Transcripción alternativa:

FUNCIÓN 5. CURVATURA DE UNA FUNCIÓN 6. REPRESENTACIÓN GRÁFICA 7. DERIVA HABILIDAD DE UNA FUNCIÓN A TROZOS 8. OPTIMIZACIÓN XXXX r JI 6.1. Concepto de dereinda •) Tasa de varlación medta TVM [ f, a, b] → Pendiente de la recta que une f(a) y f(b) TVH [fa/b] = TVM [f, 9, 9th] = f(a+h)-f(a) ath-a = f(x) = x ² (alcula a) TVM [ f, 2, 5] = b) TVM [ f, -1, 6] = Defentiton Si tenemos existe Ejemplo: f(x) = x este Pimete 3 b-9 lim 910 Interpretación gométrico de la derivada f(s) = lim 940 La función thene derevada el del limite f'(a) = Y Pim x14 f(s)-f(2) 5-2 f(6)-f(-1) 6-(-1) a = 5 de derevada. una función f 4 un punto a € Dom (f), sp Y es feneto. f(a+h)-f(a) a f(x) = f(a) - x-a en f(5+h)-f(5) a 11 25-4 = 7 3 = H "1 -36-L ㅋ at Dom (f) f(a+h)-f(a)_ e 35 = 5 7 Calwila fa derevada: y su valor es: 3 pendiente de la recta tangente de f en a€ Dom (f) Pim (5+h) ³-53 lis 7 11 ojo (indt) ■ U Pim A10 lim ůso =75 f '(x) = lím 640 125 + 75% + 156₁²³² +²³-125 f(x) = x² lim h 40 & (75+ 15h+₁₂²) e lim aso f (x) = (1 f (x) = eim 943 lim lso lim 610 √ √x+4 e en XER l (a + 2x) e 7x f (x + 6)-f(x) en 3 √x+6 = xe-x er (x+6)²-x² e 3 (1 e (x + 6 ) ( x + l) (x+le)-x3 er XER -x I'm (75 + 156₁ +6²) = 75+15.0 + 643 lím li + 2x &a=0 lim liso en (√x + √ 1 ; ( X lím aso 3 Pim (x + ₂)²³² - x ³ le x+ le e "( lim 75h+ 15h² the ²³ PL=0 le O X -0+2x 11 x²+² + 2x l-x² a = D.X 010 oo √√x+a+√x √xte + √x (indt) (indt) = = tr G 6.2 Cálculo de derevadas •) Reglas de derevaceon Operaciones & funtón (5+g)'(x) = f'(x) + g'(x) Producto: (8. g)'(x) = f'(x) · g(x) + f(x). g' (^) Coclente: (5/g) (x) = f'(x) = g(x) = f(x : g'(x) g² (x) Multiplicación de número Suma: Reglas •) x^ :) Funcen •.) •) √x •) x so .) ex "d de derevación вих •) loga Đ D + ↑ para funciones elementales. Derevada P e 25x ex a cha e X - | (n. f) '(x) = K-f'(x) xena estus funceme) : a) a(v): y + 2xs by b(x) : 쭝 Dereva () ((x) : d) dul : 2시 e) d'(x) = 11 = e(x) 1) ((x) = g) g(x) & : 2 Sx3 Funciones D(ex) D (a²) : Ejemplos: 2 2 + ㅅ : ex + Q s 3 슬+s 2 vis x x = -'12 25 t x3 치 arer a X exponenciales 5x = -3 TU = t b'(x) = ; 53 1/2 2x ㅓ ㅋ c'(x) = -√²³/5-1 = X 2/3 e'(x) = ㄱ x - - 2x j 3 .. 11 a) a(x) = ㅋㅋ b) 6 (x): 2. ex - 2x 1 1 c) c (x) : 5432 2 v a'(x): Fx + 10x4 + 3x3-2 22.5 2x 니 - 513 pical = 믐 이 Y/2 옳 4 logarítmicas : = 4 (-3).x g'(x) = a'(x) = I*ex7 ㅋ 1. 5 11 그 기 = + 5 215 6 5 1 = 1 G + 최 아 bc1 : 2ex + 2 S c'(x) = skem5+ 3월 31 12x ㄴ ㄴ D (en x ) = • (loga * )= Ejemplos DERIVADA hi (x) DERIVADA DE UN PRODUCTO l('(x) P X RIFTI 312, 23, P² I a) a (x) = 2x + 5 pn x ('(x) = $ ena b) b (x) = f'(x) = 3x², 2² + x²³. 2¹. Pon ² g(x) = (x ² + 2) ex g₁(x) = -x Q(x) водз хі x DE UN COCIENTE 1 X NO ; a' (^) = 2 + 5 ₁ ² = ; a ²(x ) = 2 + x - ln (x). £ ex 2x ex- (x ² + 1). e' (2) 2 + (x² + ₂) .cx 24/1₂ b'(x) = = x² 2* (3+ x en 2) * = e² (4.³ NO 1-Pn (x) ( - ^ en 3 2x [2₁ 4 -(x²- (e. ] vlx Di 6. 2. 2. ■ Regla de la cadena En conclitones en las que se pueda derevar gof •) (gif )'(x) = g₁ (pers). ficr) [ P(x))]" = (x"of) (x^ of)(x) = n °) + f(x) = (√r of •) in (f(x)) = (en (x) of) X es forl f (e) (en (x) 0 Ejemplos: c) ( (x) b'(x) = d) d (x) (6x + 5) = 2x = e e(x) = 2 a ( x ) = b) b(x) = en (ex + 3x²) ex + 12x³ ex + 3xy ex ^ en en (f(x)) [ f(x)]^^'. f'(x) : ; (√√x of)(x) = Sx 1 f(x) 6x+5 731275x २N f'(x) 3x² + 5+1 b'(x) = ('(x) = e²x 2x 2 e'(x) = 2 d'(x) = e^^. (-4) е ex+3x4 x ³-SX a'(x) = f 2√ f(x) Pn 3 f'(x) 2√3x² 4541 · (e ²+121³) (31²-5 Di 6.3 Se f(a) EC Cálculo tenemos und función de ↓ 3 Foto lev