lim x→4 (x-4)(x+4) x-4 = lim 2 = lim = 1 x-1 (x+1) x+3 x--3-(x-3)(x+3) = lim x + 4 = 8 x-4 x-3 = lim x 3 (x-3)(x-1) 2 = = lim (x-1)²(x+2) x-1(x-1)²(x+1)² (x-5)(x+2) : lim x-5 (x-5) (x-3) 1 1 = lim x--3-(x-3) 6 = = lim x-3 (x-1) 1/1/213 = (x+2) 3 = lim x-1(x+1)² 4 (x+2) lim x-5 (x-3) = 2 m. lim (√x² + x - √√x² − x) = (∞ − ∞) = lim x →∞0 x →∞0 n. o. lim x-0 r. x²+x-(x²-x) lim x→∞ √x²+x+√x²-x S. lim x→∞0 (√x²+x+x) x-3 p. lim x+3√x-√3 2√3 u. q. lim V. lim (√x² + x - x) = (∞-∞) = lim x →∞0 X→∞ 4-√10+x x-62-√10-x lim x→6 lim x→6 √4+x-√4-x 4x 4+xX-4+x lim x 0 4x(√4+x+√4-x) = lim x →∞0 lim x →∞ t. lim = lim x →∞0 √x+1-√x-1 lim x→∞ √x+2-√√x-2 = lim x →∞ = = ²/2 x²+x-x²+x = lim x+∞ √√x²+x+√√x²-x (4-√10+x)(2+√10-x) 4-10+x (6-x)(2+√10-x) lim = lim x+6 (x-6)(4+√10+x) x→6 (4-√10+x)(4+√10+x)(2+√10-x) (x-6)(4+√10+x) () = lim x→0 lim-1 x-00 √x²-1 HOJA DE PROBLEMAS 7: Límites y continuidad Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales lim +x-x=(∞0-∞) = lim x→∞0⁰ V X→∞0 √x+1+√x-1 2√x = 1 (x-3)(√x+√3) = lim x-3 (√x-√3)(√x+√3) 0 1/√√x x→∞ √√x+1-√x-1 ∞0-00, = = lim x→6 (√x+1-√√x-1)(√x+2+√x-2) x+2-(x-2) (4-√10+x)(2+√10-x) = lim = lim x+6 (2-√10-x)(2+√10-x) x→6 (x+1-(x-1))(√x+2+√x-2) 4(√x+1+√x-1) 2x 2 = lim = = lim x 0 4x(√4+x+√4-x) x 0 4(√4+x+√4-x) 16 8 √4+x-√√4-x)√4+x+√4-x 4x(√4+x+√4-x) =() = lim = 1 (2+√10-x) (4+√10+x) (x+√x-x) lim = lim • (√x + √x + √x) X→∞0 x →∞0 1 √x+1+√x-1 lim x→∞ √x (√x+1-√x-1)√x+1+√x-1 2x = lim x→∞ √x²+x+√x²-x (√x+1-√x-1)(√x+1+√x−1)(√x+2+√x-2) 4(√x+1-√x-1) (4-√10+x)(2+√10-x) x-6 = lim x →∞ (√x²+x-x)(√x²+x+x) (√x²+x+x) = lim X-3 = lim (√x²+x-√x²-x)√√x²+x+√x²-x √x²+x+√x²-x == (√x+1-√x-1)(√x+2+√x-2) x→∞0 (√x+2-√x-2)(√x+2+√x-2) 3 4 8 lim √√x + √x - √√x = (∞-∞) = lim x →∞0 x →∞0 (x-3)(√x+√3) x-3 (16-(10-x))(2+√10-x) = lim x→6 (x-6)(4+√10+x) 2(√x+2+√x-2) x+004(√x+1+√x-1) 1 1 = lim x→∞ √x √√x+1-√√x-1 √x • ( √x + √x + √x) = ²/ = lim ( √ ² +x-x) ( √ + + x + x) +x+x = 4+x-(4-x) x-0 4x(√4+x+√4-x) = = 1 (4-√10+x)(2+√10-x) 2-(10-x) = ²/= = lim x²+x-x² x→∞0 (√x²+x+x) = 2 = lim √√x + √√3 = x→3 = lim 1 √x+1+√x-1 = lim x-∞ √x (x+1-(x-1)) x→∞ √x = lim x-00 ¹+x-x² 1 √√x+1+√x-1 2 (√x+√x-√x) (√x+√x+√x) (√x+√x + √x) =18 = w. lim X. 4x +5* X→∞0 3x+6* Z. lim x →∞0 lim ex-00x+1)= e-² lim lim ! ( ² + 3₂) ² = x →∞0 aa. lim ∞0+x lim ex-00 cc. lim x →∞ y. lim (1-¹)* = (1°) = e lim ×(¹-¹) = e lim x(-3) = µlim (-4) – e−¹ x →∞ bb. lim (x-2) x→∞0 x+4, = e-3 x²+1) ex-00 = (1°) = ex x+2 lim 1 (x+2) (+54) = lim x →∞0 x²+4) x²- x² (²x²-3)(2-₁) lim (4x². g * = (1°) = elim x(x+3−1¹) — lim x(*-*-³) – lim x(3) _ = HOJA DE PROBLEMAS 7: Límites y continuidad Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales 57 = (1°) = ex 6.X+6X lim x(x=1-1) = xim x = (1%) = ex 6x2 limx²22) ex-∞0 (x²-2 lim Tim (ax + b _ x ² + 1) x + = lim x →∞ = lim x →∞0 = lim x →∞ = (1%) = = ex-00 = lim X-8 lim (6x-12) = ex→∞0 x+4 = e-6 lim (x+2) lim n (²x²-³) (-²+₁-1) _ lim (²x²-3)(x² +1-x²+¹) _ (²) * + (-) * +1 6. Calcula ay b para que lim (ax + b − x²+¹) = x →∞0 tu respuesta. x² = 0 = e6 ·1-x- x+1 =e¹ = e c+2)(x=²−1) _ lim (x+2)(x-774-4 lim 4 = exim x²(x²+4-x2+2) _ (ax(x + 3) + b(x + 3) - x² +: x + 3 = 0. ¿Hay una única solución? Justifica (ax² + 3ax + bx + 3b - x² + 11 x + 3 (a-1)x² + (3a + b)x+ (3b-1)\ x + 3 Como el enunciado del ejercicio dice que el límite tiene que ser cero, el denominador debe tener grado menor que el denominador. Por ello, a-1=0 → a=1 3a + b = 0 →3.1+b=0 →3+b=0⇒ b = -3 Continuidad de una función 7. Estudia si la función siguiente es continua en los puntos x = -1 y enx = 2: 100 = {₁- x six -1 f(x)=1-x² si -1 < x≤ 2 −3 si x >2 x=-1 x = 2 f(-1) = -1 Como los tres valores no coinciden, la función f no es continua en x = -1 lim x-0 f(x) = HOJA DE PROBLEMAS 7: Límites y continuidad Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales √4+x-2 f(2)= -3 Como los tres valores coinciden, la función f es continua en x = 2. La función f es continua en R-{-1}. X 8. Determina el valor del parámetro λ para que la función siguiente sea continua en x = 0: = lim x = -1 x-1- lim 1- x² = 0 x-1+ lim 1x² = -3 x-2- = lim Como ambos valores deben coincidir, 2 = √4+x-2 lim -3 -3 X-2+ = lim X 1 si x = 0 = lim x→0 six # 0 4 + x 4 x0x (√4+x+2) (√4+x-2)(√4 + x + 2) x(√4 + x + 2) X 1 2 x (√₁ + x + 2) = 10 ( √4 + x + 2) lim x→0 f(0) = 2 5 1 = = = Clasificación de discontinuidades 9. Sea la función f definida por f(x) = x³–3x²+3x−1 x²+x-2 a. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta esta función en x = 1? ¿y en x = 2? b. Determina el valor que hay que asignar a x = 1 para que f sea continua en este punto. x = 1 x-1 x = -2 f(1) = x³ 3x² + 3x - 1 x²+x-2 f(-2) = (x - 1)³ = lim x-1(x - 1)(x + 2) Como la imagen no coincide con los límites laterales en x = 1 nuestra función presenta una discontinuidad evitable. HOJA DE PROBLEMAS 7: Límites y continuidad Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales 1³3.1² +3.1-1 0 1² +1-2 = (-2)³3(-2)² +3.(-2) - 1 (-2)² + (-2)-2 lim x-2- lim x-2+ x³-8x²+17x-10 x3-5x²-4x+20 = 3x² + 3x - 1 x²+x-2 x³ 3x² + 3x - 1 x²+x-2 Cómo los límites laterales no coinciden y son infinitos, en x = -2 nuestra función presenta una discontinuidad de salto infinito. b. f(x) = 4, en x = 2 x³ , en x = 2 238.22 +17.2 - 10 235.224.2+20 x³8x² + 17x - 10 = lim x-2x35x² - 4x + 20 f(2)= lim no existe f(2)=2-2 límites laterales = 2-4 -2 0 6 10. Comprueba que las siguientes funciones son discontinuas en los puntos que se indican y clasifica las discontinuidades que presentan: a. f(x) = (x - 1)² = lim = 0 x+1 (x + 2) -27 0- -27 0+ 832 +34 - 10 820 8+ 20 (x-2)(x - 1)(x - 5) (x - 1) lim x 2 (x-2)(x + 2)(x - 5) x 2 (x + 2) 4 1 = Discontinuidad evitable. Para que no fuese discontinua basta con que definamos f(2)=1/ -27 0 = +∞0 =18 no existe no existe 0 0 no existe Salto infinito lim x→2- c. f(x) = f(1) = 21² = 1 lim 2x²=1 x-1 lim 1 + x² = 2 Salto finito. Salto |2 - 1] = 1. d. f(x) = lim x→0 (2-x² six ≤ 1 (1+x2 six>1 X √x+1-1 √x+1-1 1 lim In- no existe x-0- X , en x = 0 = lim x→0 f(0) = 1 lim In- +∞0 x-0+ x Discontinuidad de 2º especie. e. f(x) = ln ,en x = 0 1 f(0) = In no existe HOJA DE PROBLEMAS 7: Límites y continuidad Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales √0 +1-1 0 √x + 1 − 1)(√x + 1 + 1) x(√x + 1 + 1) en x = 1 0 = no existe 0 Operaciones con funciones continuas 11. Sea la función f: R → R definido por: = lim x-0 X 1 = lim = lim x→0 x(√x+1+1) x0 (√x+1+1) Discontinuidad evitable. Para que no fuese discontinua basta con que definamos f(0) = 1/ a f(x) = - [ -= = x 7 six<−1 (x² + 1 six>-1 Halla el valor de a sabiendo que f es continua en R. x-4 lim x-2+ 2 En los casos en que la discontinuidad sea evitable, define la prolongación continua correspondiente. -2 0- x + 1-1 x(Vx+1+1) 1 = = +∞ f(-1) = == lim X→-1- X a lim x² + 1 = 2 X→-1+ = a a Por tanto, fes continua si a = 2. 12. Calcula el valor de a para que la siguiente función sea continua en R: = { x six ≥ 1 (1 + ax si x < 1 1 f(1) = e=¹== e lim 1 + ax = 1 + a x-1- lim x-0 = a f(0) = B Por tanto, fes continua si a = lim x-0+ lim exe-1 x-1+ Como los tres valores tienen coincidir, 1 + a = = ² → a=²-1=¹-e x+a 13. Estudia, según los valores de los números reales a y B, la continuidad de la función f definida por: 1 1 + ex x+a 0 + a 1 1 + eo- - 1-e f(0) = k lim e* - 1 = 0 HOJA DE PROBLEMAS 7: Límites y continuidad Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales α 1+0 = 0 f(x) = = α 0 + a 1 1 + ex 1 + eo+ Como los tres valores tienen coincidir a = B = 0. (x + a 1 f(x) = 1 + ex 14. Halla k para que la función siguiente sea continua en todo su dominio: (ex - 1 si x < 0 (x²+ksi x ≥ 0 f(x) = lim x² + k = k x-0+ Como los tres valores tienen coincidir k = 0. six=0 8 ß six = 0 x + 1 six ≤ 1 15. Dada la función f(x) = 13-ax² si x > 1¿Cuál es el valor de a para que la función f sea continua en x = 1? f(1) = 2 lim x + 1 = 2 x-1 lim 3 ax² 3-a x-1+ Como los tres valores tienen coincidir 3- a = 2 → a= 1 16. Halla ay b para que f sea continua en R: (eax - 1 f(x) = 1 + e f(0) = b = eax - 1 1-1 0 lim x 0 1 + e 1+e 1+e Como los tres valores tienen coincidir b = 0. f es continua en R - {0} si b = 0. (El valor de a no determina si f es continua o no) 17. Dada la función f(x) = 0 Discontinuidad evitable. ● x = 1 x5+x8 1-x6 a. Halla los puntos de discontinuidad de f. b. Determina razonadamente si alguna de las discontinuidades es evitable. Los puntos que pueden presentar discontinuidad son aquellos que hacen cero el denominador, es decir, 1 x6 = 0→x = +1. x = -1 HOJA DE PROBLEMAS 7: Límites y continuidad Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales = lim x-1 1-x6 Discontinuidad salto infinito. f(-1) = x5 + x³ six=0 = b six = 0 (-1)5+ (−1)8 −1+1 0 1- (-1)6 1-1 0 = lim f(1) = x5 (1 + x³) x→-1 (1 − x³)(1+x³) lim x5 +x8 1-x6 x5 + x8 x5 (1 + x³) lim x-1+ 1 x6 x-1 (1-x³)(1+x³) lim 9 15 + 18 1+1 2 = 1-16 1-1 1 = lim = lim x5 (1 + x³) x5 x→¹² (1 − x³)(1 + x³) * x-1 (1-x³) 0- x5 1 = lim x-1 (1-x³) 0+ no existe x5 = lim x-1 (1-x³ = no existe 7/12 =100 = = +∞ 18. La función f: [0, +∞o)→ R definida por: HOJA DE PROBLEMAS 7: Límites y continuidad Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales x=0 f(x)=x²-32 x-4 es continua en [0, +∞). Halla el valor de a que hace que esta afirmación sea cierta. f(8) = √8a vaxsi0<x<8 x² - 32 lim x→8+ x 4 8-4 4 Como los tres valores tienen coincidir √8a = 8 → 8a = 64 → a= 8 f(x) = Igualando b, tenemos: six>8 19. Determina los valores de a y b para que la siguiente función sea continua en R: ax² + b si x < 0 x-asi 0 ≤ x < 1 a -+bsix ≥ 1 X lim √ax = √8a x-8 Por tanto, b = -1. Para que f se continua a = 1 y b = -1. 64 32 32 lim xaa x-0+ Para que f se continua en x = 0 se tiene que cumplir que -a = b. x = 1 = -= 8 f(0) = 0 a = -a lim ax² + b = b x→0- a f(1) = + b = b=a+b lim xa = 1-a x-1 Para que f se continua en x = 1 se tiene que cumplir que 1 - a = a + b ⇒ b = 1-2a Para que sea continua se tienen que cumplir ambas igualdades: -a = b lb 1-2a 10 a lim + b = a + b x→1+ x -a 12a → a= 1 20. Calcula a, b y c para que la función f siguiente sea continua en R: 1 2* six<2 a si 2 ≤ x <3 si3<x<5 x = 2 HOJA DE PROBLEMAS 7: Límites y continuidad Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales f(x) = 3x b −x+c si5<x<7 2 six ≥ 7 f(2)= 3·2-a = 6 - a lim x 22 x = 1 lim 3x a 6-a x→2+ Para que f sea continua en x = 2 se tiene que cumplir que 6 - a = 1 → a= 5. x = 3 f(3) = b lim 3x a = 9-a-9-5=4 X-3- lim b = b x-3+ Para que f sea continua en x = 3 se tiene que cumplir que b = 4. ● x = 5 f(5) = -5 + c lim b x-5- = b = 4 lim - x + c x→5+ Para que f sea continua en x = 5 se tiene que cumplir que −5+ c = 4 ⇒ c = 9. x = 7 = −5+c f(7) = 2 lim x+c = −7+c=-7+9=2 x-7 lim 2 = 2 X→7+ 11 f es continua en x = 7 porque coinciden todos los valores. Para que f sea continua, a = 5, b = 4, c = 9 21. Obtén los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones y di de qué tipo de discontinuidad se trata: a. f(x) = x²+2x x²-4x+4 Puede presentar discontinuidades en los puntos que hacen cero el denominador, b. f(x) = c. f(x) = x² - 4x + 40x=2 HOJA DE PROBLEMAS 7: Límites y continuidad Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales d. f(x) = f(2)= x² + 2x lim x+2x² - 4x + 4 2² +2.2 8 22-4 2+4 0 x² + 2x lim x-2+ x² - 4x + 4 x(x + 2) = lim x-2-(x - 2)² La función f presenta una discontinuidad en x = 2 de salto infinito. (xsix<0 \xsix>0 f(x) = −xsix<0 1 si x = 0 (+4six>0 x(x + 2) = lim x-2- (x - 2)² = no existe X =−1six<0 x→0- = 1 six > 0 lim −1 = −1 x-0- X f(0) = no está definida f(0) = no está definida lim x² = 0 lim x = 0 x→0+ La función f presenta una discontinuidad en x = 0 evitable. lim 11 x-0+ La función f presenta una discontinuidad en x = 0 de salto finito. Salto = 2. 