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Ejercicios Resueltos de Continuidad de Funciones y Límites Laterales para Niños

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Ejercicios Resueltos de Continuidad de Funciones y Límites Laterales para Niños

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La continuidad y los límites son conceptos fundamentales en el análisis de funciones matemáticas. Este documento explora en detalle los límites laterales, la continuidad de funciones, y las asíntotas, proporcionando ejemplos resueltos y definiciones clave.

Se explican los límites de funciones inversas a polinómicas y funciones racionales.
Se introduce el concepto de continuidad y sus condiciones.
Se analizan las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.
Se proporcionan múltiples ejemplos resueltos para ilustrar estos conceptos.

24/4/2023

5866

Ejemplo
-> Limites de funciones inversas a
polinomicas
lim
Si P(x) es una
función polinomica, entonces X-300 / Po₂ = 0,
al dividir o el coci

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Cálculo de límites en un punto

Esta sección se enfoca en técnicas para calcular límites en puntos específicos, especialmente para funciones continuas y discontinuas.

Definición: Si una función es continua en un punto a, entonces el límite de la función cuando x tiende a a es igual al valor de la función en ese punto: lim F(x) = F(a) cuando x → a.

Se presentan varios ejemplos para ilustrar diferentes situaciones:

Funciones continuas donde el límite se puede calcular directamente evaluando la función en el punto.
Funciones con discontinuidades donde es necesario estudiar los límites laterales.

Example: Para la función F(x) = √(3x + 4) en x = 7, se muestra cómo calcular el límite evaluando la función en ese punto, ya que es continua.

Highlight: Es importante verificar el dominio de la función antes de calcular el límite, ya que esto puede afectar la continuidad y el método de cálculo.

Se enfatiza la importancia de comprobar la continuidad de la función antes de aplicar la propiedad de que el límite es igual al valor de la función en el punto.

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Cálculo de asíntotas oblicuas

Esta sección se enfoca en el cálculo de asíntotas oblicuas, proporcionando un método detallado para determinar su existencia y encontrar sus parámetros.

Definición: Una asíntota oblicua es una recta de la forma y = mx + n a la que la función se aproxima cuando x tiende a infinito.

Se presenta el método para calcular asíntotas oblicuas:

Descartar la existencia de asíntotas horizontales.
Verificar si la diferencia entre el grado del numerador y el denominador es 1.
Calcular m utilizando la fórmula: m = lim [F(x)/x] cuando x → ∞.
Calcular n utilizando la fórmula: n = lim [F(x) - mx] cuando x → ∞.

Example: Se proporciona un ejemplo para ilustrar el proceso de cálculo de una asíntota oblicua.

Highlight: La existencia de una asíntota oblicua proporciona información valiosa sobre el comportamiento de la función para valores grandes de x.

Se enfatiza la importancia de seguir el proceso paso a paso para determinar correctamente la existencia y los parámetros de las asíntotas oblicuas.

Vocabulary: Asíntota oblicua: Recta que describe el comportamiento aproximado de una función para valores muy grandes de x, sin que la función llegue a coincidir exactamente con esta recta.

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Concepto de límites y continuidad

Esta sección profundiza en la definición de límite y su relación con la continuidad de funciones. Se introduce el concepto de límites laterales y se explica cómo estos se relacionan con la continuidad de una función en un punto.

Definición: El límite de una función cuando x tiende a un valor "a" describe cómo se comporta la función cerca de ese punto, aunque no necesariamente en el punto mismo.

Example: Para la función F(x) = x + 2, se muestra gráficamente cómo se comporta alrededor del punto x = 3, ilustrando el concepto de límite.

Se presentan las condiciones para que una función sea continua en un punto x = a:

Que exista el límite cuando x tiende a a.
Que la función esté definida en x = a.
Que el valor del límite coincida con el valor de la función en ese punto.

Highlight: La continuidad de una función en un punto requiere que los límites laterales existan y sean iguales, y que este valor coincida con el valor de la función en ese punto.

Vocabulary: Límites laterales: Son los límites de una función cuando x se aproxima a un valor desde la izquierda (x → a⁻) o desde la derecha (x → a⁺).

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Asíntotas y ramas infinitas

Este capítulo se centra en el estudio de las asíntotas y las ramas infinitas de funciones. Se definen los diferentes tipos de asíntotas y se proporcionan métodos para calcularlas.

Definición: Una asíntota es una recta a la que se aproxima gráficamente una función sin llegar nunca a tocarla. Las ramas de la función que se alejan indefinidamente se llaman ramas infinitas.

