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Aprende sobre la Tasa de Variación y Optimización de Funciones

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Elena J

11/4/2023

Matemáticas II

DERIVADAS

Aprende sobre la Tasa de Variación y Optimización de Funciones

La optimización en matemáticas es un proceso fundamental para encontrar los valores máximos o mínimos de una función. Este concepto se aplica tanto a funciones de una variable como a funciones de varias variables, siendo crucial en diversos campos como la economía, la ingeniería y las ciencias.

Optimización de una variable:

  • Se inicia hallando la función f(x) que se desea optimizar.
  • Se calcula la derivada f'(x) de la función.
  • Se resuelve la ecuación f'(x) = 0 para encontrar los puntos críticos.
  • Se analiza si los puntos críticos representan máximos o mínimos.

Optimización de varias variables:

  • Se determina la función f(x,y) de múltiples variables.
  • Se calculan las derivadas parciales respecto a cada variable.
  • Se establecen ecuaciones auxiliares si hay restricciones.
  • Se resuelve el sistema de ecuaciones resultante.
  • Se verifica si los puntos críticos son máximos o mínimos.

La tasa de variación media y la tasa de variación instantánea son conceptos clave en el análisis de funciones:

Definición: La tasa de variación media mide el cambio promedio de una función en un intervalo, mientras que la tasa de variación instantánea representa el cambio en un punto específico.

La monotonía de una función y los puntos de inflexión son esenciales para comprender el comportamiento de las gráficas:

Highlight: El estudio de la monotonía permite identificar intervalos de crecimiento y decrecimiento, mientras que los puntos de inflexión indican cambios en la concavidad de la función.

Estos conceptos son fundamentales en el cálculo diferencial y tienen aplicaciones prácticas en la resolución de problemas de optimización en diversos campos.

...

11/4/2023

1768

TUM =
TVI = lim
Ejemplo:
tasa de variacion
TVI eu
variación media
f(b) f(a)
DERIVADAS
f(x) = x² + 2x
rectan
6-a
tangente
h→0
x = 1
f' (a) =

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Derivadas de Funciones Elementales

Esta página presenta una tabla completa de las derivadas de funciones elementales, que son esenciales para el cálculo diferencial.

Highlight: Conocer estas fórmulas de derivación es crucial para resolver problemas de optimización y análisis de funciones de manera eficiente.

Algunas de las derivadas más importantes incluyen:

  1. Función constante: y = K, y' = 0
  2. Función potencial: y = ax^n, y' = n·ax^n1n-1
  3. Función exponencial: y = a^x, y' = a^x · lnaa
  4. Función logarítmica: y = log_axx, y' = 1 / xln(ax·ln(a)
  5. Funciones trigonométricas: y = senxx, y' = cosxx y = cosxx, y' = -senxx y = tgxx, y' = 1 / cos²xx

La página también incluye las derivadas de funciones inversas trigonométricas y la regla del cociente para derivar fracciones:

Fórmula: Si y = fxx / gxx, entonces y' = f(x)g(x)f(x)g(x)f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x) / g(x)g(x)²

Además, se presenta la regla del producto para derivar el producto de dos funciones:

Fórmula: Si y = fxx·gxx, entonces y' = f'xx·gxx + fxx·g'xx

Estas fórmulas son fundamentales para resolver problemas de tasa de variación y optimización en diversos contextos, desde la física hasta la economía.

TUM =
TVI = lim
Ejemplo:
tasa de variacion
TVI eu
variación media
f(b) f(a)
DERIVADAS
f(x) = x² + 2x
rectan
6-a
tangente
h→0
x = 1
f' (a) =

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Monotonía, Crecimiento y Decrecimiento

Esta página aborda el estudio de la monotonía de funciones, un aspecto crucial para comprender el comportamiento de las gráficas y resolver problemas de optimización.

Para estudiar la monotonía de una función fxx, se siguen estos pasos:

  1. Calcular la primera derivada f'xx.
  2. Igualar f'xx = 0 para encontrar los puntos críticos.
  3. Estudiar el dominio de la función.
  4. Analizar el signo de f'xx en los intervalos determinados por los puntos críticos.

Highlight: La función es creciente donde f'xx > 0 y decreciente donde f'xx < 0.

La página también introduce el concepto de puntos de inflexión, que son puntos donde la función cambia de concavidad:

Definición: Un punto de inflexión ocurre donde f''xx = 0 y hay un cambio en el signo de la segunda derivada.

Para encontrar máximos y mínimos relativos, se presentan dos opciones:

Opción A:

  1. Usar los resultados del estudio de monotonía.
  2. Donde f'xx = 0, analizar el signo de f''xx: Si f''aa < 0, x = a es un máximo relativo. Si f''aa > 0, x = a es un mínimo relativo.