12 f(0) = 1 lim - x = 0 x-0 = = Asíntotas 22. Determina el dominio y las asíntotas de estas funciones: 8 0+ 8 0+ = +∞0 = +∞0 lim x + 4 = 4 x→0+ La función f presenta una discontinuidad en x = 0 de salto finito. Salto = 4. a. f(x) = Asíntota vertical Asíntota horizontal Los posibles puntos candidatos a AV son aquellos que hacen cero el denominador. 4x² + 1 = 0 → 4x² = −1 → x² = No tiene solución. Por tanto, no hay AV. Asíntota oblicua No tiene por tener AH. b. f(x) = (2x - 1)² lim x→∞0 4x² + 1 La función f tiene una asíntota horizontal en y = 0. Asíntota vertical (2x-1)² 4x²+1 Asíntota horizontal HOJA DE PROBLEMAS 7: Límites y continuidad Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales 2x² Asíntota oblicua Los posibles puntos candidatos a AV son aquellos que hacen cero el denominador. x²9=0x² = 9 ⇒ x = ±3 2x² = lim lim x-3-x²-9 4x² - 4x + 1 = 1 4x² + 1 2x² 2x² lim x-3+x² - 9 = lim x-3- (x − 3)(x + 3) 2x² = lim x-3- (x − 3)(x + 3) 2x² 2x² lim = lim x--3-x²9 x+-3- (x − 3)(x + 3) 2x² 2x² lim = lim x-3+x²9 x--3- (x3)(x + 3) 2x² lim x-00x²9 La función f tiene una asíntota horizontal en y = 2. 13 = La función f tiene dos asíntotas verticales en x = -3 yx = 3. = 2 = 18 0- 18 0+ = = = +∞0 18 0+ 18 11 = +∞ =18 No tiene por tener AH. c. f(x) = Asíntota vertical Los posibles puntos candidatos a AV son aquellos que hacen cero el denominador. (x - 1)² = 0→x-1=0 →x = 1 Asíntota horizontal Asíntota oblicua m = lim x →∞0 f(x) X La función f tiene una asíntota vertical en x = 1. La función f no tiene asíntota horizontal. = lim x →∞0 x3 (x-1)² = lim x3 (x - 1)² X Asíntota vertical lim x→1- (x d. f(x) = x3³ lim x-1+ (x − 1)² x3 x-00 x(x² - 2x + 1) HOJA DE PROBLEMAS 7: Límites y continuidad Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales n = lim (f(x) - mx) = lim x →∞0 = lim x →∞0 x²-4x+1 x-1 x3 lim x→∞0 (x 1 = = +∞0 0+ x3 = lim x→∞0 x(x - 1)² lim x→1- x3 La función f tiene asíntota oblicua en y = x + 2. 1)² 1 0+ = 1 = lim x-00x³2x² + x x3 x) = lim x→∞0 (x-1)² x-00x²2x + 1 x³x³ + 2x²x² 2x² - x = 2 x² - 2x + 1 x² - 2x + 1, x² - 4x + 1 x-1 14 = +∞0 = ∞ = x3 Los posibles puntos candidatos a AV son aquellos que hacen cero el denominador. x-1=0 x = 1 = lim x →∞0 -2 0- x3 = +∞0 Asíntota horizontal La función f tiene una asíntota vertical en x = 1. Asíntota oblicua m = lim x →∞0 La función f no tiene asíntota horizontal. f(x) x = lim x →∞0 4x + 1 x- X lim x→1+ x-1 x² - 4x + 1 n = lim (f(x) -mx) = lim x →∞0 x →∞ = lim x →∞0 HOJA DE PROBLEMAS 7: Límites y continuidad Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales x² - 4x + 1 lim x →∞0 x-1 = lim x →∞0 x² - 4x + 1 x-1 = -3 La función f tiene asíntota oblicua en y = x - 3. -3x+1 x² - 4x + 1 x(x - 1) P(t) = -2 0+ P(1998) = =∞ =10 x lim x-00 3t² + 2 15 = lim x →∞0 23. El número de individuos de una población, en millones, viene dado por: 1,7+7t² 3t² + 2 donde t representa los años transcurridos desde 1998. a. ¿Qué población había en 1998? = lim x →∞ 1,7+7.1998² 3.1998² + 2 1,7+7t² 7 3 x² - 4x + 1 x²-x x² - 4x + 1x² + x) x-1 b. ¿Cuál será el tamaño de la población con el transcurso de los años? = 1 = 2,33