de la recta tangente functón f derevable a ES a> f'(a) R. IGIA f'(a) = 4-f(a) Digital x-a la pendiente de la recta tangente el punto y = f(a) = recta t tangente x=a. R. Secante a en un punto. en ; f₁ (a) (x-a) = y = f(a) fen m = X = Q (x₁/4₁) > (a, f(a) m = f1 (a) (x,y) S de che / Bi (X2742) x = a 42 a la f'(a) (x-a) -D y = f'(a) (x -a) + fa x2 = x₁ punto walquiero recta Di •) Calcula la recta tangente a=2 x=2 y y = f(2) f(2)= 2) -2-2=4 f'(x) = 3x² -2 1 = a la función f(x). = 11(2)(x-2) f'(2) = 3 2²-2=10 10 (x-2); y = 16 x -20 +4; ។ - 10x-16. R 2x Di L 6.4. Monotonía e 4 Resultados emportantes. •) Proposeceón. Sea f: DC IR Extremes relatevos • Una function there on que 0 una en xo. • Proposeceón. Sea f: DCIR -> IR derevable en un intervalo JCD, si: Para i) √x EJ, f'(x) > 0 => fes crecpen te todo. valores i) f'(xo) >0 => f es crectente ii) f (x₂) <0 -> f es decreciente decrecfente Una O En ii) Vxer, f'(x) <0 => f es decreciente valores f(a). Es un de una función. f(a). Es un crectente. función cercanos av = a, él valor cercanos estos mínimo pendiente functón tiene tiene punto Punt máximo cers). relativo aax=a up 5 donde puntos la AD en relatero donde mínimo TR derevable e xo ED x-a. relatio el valor de extremo relatea en Yo en en I en de la fworlón es menor la funcén pasa de creciente a la función pasa de x = a en I recta tangente es en x = a, si en todos los la funtón メニム Devilvada =0 Si en todos los devreciente Punto o 14PCO , si: es mayor que si tiene un horezontal CL máximo (tiene L 0 0 Importante. Si una ५ tendremos un es Debemos tener en cuenta En definitiva, Estudio. Риха e. necesariamente derivable 2. dominio 3. derevable defenectón, los puntos donde únicos puntos estudiar En nos. ello Calcular Su Calcutcer f (x₂) = 0. marcamos derevada posible, una devede Obtenemos de la monotonía extremo relativo. damos 5. Damos máximos en su doments. debemos en la Pos en donde recta a tiere función tiene xo, entonces. deben serlo. una función desitable lu monotonía de un Los puntos clusificant que si f'(x) = 0, hay extremos derevada f'(x) el domento y con I minimos representamos f'(x) = 0 Ca derevuci puntos donde se anula los derevada. un extremo único Igno. el signo de Ca derevada donde relativos en 5 los intervale de crecemento no una función f: DCR DR continua en dicho el do mento se anula, con las I relativo en xo necesariamente dominio de pero no la derevada de la función Y se anula la derevada. Esto en intervalos. In esos. pumbs donde se anula relativos. хое о derevada algún valor dentro de los intervals. y decrecimient intervals, ba esos intervales. Poura Y si es. la derevada en C Ejemplos: Estudia la monotonía definida l. 3 Calcula mos 2. obtenemos por en X = O El domeneo. es x = 0. intervalo, f(x) = es f'(x)=0. Resolvemos creciente. la X = O posetiva ។ extremos derivada Tenemos (-∞0,0) Y 4. En (-∞0,0) la derevada (0, +∞0) exte los puntos donde la derevada e^ - e-t 5. La función es En hay funceón tiene de la función es TR dos intervalos. ५ f'(x)= relativos la función es decreciente por tanto un ex+ex (-1) decreciente en de la función fR → R 2 en a= / 1₁ e²- se anula, esto сина ५ donde estudiar la derevada ese intervalo 2 Solución es negateva y por tanto, en ese En (or two) la destvada la función es Se anula el signo creclente en (-∞00) Ч minimo relativo. Como f(0) = f la minimo relativo en (0,1), (0, +~). 