Opción B:

  1. Calcular f''xx.
  2. Igualar f''xx = 0.
  3. Analizar el signo de f''xx en los intervalos resultantes.

Se proporciona un ejemplo detallado con la función fxx = x³ - 3x² - 9x + 1, mostrando cómo aplicar estos conceptos para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como puntos de inflexión.

Example: Para fxx = x³ - 3x² - 9x + 1, se encuentra que la función es creciente en ,1-∞, -13,3, ∞ y decreciente en 1,3-1, 3.

Estos conceptos son fundamentales para la optimización de funciones y tienen aplicaciones prácticas en diversos campos, como la economía y la ingeniería.

TUM =
TVI = lim
Ejemplo:
tasa de variacion
TVI eu
variación media
f(b) f(a)
DERIVADAS
f(x) = x² + 2x
rectan
6-a
tangente
h→0
x = 1
f' (a) =

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Optimización

Esta página se centra en los métodos de optimización para funciones de una y varias variables, un tema crucial en matemáticas aplicadas y economía.

Optimización de una variable:

  1. Hallar la función fxx a optimizar.
  2. Calcular la derivada f'xx.
  3. Resolver la ecuación f'xx = 0 para encontrar puntos críticos.
  4. Verificar si x = a es un máximo o mínimo.

Highlight: Los puntos donde f'xx = 0 son candidatos a máximos o mínimos de la función.

Optimización de varias variables:

  1. Determinar la función fx,yx, y a optimizar.
  2. Calcular las derivadas parciales.
  3. Establecer ecuaciones auxiliares si hay restricciones.
  4. Despejar variables para expresar fx,yx, y en términos de una sola variable.
  5. Resolver la ecuación f'xx = 0.
  6. Verificar si el punto crítico es un máximo o mínimo.

Example: En problemas económicos, la optimización se usa para maximizar beneficios o minimizar costos, considerando múltiples variables como precio y cantidad.

La tasa de variación juega un papel importante en estos problemas:

Definición: La tasa de variación instantánea, representada por la derivada, indica la rapidez de cambio de la función en un punto específico.

Los problemas de optimización a menudo requieren el uso de puntos de inflexión y el análisis de la monotonía de una función:

Vocabulary: Un punto de inflexión es donde la función cambia de cóncava a convexa o viceversa, indicado por f''xx = 0.

La optimización es fundamental en diversos campos:

  • En economía, para maximizar utilidades o minimizar costos.
  • En ingeniería, para diseñar estructuras eficientes.
  • En ciencias, para modelar fenómenos naturales.

Dominar estas técnicas es esencial para resolver problemas complejos en matemáticas aplicadas y ciencias económicas.

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Javi, usuario de iOS

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones.

Mari, usuario de iOS

Me encanta esta app ❤️, de hecho la uso cada vez que estudio.

 

Matemáticas II

1768

5 jul 2025

4 páginas

Aprende sobre la Tasa de Variación y Optimización de Funciones

La optimización en matemáticas es un proceso fundamental para encontrar los valores máximos o mínimos de una función. Este concepto se aplica tanto a funciones de una variable como a funciones de varias variables, siendo crucial en diversos campos como... Mostrar más

TUM =
TVI = lim
Ejemplo:
tasa de variacion
TVI eu
variación media
f(b) f(a)
DERIVADAS
f(x) = x² + 2x
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Derivadas de Funciones Elementales

Esta página presenta una tabla completa de las derivadas de funciones elementales, que son esenciales para el cálculo diferencial.

Highlight: Conocer estas fórmulas de derivación es crucial para resolver problemas de optimización y análisis de funciones de manera eficiente.

Algunas de las derivadas más importantes incluyen:

  1. Función constante: y = K, y' = 0
  2. Función potencial: y = ax^n, y' = n·ax^n1n-1
  3. Función exponencial: y = a^x, y' = a^x · lnaa
  4. Función logarítmica: y = log_axx, y' = 1 / xln(ax·ln(a)
  5. Funciones trigonométricas: y = senxx, y' = cosxx y = cosxx, y' = -senxx y = tgxx, y' = 1 / cos²xx

La página también incluye las derivadas de funciones inversas trigonométricas y la regla del cociente para derivar fracciones:

Fórmula: Si y = fxx / gxx, entonces y' = f(x)g(x)f(x)g(x)f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x) / g(x)g(x)²

Además, se presenta la regla del producto para derivar el producto de dos funciones:

Fórmula: Si y = fxx·gxx, entonces y' = f'xx·gxx + fxx·g'xx

Estas fórmulas son fundamentales para resolver problemas de tasa de variación y optimización en diversos contextos, desde la física hasta la economía.

TUM =
TVI = lim
Ejemplo:
tasa de variacion
TVI eu
variación media
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Monotonía, Crecimiento y Decrecimiento

Esta página aborda el estudio de la monotonía de funciones, un aspecto crucial para comprender el comportamiento de las gráficas y resolver problemas de optimización.