Se explican tres tipos de asíntotas:

Asíntotas verticales (a.v.): Ocurren cuando el límite de la función tiende a infinito para un valor específico de x.
Asíntotas horizontales (a.h.): Se dan cuando el límite de la función tiende a un valor constante cuando x tiende a infinito.
Asíntotas oblicuas (a.o.): Son rectas de la forma y = mx + n a las que la función se aproxima cuando x tiende a infinito.

Example: Para encontrar una asíntota vertical, se busca un valor de x para el cual el límite de la función tiende a infinito: lim F(x) = ±∞ cuando x → a.

Highlight: La existencia y el tipo de asíntotas proporcionan información valiosa sobre el comportamiento de la función en el infinito o cerca de puntos críticos.

Se presentan métodos para calcular cada tipo de asíntota, incluyendo cómo determinar si existe una asíntota oblicua y cómo calcular sus parámetros m y n.

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Límites de cocientes de polinomios

Este capítulo se centra en el cálculo de límites de funciones racionales, es decir, cocientes de polinomios. Se presentan diferentes casos y técnicas para resolver estos límites.

Definición: En una función racional F(x) = P(x)/Q(x), el comportamiento del límite depende de si el denominador se anula o no en el punto de interés.

Se distinguen dos casos principales:

Cuando el denominador no se anula (Q(a) ≠ 0), la función es continua en ese punto y el límite se puede calcular directamente.
Cuando el denominador se anula (Q(a) = 0), el límite puede tender a infinito o requerir un análisis más detallado.

Example: Para lim (x + 1)/(x - 2) cuando x → 2, se muestra cómo analizar los límites laterales para determinar el comportamiento de la función cerca del punto x = 2.

Highlight: Cuando el denominador se anula, es crucial estudiar los límites laterales para determinar el comportamiento completo de la función alrededor del punto.

Se proporciona un método paso a paso para calcular límites en funciones racionales:

Verificar si el denominador se anula en el punto de interés.
Si no se anula, calcular el límite directamente.
Si se anula, estudiar los límites laterales.
Determinar si los límites laterales coinciden o si la función tiene una discontinuidad.

Vocabulary: Límites laterales: Son los límites de una función cuando x se aproxima a un valor desde la izquierda (x → a⁻) o desde la derecha (x → a⁺).

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Límites de funciones inversas y racionales

Este capítulo introduce los conceptos fundamentales de límites en funciones inversas a polinómicas y funciones racionales. Se explican las diferentes situaciones que pueden ocurrir dependiendo del grado de los polinomios en el numerador y denominador.

Definición: Una función racional es aquella que se puede expresar como el cociente de dos polinomios, F(x) = P(x)/Q(x).

Ejemplo: Para una función racional F(x) = P(x)/Q(x), si el grado de P(x) es mayor que el de Q(x), el límite cuando x tiende a infinito será infinito o menos infinito, dependiendo del signo del coeficiente principal.

Highlight: Es crucial entender cómo el grado de los polinomios en el numerador y denominador afecta el comportamiento del límite cuando x tiende a infinito.

Se presentan varios casos para el cálculo de límites en funciones racionales:

Si el grado de P(x) > grado de Q(x), el límite tiende a infinito.
Si el grado de P(x) < grado de Q(x), el límite tiende a cero.
Si el grado de P(x) = grado de Q(x), el límite es el cociente de los coeficientes principales.

Vocabulary: Indeterminación: Situación en la que el límite no se puede determinar directamente y requiere técnicas adicionales para su resolución.

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Esta sección se enfoca en técnicas para calcular límites en puntos específicos, especialmente para funciones continuas y discontinuas.

Definición: Si una función es continua en un punto a, entonces el límite de la función cuando x tiende a a es igual al valor de la función en ese punto: lim F(x) = F(a) cuando x → a.

Se presentan varios ejemplos para ilustrar diferentes situaciones:

Funciones continuas donde el límite se puede calcular directamente evaluando la función en el punto.
Funciones con discontinuidades donde es necesario estudiar los límites laterales.

Example: Para la función F(x) = √(3x + 4) en x = 7, se muestra cómo calcular el límite evaluando la función en ese punto, ya que es continua.

Highlight: Es importante verificar el dominio de la función antes de calcular el límite, ya que esto puede afectar la continuidad y el método de cálculo.

Se enfatiza la importancia de comprobar la continuidad de la función antes de aplicar la propiedad de que el límite es igual al valor de la función en el punto.

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Cálculo de asíntotas oblicuas

Esta sección se enfoca en el cálculo de asíntotas oblicuas, proporcionando un método detallado para determinar su existencia y encontrar sus parámetros.

Definición: Una asíntota oblicua es una recta de la forma y = mx + n a la que la función se aproxima cuando x tiende a infinito.