6.5 Lancauldad y Curvatura Si tenemos incluido So - Un intervalo Puntos dice tenemos к punto convexa Func. O de con vexedad. convexa en el domento entones una función funces f: DUR que donde cambia N es convera una f(b) •) so la función se queda por debajo de dicha recta, que en el intervalo [a, b]. • Si la función de inflexión de inflexion de veceversa. wemos por Y es concava function f KUD -, entonces : si f"(x) so, para todo Si f" (x) <o, para todo -D TR es se queda por encima un curvadura DEIR Y A pun es un Tunc. Córkawa ↑ una recta en el intervalo [a,b]. enterval [a, b] Deriv. los puntos de dicha reck, se dos veces. se dice f(a) x € I => f es convexa XE I => fes concava Tramo cóncavo -D >f'decrece ->f"<o Tramo convexo f'crece ->g">0 desevable en un en I! en I Recordatoreo f crece => f'>0 & derece => f'<0 Derevadas scesevas Desiv Deriv g(x) = x ³ - 2x² + 3x + 5 = 3x² - 4x +3 f"(x) = 6x-4 g"(x) = 6 G ५ xo Si una una en 2. ED ५ f" (xo) = 0 de enflexión en xo. Ejemplo: Estudia a esto Хо es en 4. En 3. EQ domento lu function F: DUR → ese segunda fundon un punto de enflexión dos veces destrable, entonces f" (xo)-0. S es tres veces derevable, anulu (-∞0, 2) y (2, too). x=2 -16 por f(x) = e. Calculamos la derevado f'(x) = 3x² -12x y dertuadas f" (x) - 6x -12 obtenemos los puntos donde la segunda derevada se anule es f"(x) =0. Resolvemos 6 - 12 =0, functón es TR curvatura en la de x=2 la y puntos de inflexión de tu función función es 5. La función es cóncava вам Y 5" (x₂) #0 Tenemos es TR tiene R con Ba.. un punto función tiene Qos intenalos entonces of tiene Y por en (-∞0, 2) de inflexed (-∞0, 2) Pu segunda derevada es negateva y por tanto, intervalo la función es concava. En (2, +∞o) lu derevada posetela Y tanto en to " convera en un punto un punto la segunda f R сича y la segunda derevada donde estudiar el segno solución es x=2₁ como f(2)= IR punto de inflexión en se en ese intervalo en (2, too). En (2, -16). 7 66 Representación gráfica. Representación de funciones f(x) = x³ + x² _ x + 2 Q Domento. Contenuedad R f(-x) = (-x)³ + (-x) ² − (-x)+ 2 = = -x³ + x² + x + 2 No hay Simetria 4 Puntos de corte par ni impar con los ejes: Eje y (x=0) (0, f(0)) → (0,2) f(0) = 0³ +0² -0+2=2 Epe I (f(x) =0) → (-2,0) (Ruffenne) Asintotos No hay AV ém (x3trẻ x42) = f(x) X Rim x sto > R pim (x³ -x²_x+2) = lim x³ = x 3 71-6 fim X4-4 f(x) y f(x) Pim x3 = (+∞0³²³ = +0 x ta x3+x2-x+2 Pim X Rim x3 ×44x 3 x = lím x Sto Pim x² ×4-∞ x2 =40 No hay AH No hay ΔΟ 7 t € Monotonía En f'(x) = 3x² + 2x -1 f'(x) = 0 + 7 En T f es crectente en (oo, -1) U (1/31+∞) y decrecente es 11/3/ / Curvatura p" (x) = 6x + 2 f" (x) = 0 7 <=> 3x² + 2v -d •) x = -1 f (-¹) = (-1)³ + (−1)² = (-1)+2=3 ^ - 1/3 + En (-1,3) & tiene ·) × ² 4 8 ( ² ) = (4)³ + (²-)²-(²-) + ² x= 3 extremos (-1/3) convera <=> + ५१ (3 424) & there un minemo refeitew 65 27 y puntos de inflexión. 6x+2=0 f₁ (-2) = 3 (-2)² + 2. (-2)-1 =7 1¹ (0) = 3·0+ 2-0-1 = -1 f₁² (1) = 3.1² 4 20 hav en (-1, 1/3) máximo en (-1/3)³ + un x = -3; = 42. 1 داس f(0) = 2 ल refatevo x= (-1/3)* - (-¯-¹/3) punto 1 ५१ 1 ㅋㅋ f¹ (-1)=((-1) + 2 = -4 + 2 = de enflexión 65 23 G Di Representa •) f(x) = x² y2-4 (1) (3) 4 Domento x ² -4 = 0; Continuidad Semetría f(-x) = X Eje Eje IR-{-2,27 2 Puntos de corte -५ x² = 4; semétrica FR- i -{2,-2} 2 "1 es par X 4 (x=0) > f(0) =. x ( f(x) =0) 1 (0,0) P 1 con los ejes कप E 11 f(x) ↑ (0-0) ■ L 5 X Asintotas y = X eim x-2 x ²-Y X = 2 -2 im x 12- lim x446 lim 3448 3 2_4 f(x) = 41 , 22 x 2 x24 f'(x) = 0 2 Postctón relateva x ²-4 1 Ⓒ Monotonía kim x>2 x 2- 4 f'(x) = 2x lim 15-2 it X H 4 6* Hay A. V x² x²_4 x2 2-4 t'o Hay lím 