Para estudiar la monotonía de una función fxx, se siguen estos pasos:

  1. Calcular la primera derivada f'xx.
  2. Igualar f'xx = 0 para encontrar los puntos críticos.
  3. Estudiar el dominio de la función.
  4. Analizar el signo de f'xx en los intervalos determinados por los puntos críticos.

Highlight: La función es creciente donde f'xx > 0 y decreciente donde f'xx < 0.

La página también introduce el concepto de puntos de inflexión, que son puntos donde la función cambia de concavidad:

Definición: Un punto de inflexión ocurre donde f''xx = 0 y hay un cambio en el signo de la segunda derivada.

Para encontrar máximos y mínimos relativos, se presentan dos opciones:

Opción A:

  1. Usar los resultados del estudio de monotonía.
  2. Donde f'xx = 0, analizar el signo de f''xx: Si f''aa < 0, x = a es un máximo relativo. Si f''aa > 0, x = a es un mínimo relativo.

Opción B:

  1. Calcular f''xx.
  2. Igualar f''xx = 0.
  3. Analizar el signo de f''xx en los intervalos resultantes.

Se proporciona un ejemplo detallado con la función fxx = x³ - 3x² - 9x + 1, mostrando cómo aplicar estos conceptos para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como puntos de inflexión.

Example: Para fxx = x³ - 3x² - 9x + 1, se encuentra que la función es creciente en ,1-∞, -13,3, ∞ y decreciente en 1,3-1, 3.

Estos conceptos son fundamentales para la optimización de funciones y tienen aplicaciones prácticas en diversos campos, como la economía y la ingeniería.

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Optimización

Esta página se centra en los métodos de optimización para funciones de una y varias variables, un tema crucial en matemáticas aplicadas y economía.

Optimización de una variable:

  1. Hallar la función fxx a optimizar.
  2. Calcular la derivada f'xx.
  3. Resolver la ecuación f'xx = 0 para encontrar puntos críticos.
  4. Verificar si x = a es un máximo o mínimo.

Highlight: Los puntos donde f'xx = 0 son candidatos a máximos o mínimos de la función.

Optimización de varias variables:

  1. Determinar la función fx,yx, y a optimizar.
  2. Calcular las derivadas parciales.
  3. Establecer ecuaciones auxiliares si hay restricciones.
  4. Despejar variables para expresar fx,yx, y en términos de una sola variable.
  5. Resolver la ecuación f'xx = 0.
  6. Verificar si el punto crítico es un máximo o mínimo.

Example: En problemas económicos, la optimización se usa para maximizar beneficios o minimizar costos, considerando múltiples variables como precio y cantidad.

La tasa de variación juega un papel importante en estos problemas:

Definición: La tasa de variación instantánea, representada por la derivada, indica la rapidez de cambio de la función en un punto específico.

Los problemas de optimización a menudo requieren el uso de puntos de inflexión y el análisis de la monotonía de una función:

Vocabulary: Un punto de inflexión es donde la función cambia de cóncava a convexa o viceversa, indicado por f''xx = 0.

La optimización es fundamental en diversos campos:

  • En economía, para maximizar utilidades o minimizar costos.
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Derivadas y Tasas de Variación

En esta página se introducen conceptos fundamentales del cálculo diferencial, centrándose en las derivadas y las tasas de variación.

La tasa de variación media TVMTVM se define como el cambio promedio de una función en un intervalo dado. Se calcula utilizando la fórmula:

Fórmula: TVM = f(b)f(a)f(b) - f(a) / bab - a

Por otro lado, la tasa de variación instantánea TVITVI representa el cambio de la función en un punto específico y se obtiene como el límite de la TVM cuando el intervalo tiende a cero:

Fórmula: TVI = limh0h→0 f(a+h)f(a)f(a+h) - f(a) / h

Esta definición nos lleva al concepto de derivada, que es fundamental en el cálculo diferencial.

Definición: La derivada de una función fxx en un punto a se define como f'aa = limh0h→0 f(a+h)f(a)f(a+h) - f(a) / h

Se presenta un ejemplo de cálculo de derivada para la función fxx = x² + 2x en el punto x = 1, ilustrando el proceso paso a paso.

La página también introduce la regla de la cadena para derivar funciones compuestas:

Fórmula: Si y = fg(xg(x), entonces y' = f'g(xg(x) · g'xx

Finalmente, se menciona la ecuación de la recta tangente a una función en un punto, que utiliza la derivada como pendiente:

Fórmula: y - faa = f'aaxax - a

Estos conceptos son fundamentales para el análisis de funciones y tienen aplicaciones en diversos campos, desde la física hasta la economía.

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!

Sophia

usuario de Android

Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

usuaria de Android

La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.

Izan

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

Julyana

usuaria de Android

Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

Javier

usuario de Android

Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

Erick

usuario de Android

Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!

Mar

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!

Sophia

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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.

Izan

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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

Julyana

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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

Javier

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Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

Erick

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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!

Mar

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