Se presenta el método para calcular asíntotas oblicuas:

Descartar la existencia de asíntotas horizontales.
Verificar si la diferencia entre el grado del numerador y el denominador es 1.
Calcular m utilizando la fórmula: m = lim [F(x)/x] cuando x → ∞.
Calcular n utilizando la fórmula: n = lim [F(x) - mx] cuando x → ∞.

Example: Se proporciona un ejemplo para ilustrar el proceso de cálculo de una asíntota oblicua.

Highlight: La existencia de una asíntota oblicua proporciona información valiosa sobre el comportamiento de la función para valores grandes de x.

Se enfatiza la importancia de seguir el proceso paso a paso para determinar correctamente la existencia y los parámetros de las asíntotas oblicuas.

Vocabulary: Asíntota oblicua: Recta que describe el comportamiento aproximado de una función para valores muy grandes de x, sin que la función llegue a coincidir exactamente con esta recta.

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Concepto de límites y continuidad

Definición: El límite de una función cuando x tiende a un valor "a" describe cómo se comporta la función cerca de ese punto, aunque no necesariamente en el punto mismo.

Example: Para la función F(x) = x + 2, se muestra gráficamente cómo se comporta alrededor del punto x = 3, ilustrando el concepto de límite.

Se presentan las condiciones para que una función sea continua en un punto x = a:

Que exista el límite cuando x tiende a a.
Que la función esté definida en x = a.
Que el valor del límite coincida con el valor de la función en ese punto.

Highlight: La continuidad de una función en un punto requiere que los límites laterales existan y sean iguales, y que este valor coincida con el valor de la función en ese punto.

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Asíntotas y ramas infinitas

Este capítulo se centra en el estudio de las asíntotas y las ramas infinitas de funciones. Se definen los diferentes tipos de asíntotas y se proporcionan métodos para calcularlas.

Definición: Una asíntota es una recta a la que se aproxima gráficamente una función sin llegar nunca a tocarla. Las ramas de la función que se alejan indefinidamente se llaman ramas infinitas.

Se explican tres tipos de asíntotas:

Asíntotas verticales (a.v.): Ocurren cuando el límite de la función tiende a infinito para un valor específico de x.
Asíntotas horizontales (a.h.): Se dan cuando el límite de la función tiende a un valor constante cuando x tiende a infinito.
Asíntotas oblicuas (a.o.): Son rectas de la forma y = mx + n a las que la función se aproxima cuando x tiende a infinito.

Example: Para encontrar una asíntota vertical, se busca un valor de x para el cual el límite de la función tiende a infinito: lim F(x) = ±∞ cuando x → a.

Highlight: La existencia y el tipo de asíntotas proporcionan información valiosa sobre el comportamiento de la función en el infinito o cerca de puntos críticos.

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Límites de cocientes de polinomios

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Definición: En una función racional F(x) = P(x)/Q(x), el comportamiento del límite depende de si el denominador se anula o no en el punto de interés.

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Cuando el denominador no se anula (Q(a) ≠ 0), la función es continua en ese punto y el límite se puede calcular directamente.
Cuando el denominador se anula (Q(a) = 0), el límite puede tender a infinito o requerir un análisis más detallado.

Example: Para lim (x + 1)/(x - 2) cuando x → 2, se muestra cómo analizar los límites laterales para determinar el comportamiento de la función cerca del punto x = 2.

Highlight: Cuando el denominador se anula, es crucial estudiar los límites laterales para determinar el comportamiento completo de la función alrededor del punto.

Se proporciona un método paso a paso para calcular límites en funciones racionales:

Verificar si el denominador se anula en el punto de interés.
Si no se anula, calcular el límite directamente.
Si se anula, estudiar los límites laterales.
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Límites de funciones inversas y racionales

Definición: Una función racional es aquella que se puede expresar como el cociente de dos polinomios, F(x) = P(x)/Q(x).

Ejemplo: Para una función racional F(x) = P(x)/Q(x), si el grado de P(x) es mayor que el de Q(x), el límite cuando x tiende a infinito será infinito o menos infinito, dependiendo del signo del coeficiente principal.

Highlight: Es crucial entender cómo el grado de los polinomios en el numerador y denominador afecta el comportamiento del límite cuando x tiende a infinito.

Se presentan varios casos para el cálculo de límites en funciones racionales:

Si el grado de P(x) > grado de Q(x), el límite tiende a infinito.
Si el grado de P(x) < grado de Q(x), el límite tiende a cero.
Si el grado de P(x) = grado de Q(x), el límite es el cociente de los coeficientes principales.

Vocabulary: Indeterminación: Situación en la que el límite no se puede determinar directamente y requiere técnicas adicionales para su resolución.