444 eim. Je A.N X (x²-4) - x 2 (x²-4)² 8 extremos 210 12 2 f(x) -1 x 24 x 2-4 en x= -2 eim x4-2+ = d (indt) 2x (ind+) en x = 2 4/2 lim = relaters ५ ५ _4 -8x=0 A²_U Hay " l'o 40 A 11 5 10 0* 2x³8x-2x 3 (x²-4)² X =O ox = 400 es 3 8 -8x (x²-4)² 7 L En of creciente Ⓒ + decreciente En مر x=6 C O -2 f'(x) = T Curvatura f" (x) = (0,0) hay in + C O en (-∞, -2) u (2,0). ។ en (0,2) 0 (21+∞0) - 2 O f convexo. f(0) = Y Y No tiene solución २ (x²-4) [-8 (x²-4) + 32x²] (√²-4) 4 f" (^)=0; 24x² + 32 =0; 1 + o 2 U 02 95 10 máximo relater puntos de enflexeón. (x²-4)² -8. (x²-4)²-(-8x). 2. (x²-4)-2x с (-∞0,-2)U(-2,0) D (0, 2) U (2₁+∞0) en (-∞, -2) U concave en (-2,2) Pl(-3)= = f'(-¹) = f(1) = 1) f(3) -24 25 = 24 25 24 x2 = -32; x2_ 0010 00/0 - 8² (x² 4 ) ² + 32 x ² (x²4)_ (x²-4) 4 -8x² + 32 +32x² (x2-4)3 -32 24 24 x 2 + 32 Di 6.7. Derfvabeledad Contenua Relaced •) SP una función f es derluable en en el punto a. •) Desafortunadamente la contenuldend derevabelidad en dicho Punto. si f no es contenua on en & pento • Se podemos decer entonces f ro es de funciones entre contenuldad y derevabeledad. Contenuidad •) En. •) las funciones. 4 derevables aquellos •) Para Cs las funciones. Puntos estas derevable a trozos que derevable en su domento. f(x) trozos en 4 derevabfeldad de funciones elementales. elementares un punto a un punto No CONTINUA de defenectón. estudearens. donde se cambia. f derbuble en a => f contenua en a a. sus composiciones son contenuas f no contenua en Q => & no derevable en a. no de ina DERIVABLE entonces fes función casos es conventente recordar que, una XEIR mando: L => f (x₂ ¯ ) = f ( x ₁² ) = L nes con garantiza un punto detenemento a otra. fundon 7 fu 6.8 opreme zación Ejercecto 14 La función expresado en fabricación a) Indlica. १० - X 2 x = B (x) = meles de x las produzian perdidas (5(x)=0 b) Determina B'(x) = +100 x (-x² 100x 1600) 0 Deben fabricar x = 100 + unidades १० f 90 unedodes (-x² + 100 x-1600) - 2x + 100-0 de euros, -2x = -100 -100 -2 que fabricar para obtenerlo. obtiene una empresa por la de un determenado producto. que desen fabricarse para que no se 16000 entre 100² -4.(-1) (-1600 2.(-1) el mayor benefice pooble (-2x - 100) = 50 que 20 + y 8 80 O So B'(o)= B₁ (52) = ₁ (-2·51 + 100) = १० = S - १० -२ 90 T representa o beneficio, -100 +60 Y -2 unedades = 84 1 १० - 0102 -160 -2 - ५० -2 (-2.0+100)= = his unfdades que hay 80 20 10% 46 (-2x + 100) =0 = 1'11 C B (50) = S: 10 miles de parades Genceto 15 Se quiere construer 2 4 / (-30² + 100 50 [१०] Сав сира chapa seci de OR dispone verticales G'(x) (x-> euros las dimensiones. S: las dimensiones =0 ; A A 1 3 4 de la base el mínimo posible.. G'(x) = 2x + 54. un deposito abierto de la base cuadrada y con capacidad para 13'5 metros cúbicos. Para x 3 una chapa Son 3cm Gas to V=13¹5m3 Volumen -> 2 X G ( x ) = = 27 12 x 10.000 € (3) lado Y del deposeto 1 on chapa → x² 1600) = 10, 5 la de acero = 2x - = + 4x x = SY x² O 6'(1) - 1 y altura de grosor unforme. para que el gasto en ходиху = 1315m³ 1315 2 2 x 2.1 G' (५) = 2.4 = 3 √ 27₁ | x = 3 To 54 x2 (Minimizar) x2 54 1 54 72 54 € "₁ = 1325490 (Minimizar). 13'5 x२ / 4 = : = 54, - 52 4162 1'5 cm L ■ Gerado 16. Una emprenta recebe rectangular rectangular dimensiones la menor 5cm margen superlor tiene Cos laterales. 