Transcripción alternativa:

lim+ x²_) 2² => 4/ Entonces F(a)=4 2- Concepto de continuidad Una '3 Que exista el limite cuando x→a Tim Fuxl = l Jx-a a H 8 1 X=a -33 2 función fix es continua en x-a si cumple estas 3 condiciones: X=2 +ठ a Ejemplo (P(x) = Q(x): F(x) = = 2² +²³ - 6 lim 3x²=1 lim 3/2 = 1³/2/ => => x->∞0 2x X-Xo +²+3 Ejemplo (P(x) < Qon): Fox = ³ 1/00 => 0/ => سمسم asmocas 3x²-5x +1~ Rama infinita a x=a lim +²2² +3 X->00 x a la se aproxima Llamamos asintota a una recta a que graficamente una función sin llegar nunca a tocarla. Las ramas de la Junción que se alejan indefinidamente las llamamos ramas infinitas. lim 3x²-5x+1 => X-700 2x²-6 X-a a lim tlim 1 X-700X-100 X Rama infinita => Asintota → Asintota Vertical (a.v) Six-₂ a lim F(x) = ±∞o, entonces x=a, es una a.v. Ejemplo: Que este definida 3 Fal F(x)=√ -Que el valor del limite coincide con el valor de la función en ese punto faxx-5 Tim F(x)=√x-³- 2-x + 2² Calculamos los limites 2x-5 si x <3 six23 ·lime for = Fial x-Ja (lim_2x-5=12²·3-5 = 1, eu x - a lim-For & lim + F(x) X->3 X-93+ laterales: lim -x+2 => −3+2 => -1/ X-33* lim Fal 3 3+ | Fux)=2x-5 F(x)=-*+2 Calwlamos los valores de la funcion en x=3: f(3) = -x +2 => -1/ Comprobamos si hay continuidad: ¿lim Fix1 = F(3)? 7 live F(x), entonces -> x-iu ¿ Continuidad? No lim For) = f(3) 3 Calculo de limites en un Si una función es continua, sabemos que: lim Fox = F(a) X->a Si la función esta definida en x-a ("a" pertenece al dominio) entonces para saber im Fon calcularemos Fca). x->a tim Ejemplo 1: F(x) = x² ; en x= 3 -> x->3 x²; Dom = IR F(3) = 3²² =) 9 -> X-23 lim lim 5x Ejemplo X2 X-² Dom -> x-5=0 =) x=5 →> Dom = IR-{S} 2 la función es continua en x=2² lim 5x = F(₂) > F(a) = 3-2 => 10%/-3/ -3x72-5-5-=) 5-8²-) 11/-3/ -S Tim PUREO рик Dom=(-1'33,00) 1%-3=103 lim Ejemplo 3x144 √3x +41 Dom -> 3x +420 => 3x 2-4 => x 2-4/3 ≈ Дом = 2x2-133 Dom = (-1'33,00) La función es continua en x=7 1 im √3x+4 = F171>F(7) = √3·7+4 =) √21+4 =)√25=15/5=5 √3x+4= √3-7+4=15/ lim ->X-77 Vista grafica Si Asintota horizontal (a.h) F(x) = l, la recta y=l lim X-)00 y=l , es una a.l lim F(x) = 0 = 0 X->00 00↑ Fix) = a/b Si P(x) < Q(x); grado Si grado Prx) = Q(x) -Z Si grado PCX) > Q₁XI lim " X-300 →> Asintota oblica (a.o) Es una asintota cuya forma viene dada por una expresión del tipo y=mx +y (f. lineal), una a.o lim Si xao لمه Fox)=∞a.o Si 3 ah, no puede existir a.o Como saber si existe a.o: Descartar si existe a.h • Si grado Puxl - grado Q(x) = 1 -> 7a.o *Limite de cociente de dos polinomios: →> Si el denominador no se anula, Q₁a) ≤0, la función es continua en ese punto y por lo tanto: Ejemplo: x20 lim 2-4 lim P(a)_ Pea) x->a Qlal Q(a) La función es continua en x-0 X->0 lim Fox)=f(x) F(x)==0/0=0 --> x-10-23-4-1024 = 10/ Ejemplo. -> -> Si el denominador se anula, Q(a)=0, el limite es ∞s. lim