1 Con S: que debe que 12cm 100cm³ cantidad 6 (x) = x las siguientes características: осирих 3km V 100 cm³ x 10 de un 10+ 10√2 debe tener de 1-5 -> St encargo Scm ↑ que 100 x-10 la para realizar cada la superficie zona empresa debe ser de 100cm³, sex el inferior de 3cm Calcula, si es posible, las la tarjeta de forma que se utilice de 2 cm paper poseble. uno... una tarjeta Gasto Area impresa -> (x-10) (4-5) = 100 (Minimizar) pupel (Area) xy (minimizar). Y = 100 x-10 100 > 10 +S T ■ G 1 (6 ㅁ 1. Calcula la derevada de a) b) c) a) d(x) = e) e(x) = a(x) = x b(x) = X 2 -5 ((x) = 2 x 1/3 g) g(x) g'(x): - 3 u) h(x) = &'(x): 5 81 f(x) = 331 x2 mlo x = 12 i) i(x) = 3 -12 + 2x3 + Qx ㅅ Y 2x2 3 2/3 i'(x) = + 2x x2 +2 + BSX + ㅅ √x EJERUCIOS TENA 6 1 2x 4 R 2 + 1 2 + ㅋ -1=x2 2 x 2 x2 (sy) s 2 + + + 2 4x 5 2 = 5√√x + √5x (x) : 2X 3x 시2 u alm 2 3 - X + 3 + TV v 313 X X & 6 + 3. (-1).x 1 -5/3 (1 estas funceones. ctr): X v S 3Jux 습 -2 유 ix) = J'ur -3/2 2x2 1 a +1 2 10 2 ✓ cal: 6x2 + 18x - 1 ux 3 S 2x 2 옥 ]]> -|~ 4 5 12 충 뇌동 ㅋ -1/2 + > 요 ㅈ | 기 2 2x 5x 2 v -1/2 2 2,2 3x 11 lu ㄱ 2 品 j) j(x) = 5* k) K(x) = ()* () ((x) = logs (x) m) m(x) = n) n(x) = ex Pl (7) +3 p(x) = + lu (x) + x² J'(x) = 5*5 en 3. = logz(x) xS p'(x) = 5x4 ñ ñ (x) = x ³. ex ñ '(x) = (x ³)'. e² + x³. (e*)' = 3x² e ² + 0) 0 (x) = (x²-3x + 1) (2x3-1) K²(x) = = = = = ² lu (1) ✓ 2 ✓ ('(x) = водз xem s 0'(x) = (x²-3x+1)'. (2x ³-1) + (x²-3x+1. (2x ²³-1) = = (2x-3) ( 2x³-1) + (x ² - 3 x + ₁) = 6x² = + 6x4 - 18x³ + 6x² = m'(x) = f (x) n'(x) = 3x² + 2x ✓ Cr x³ e² logs (x) + x² ( 5. logs (x) + 2²/23). 1 en 3 =e* (3x² + x ² + x ²³ ) ✓ 10 X Y = 24x 3 + 6x² - 2x +3. ✓ e² = x² e² (3 + x) = Sx ( ² - -/-/- ). 2². 4x² - 2x -6x³ g(x) = (x - 2√x)·2* 2x 4¹(x) = ( x − 2 √x ) ¹ · 2² + (x-2√x). (2^)' = (1-2. 357) (x-2√x). 2* Pn2 = (£- logs (x) + 2 + (x −2√√x ) 2² en 2 Di r) r(x) = r'(x) = 5) S(x) = s! (x) = t) + (x) = t'(x) = u) u (x) = 11 2x -1 2x + 1 ex u'(x) = ✓) √(x) = 3x².cx-x 3.ex (ex) 2 v'(x) = 2. (2x+1)-2x-1)-2 (2x+1)² 2x-1 x 2_1 (x²-1)-(2x-1)-2x (x2-1)² Pnx x-1 x-1-xenx x (x-1)² X X -1 2 1. (x-1) - Pnx. 1 (x-1) ² ✓ P. (x²-1) - x .2x (x²-1)² X 2 (x -112 et (3x²-x²) = 4x + 2 - (4x-2) (2x+1)² 2x²-2-4x² + 2x (x2-1) ² = T x 2-1-2x² (12-1)² 3x²-x³ ex 셋 - en x (x - 1)2² " (2x + 1)² -2x²+2x-2 (x²-1)² -1 (x-1)² (22-1) ² Di L w) w (x) = x) = = w (x) = 11 = 2-√√x x¹ (+) = - 1-√x 2 (1-x)² x (t) t-√t 2+√€ X z'(x) = Z) ² ( x ) = 1-√x-x (2) (1-√x) ² 2+% -4 -4 - +4 t (2 + √2 ) ² €+4√E-2 217 (2+√7) 2² y) y (x) = ex.x³ - enx y! (x) = ( 1-2/2) (2₁5²) - (₁-1) ==== t 25 2 (2+5) ² ex.x - Чех (ex-2)² S ex + 2 ex-2 + ex. S x² - 1 २ ex (ex-2)-(ex+2) ex (ex - 2)² 1-17 + 21 (1-√x ) ² e²x 2+√6-1/-2E (2+1=²) ² ex (x5 +Sx") - ļ ✓ X 1-√x + √ (1-√x)² 2 ex (ex 24 e - Ret 212 }" Di 2. Calcula las derivadas de estas funclones usando la regla de la cadena. (a) a (x) = √ x² + x b) b(x) = e-3x е c) ((x) = (x)" d) dix) = e = = e (f) f(x) = x 25v +3 J1 2-5) e) e(x) = logs (2x³ + 5x) = 6x²5 (2₂3+ Sv) ens 1 4-3x g) g(x) = √ (2√² - 5) ² ; a'(x) = (2x - 5) b'(x) = e 3/5 ; f'(x) = e'(x) = 3/3(2x²-5) h) h(x) = (x. en x) ³; h'(x) 3. (viena) ². (1. Pnx + g'(x) = 2√x 8× S : l c'(x) = 4 Pn³x. 4 en ³x d'(x):ẻ 313 (2_5x+3) = + 5 24v - f (x4-3x)² 4 Pn (-3) = (2x²-5 2 x+1= ~ x (2x²-5) f (2x³ +5v). en 5 =) = P x 375 -5) 5/5 1 1 (x4-3x)² = ▸ 2x + 1 21 x²+x - 3e 8x -34 -4x³ +3 (x 4 - 3x)² 5²√ (2ײ-5) ³ 3. (x Pnv ) ². (x.box). 3. (x. lnx) ². (enx + 1) i) iv) = (1 j) = = M = (12162 = ।। 2x3 XY (121) 62 K) K (x) = Kx ) = cage (* + 2) x 2 4x3+x 2-2x 2 . (2x -1 ) 312 २) (G) = ५ २ x3_12 २३ X १ 4. 2 20 8x (x 2 - Sx) 2 is = 21. x 2 (121) 2x (xyz (2 x + 1) 2. (6G 3+3x -4x2 2x - 2x3 +262) 2. (2x +\) 2, 4 - 5 x en (x 2 ) [en (x2) x i e(x) = ५(2) रू. 2 1(1211862 (7 3 - x 2 + (2 -5x)2 en y / A 2 11 K(A) = = २.५ 23-x2 32 2X11 २ X x (221) 2 ५ zen x 2 (4 3 x ) en 2 ( -5) (x2 in 2 X (2x +1) २ 2.5x (x 2 ) = 4062 Py ९८५ 2X V (3x²2x) (²x + 1) - (x ³-x²).2 A x2 2 x (2x+1)² ग्रंक-12 2 x - 5 (x2_Sx)2 x 28 1 T T ■ 2 त m) m (x) = en (42x5- 2x5 2x5-x+3) 1 3 (10x4 - £). PnY. 2x 5x13 ५ en 4. (2x ³-x + 3) ■ 3. a) a (x) = x² - 4x + 7 es 4 x-2 es En contenua En es x = 3 lím a (x) = x43 eim a (x) x D3 + f(3) a (x) = a '(x) = contenua 11: x = 3 xh - es ·2 es E +7 y derevable contenua contenua eim x D 3+ 3 -५ 2+7 ५ y derevable Si si si (3-2)² contenua - Rim (x² - 4x + 2) x → 3 f₁ (3) = 2.3-4 = 2 .4 x≤3 ५ en (-0,3). derevable Y> 3 = derevable en IR = 4 en (+²2²) S x>3 x < 3 en IR = 3-2 (3+00) Y = 3-4-3 + 7 = NO en TR - {2}, en concreto ५ X+7 EN 2x - 4 s (x-2)² 3 x = 3 derevable en concreto = 4 4 x 23 ES DERINABLE à (x) es contenua en x = 3 s, x3 en IR-{3} L b) b(x) = En continua 1 En Contenua contenua x=0 eim X-PO eím es eím X42 es lím XD2+ En x=2 MR-fot TR دا - 44 x Ч b'(x) = resumen Y d/x es contenua 6 y derevabe contenua = = Contenua -1 of devevable. ५ b (x). -10 واه si ५ derluable Si 2 (XJZ) S₁ Si ५ 1 si derevable. = +∞ alo x 20 0<x<2 y derevable derevable en x > 2 derevable (-00,0) en x 40 es continua. x > 2 0<x<2 en (0,2) en (2, +∞0) en en f(2)= TR en 12 - $0,27 IR-S0} 1 EN afe O NO ES CONTINUA EN X=0 دال +P en concreto En x=2 6 (2-) = 6¹ (2+) = en concreto LO QUE TAMPOCO ES DERIVABLE + 2 en concreto es x = a a alg es es en POR b(x) continua x = 2 No derevable en x = 2 1 • • c) .) En en -1 En ((x) = •) En -x3+5x En concreto en concreto. concreto eim 2x +16 -x² + 12x -9 x=3 eim x3 + ((3) = Rím X457 2 ما lim x>5+ ((x) = x3+5x -x 2 + la lo es 2 x lo es es ((x) = en 12 x + 16 en función es en è es contenua? Si <3 la función es continua y derevable (3,5) la función es contenua y derevable en TR, en (5, +∞) En x = 5 c es contenua? lim xst ((S) = 2.5 + 16 —9 3² +12 3-9 =18 Si (-0,3). ((x) = eim (-x² + 12x - ₁) = x →3+ Si 32125 eim (-x3+5x²) = -3³+ 5.3² x 37 contenua 4 derevable en TR x S →si es contenua eim (-x² + 12x = 4) = x 5 (2x+16) = 3 d si es continua. = 18 +12 3-9 - 18 2.5+16 en PR 5² + 12 5-9 = 26 = 26 L Como la derevablffond 2 En En ('(3): En en ambos puntos la función es continua, calculamos en estos mismos. ('(x) = d) d (x) = 10 x = 3 •) En en x = S resumen, •) En S -) En C² (57) = -2.5+12=2 la es. en concreto concreto -3.3² +10 3 = 3 →>> No es lo S 4x-15 -3ײ + 10× -2x + 12 x² - 6x +10. sí 4x-15 2 x² - 6x + 10 lo es es Si ((x) es contenua S; derevable Si xe3 es derevable Si xe 2 si 3≤x <5 x ≥ 5 c' (5*) = 2 c' (3+) = -2·3+ 12 = 6 en (5, +∞0) si 2 < x LS x = 5 en TR función es continua y derevable en TR (-0,2) la función es continua y derewable en TR, (2,5). la función es contenua Y Y derevable en IR-{3} derevable en concreto. en iR, en ▬ Pi L En X= 2 eim lim d(x) = X52ª en x = eim 5 x=2 ㅎ d (5) = 5 Calculamos. d (x) = čes contenun? lim d(x) = Pim 15t d (x) & es contenua? Sí d' (s¯)= { es En resumen x 24 la Rim x-2- O 4 2 x 2 (x²_6x +16) = es contenua (s) = 5 eim (x² - 6x +10) = 5²-65+16=5 derevabelidad d (x) (4 x - 15 ) = ५.S - 15 : 5 Si x 22 -6 si si 5-6=4 derevable. es Y si no es contenua x > S en 2<x25 es contenua es contenua 2²-6.2 + 10 = 2 en x = 5. d' (5¹) = 4 x = 5 sólo por que contenua no es derevable en. 4 desluable en 12 - {2} LE Di e) e (x) = e (x) = e (x) eim | En x = 1 lim En x | x - 1) × (-x+1) X 10 es e (x) → (₁²) = 0 el (x) = X (x-1) Contenua e (x) = e(x) ¿Es derevable ? resumen = no lim x sq eim ¿es