P(x) = P(a) = ±00 O lim x+1 x->2* x-2 Tim Si Pra) z Oy Qual=0 entonces *>a ; Dom -> x²-4 = 0 => x²=4 => x = ± √ 4 => x= ±2,;-> Dow=IR - {¹2} Hay que estudiar los limites laterales para conocer el simbolo del o y ver si coinciden. Para esto, vamos a tomar valores cercanos a x=a => lim X+1 X-2 X-22²' La función no es coudiwa eu x=22 lim x+1₂, 2+1 => 3 =1 ±00/ x>2 X-2 2-2 La función Calwlamos los limites laterales lim x + 1 => XX-2-1-1------ ± =) -∞// P(x) Q(x) ; Dom = IR - {2} 3+1_) 4 =) == 100/ 3-2 lim farz lim+FCx > -A live foo Ax->2 no es continua -60 10! 3 2+ 02 x=2 Como calcular a.o: Para calular m Para calcular " lim X-300 Fax/x =m lim X-200 f(x) - M.x = U Ejemplo. Analiza si existen asintolas a) Foo = x+3x+1 X+1 Para calcular a.v, hay que ver el dominio: x + ₁ = 0 => x=-1; DOM = IR-{-1} av en x=-1 ≈ b) f(x)=x² → Para analizar a.v. Dom -> 1 + x²=0 ₂₁ x ³² = -1 => x= ± √-1 =7> Dour - IR->Za.v Como a. v, pasamos a analizar a.h ->Para analizar a.hi (Si lim Fox)= -> ] a.h) lim lim lim X X-300 1+x² X-300 Xxx X-300 Como ah entonces a.o. 1/x => ¹/6 = 10a.hen y=0 (c) F(x) 3 X = 1+x² →Para analizar a.v! Dom-> 1+x²³² => x=√√I => Dom-IR-a.v -Para analizar a.k. to = x₁ => 0% =>∞0 -> Ãa.h X->∞ 1+x² X->00 ** =) lim %/=)%=>∞0 → X-300 Como ah, analizamos a.o. Para analizar ao! (im F(x)=∞, se cumple) (Grado Pex)-grado Qux) =1) -> Se cumple -> 3-2 => 1 * XO_Ⓒ Para obtener la a.o →> y = mx +u lim F(x) lim X-700 Calwlamos m. X-300 lim => x->00 X (1+x²) 3 lim # => x->00x² * =)^= x-)∞0 = M =) = =) lim Calculamos u. 1= x-x00 lim x³-x (1+x²) 1+x² => ==> X lim x3 3 =) X->00 X+X lim 1 = m =) V X->00 lim -MX =) U = X-100 11x² Fixi lim ²-x-² => 1 = x->00 1+x2 x3 1+x² lim * ~) U= x-100 x² La a.o: y=mx+u => y = 1·x + 0 => y=x/ lim-X => U= X-100 1+x²21 lim - ^/x² => n = 7 ² / 0 => 0 = 0 // U=X-700 - X =) Si el numerador y el denominador se anulan, se trata y ha de simplificar la expresión: de una indeterminación Si Pcal = 0 y Qca) = 0 Ejemplo: =) X= lim PLX) - Indeterminación x-) a Qix lim +²²-5x +6 X-702 x² + 3x-10 -3+√√9+40 2 *→> Dom-IR-8-5,2}; ->> *lim ²-3x+6 x-2x+3x-10 => PW-> x²-5+6 →> 22-5-2+6 2ª +3·2-10 Factorizamos Poxy Qoo usando RUFFINI: 1-5+6 EI lo Ejemplo: lim (x-T. (x-3) x->2 (x2)(x+5) 2 3 => x= Dom -) + ² + 3x -10 => x= -3+√49 -=> x= -3±7< 2 Tras factorizar, operamos. lim x-3 ·=> x->2 x+5 1-30 3 10 2-6 (x-2) (x-3) Termino de mayor grado 4-10 +6= Indeterminación 4+6-10 T 1 *Calculo de limites cuando x->±0o → Limites de funciones polinomicas lim x->00 marque -3+√√(3)ª-4-1-(-10) 2.1 X₁==3=-=-=>X₁=-5/ --3+7-11-₂-2/ 2-3 2+5 =1-1/4/ Fcx), cuando fuxl es un el termino de mayor grado Xa= Q(x)-> x²+3x-10-> |1+3-10 polinomio, 2 1+50 -5 -5 (x+5) 10 es +∞oo-∞ lim lim 3x²"-5,²³ =) - 3x² => 3·00² :) ∞00/ 3x"=> 3:00"=)∞0/ 2 10 (x-2) segun Dependiendo del valor de la x, eso valera y ХУ 00 11 22 x