contenua? Si es contenua -1² + 1 = 0 J 2x + 1 2 x - 1 les e (x) y derevable Sixet Sixsi es x-1 × 0, (-x ² + x) = si si x< 1 desevable Ĉ { (x²-x) = 1²-1=0 contenua V X 2 en 1R - {*} en x = £ ty Si xe y + Six St C'(₁) = -1 e' (1²) = 1 en R derevable en MR-$17 Pi ( f) f(x) = •) En en •) En En En e en concreto comcreto x²_9x + 21 x = 4 lim x+4+ eim f(x) = f(u) = 3 f(x) = f(x) X 3 eo es 71 la función es contenua y derevable en TR - {3}, Co es en (-∞0, 3) U (3,4) f 4-3 f' (4-²) = 9 x + 21 lim x345 = lim x 14+ è es continua? si es contenua la función es contenua derebable? → له 1 f x-3 Si (x-3)² 2x -9 (4-3)² x ≤ 4 si x > 4 (x²_9x+21) = si 2. 1 4-3 X८५ = Si es derebable X > 4 ५ L ५ derevable. 9.4 +21=1 1 f₁ (4+) = 8-9 =- £ en R resumen la función es continua 4 derebable on TR-{3} ■ L 4. Dada la Determina ay b derevable f En es contenuc fim fal También Se funceón: f(x) = en todo su domeneo. f¹ (2) lim fux) = tim X-t 4 tim f(x) {20 a f'(x) tiene es continua es fim x >£* - 5 eim a + b = 2 t = 5 derebable f(x) = f (1) derevable (ax +b para que la función sea contenua (x3+x²) = 2 $ 3x² + 2x a X a =5 ax f'(2') =a en MR - {1} en x = 1, Y 3 a+b + B si xe t six31 s+b=2; 6=-3 si f'(1²) = f'(++) G = 5 . b= 1² 1 Si x > L at b = 2 3 ५ M Di L 5. Dada la función Determena derevable En x = 1 lim x4f+ f(t) Además a eim f(x) = lím XD17 X en en f Deducemos f(x) = lim { a-b=-3 2b = 8 es continua = b. 1² +1 4 b para que la función sea contenua y todo su domeneo. 26 y que 2x3 + 2x + a 6x²+2 f(x) = b=4 (bx² + 1) = es am b + £ ; a -4 = -3 po si derevable Si . eim fax) = lím f(x) = X44 X414 H x < 1 / 2х3 + 2х +u bx² + 1 = a = 1 4 + a Sixel Si y = 1 b++f 4b = 4. = f(1) 4+u = b + 1 a-b = -5 -> f' (+²) = f'( 1¹ ) P' (2-) = 8 f' (1+) = 2b => 2b = 8 Di C १ PECTA TANGENTE 6. Calculu la ecuación de la recta tangente f(x ) = 7 x 2 4 4х f'(x) = 14x +4 x₁ = 3 por X Y 7. Calcula la ecuación f'(x) ५ Xo = Y у I 3 Yo = 2 3 68 = 46 (~-3) ५ 3+ / 2 1 2√x २86 = 8. Calcula la ecuación f'(x) = 3x² en 1 O = 2 - 3 el 7.3² 14.3-7 = 68 punto 2+1 +2x + 2 - 6x 12 23 en 4 f(3) = 14·3+ 4 = 46 P( 3,68) i = x → pendiente = £ (x - 2). ; de la recta tangente. S² (²/²) 0¹57. (x - ²) de abscisa = de la el punto de abscisa. 3-2² + 24 Calcula el la función f(x) = 2 + v- x² f(x) = 2 + x + x² Y = 96x Y 4+ en el punto de f'(2) = +2 punto en el que la - 2 - 206 x- 2 x e 2+3/4 recta tangente a 0 3 ५ ५ a abscisa 471m 3 4= 0'57 y 0¹43+2186 es paralela f' (a) = £ f'(x) = 1 + 2x f'(a) = 1 +24 la función eu functón f(x) = P(3/1286) 3.2² -6-2 +2 = P (2,0) la función f(x)= x = 2 recla -langente a la curva determinada la recta २ y = x 1+ 24 = 1 2a=0 1α=01 10 서. 10. curva Averegua los puntos Y Y = 2x + 3 f(x) determenada f(-2) = 4 (-2)² Determina ५ x 2 m-a P(21-1) Indica C +(-2) = -1 X = -4. Puntos críticos. f'(x) funciones a) f(x) = 2x³ + 9x² - 24x + 5 = f'(x) sus 6x 2 1 por f(x) = (f'(x)=0) २ +18 v -3±1 9+16 en los que la recta tangente (-∞, -4) y' (-s) >0 <0 4 +2=2(x+2) AD- (r. f (x) ५ f'(x) = -8 extremos relativos 24-0 (-4,1) 41 (0) ( 4, +∞0) 4¹ (2) >0 G. 4 3 decr. C ง X₂ = √-8 2 j -35 X los intervals de monotonía y la curvatura X > xo 100 10 Y 4 - 8 Dom f(x) es paralela ♡ ے = - 2 6 3 + x + 1 Sus 2 + 3x 1 Y' ५' = 6.२ -0 +1= = TR ५ 2 2 x OF OF 2x + +4=0 a +18.0 + L 18.२ -44 = Max Relat 1 = Min Relat " 2 41 = 6·(-5)² + 18-(-5) - 24 = + +3 a la puntos de inflexión. la recta 1 de -24 = Š estas S + C T g Curvatura f" (r) : 12 x + 18 f"(x) = o En HE es d | X= 이사 -3 concava en ابر <=> 12x + 18 = 0; 3 b) f(x) = xu - 2x Monotonía + + C 2 - 3 ~ 17 1 - 3 4 2 -2 2 1 -1 hay un ५०१ (훗, 요 (-1)) = (를 雙) -) 오 (즘): 2 (즉), 9. (2) - 2x (1)+s=100 - ㄱ d 10 a f" (-2) = + f" (0) = f'(x) = 9x3 -6x - 6xtu ²¹ (x)=0 <=> 4x² - 6x² - 6x + 4 =0 < =²) 2x ³ - 3x - 3x +2=0 3 - 310220 7 y 12 3x2 + ex 12 -18 12 1 punto de inflexeon. Ee +4 i x = (-2) +18 = − 6 0 18 = 18 Conver u 2x2-x-1=0; -1-3 (1) - - 4. (3) = Yo eti < 11 (-2) = -40 f' (0) = 4 || en (-2, 400). punto es. -1 -ㅂ-4-2 (-1). 니 L la función es creclente (-∞, -1)0(1,2). en En x = -1 hay un punto J En X= minemo relathio (-1, $(-1)) > (-1,0) f(-1) = (-2)" - 2. (-1) ³-3. (-1)² + 4. (-1) + 4 =0 २ En x=2 واب 4 ( ²² ) = ( ² ) " - ₂² · ( 1² ) ³ - 3 2 hay in máxemo relatio Punto ( 2 ( ²2 ) ) → () £ " (2, 4(2)) punto f(2)= 2² - 2. Curvatura f"(x) f" (x) = 0 Plas- concava hay un minemo. 12x² 2 + √4-4-2.(-1) ५ с en <=> 12 x 11√3 + 12 x 6 U la función es convexa 3.२ 1-53 en (-1, 1) U (2, +∞o) y defectente 2 2 1 (2,0) (+)² en refutero. 1 2 ± √12 4 + que se alcanza en el = 4+√3 2 +4.2 +4=6 -12x - 6=0 <=> 4 ५ que se alcanza 2+2√3 4 2 +4= 81 que se alcanza en ef 16 2x22x-1=0 A f" (-1) = 12-(-1)² -12- (-1)-6-18 f" (0) = -6 f" (2) = 12.2²-12-2-6 =18 en 2-√5 ) U (1+53, +0) 4 २ 1-13 2 7 Di En X= 4 2 () f(x) = 4x³ -24x Honotonia p'(x) = 12x² 2 -24 р-бутал Y + f creclente en (-12, 52) Gurvatura f" (x) = f'(x)=0 <=> 12x²² - 24 =0/ 12x ² = 24 x en 1+√3 2 Dom & TR hay puntos de inflexión. En x = - 12 hay un (-√₂, f(√₂)) -> (-√2, 16√2) f (-√₂) = 4 24 x f" (x) = 0 <=> 24x=0 ¿fl (-2) = 12 f(0) = € (2) = 12 (-∞, -√₂) U (√₂, +∞o) 12:02 En x = √2 hay un mínimo (√₂, f(t)) -> (√2₂, -16√2) f (√₂) = 4( √₂) ² - 24-√₂ = -16 -√2 (-2)² -24 = 24 <=> " (-72)³-24.(-12) = 16+2 २२-२५ = २५ x--6 máxemo relativo que se alcanza en - 24 = -24 relatevo que se alcanza 1 C Y O. y decreciente + ct x=+√√2 en ■ 7 Di P {"(-1) = - 24 f(1) = 24 d) f(x) = 3x4 + 2х3 Monotonía 2x² 1x-1=0 1 f' (>) = 12 x ³ + 6x² - 6x = 6 x ( 2x² + x - 1) f'(x)=0 <=> 6x (2x (2x² + x - 1) =0 6x=0 ; X16 f convexa En of creclente (-∞ -1) 0 (0, 1). x = -1 X =O 3x² x = En hay un (o, f (0)) - (0,0) f (0) 3.0 2.03 en (0, f(0)) un f' (-2) = 6 (-2) (2. (-2)² + (-2)-1) = 60 ²¹ (-₁²-) = 6 ( =) ( 2 (---)² + (---)-1) = 3 ²₁ ( ₁² ) = 6 ² (² : ² - ² + 1 - 1) = -15 ५ 4 ५ 16 f₁ (1) = 6·1 (2·1² + 1 - 1) = 12 en (-1,0) u (1/1/21 + (0,400) Y cóncava en (-00,0) -> (0,0) Hay un p. de inflex. X = hay (£, f(-1)) → (1,-2) f (-1) = 3- (-1) 4 + 2. (-1)³-3. (-1)² = -2 1/2 3.0 =0 ५ I Y 1 + TO decreciente mailmo relatero que se alcantu √ 1/2 P minemo relatew que se alcanza en en 7 en Di L En x = ¹/₂ minemo relatero hay un (1/2, & (1/2)) = (1/2 -5/16) - f(1/2) = = Curvatura p" (x) = f" (x)=0 < => 6x² + 2x f es en En + 2128 U -1-√7 X = 12 $ X = 36x²√ 12x − 6 = 6 convexa 3 (-1-5+ 6 2 n = -1-15 6 c) f(x) = 4x³ - 3x + 1 -1+√7 U 6 en + ។ (-∞, +=) 6 2 X -5 (¹/2)²³-3. (¹/2)² = //16 6 16х2 +2х -1 = 0; = 6 −1+√7 6 que se alcanza en {"(-1)= 18 f(0) = 6 Monoton (a picr) = 12x² - 3 = 3 (4x² - 1) f'(x) = 0 <=> 3 (4x²-1)=0 <=> = Dom & TR -+-+²) (-1+53,- -2+ < -1455 1-7 6 +∞ 4-4-6-(-1) f" (1) = ५२ 2 hay puntos de inflexión. 4x2-1=0 y concava x 2 "1" -19 Di L en + En f creciente en (G4) + En 4 / Curvatura -1/2 hay un ( - 1,4 ( - )) = (-²) f ( - ²/² ) = ~₁₁ (- - -) ³ - 3 ⋅ ( 2²2 ) + 1 = 2 f' (-1) = 12 (-1) ²-3 = 9 f(0) = -3 f'(1) = 1/2 hay un f(1/2)) -> (1/2,0) f(1/²) = 4² (1) ³ - 3 - 4 + 1 = 0 ----) f" (-1) = -24 f" (1) = 24 En (0, flo)) s U (1/12 = f"(x) = 24x f" (x)=0 <=>24x=0 <=>x=0 máximo relatho, que se alcanza en 1-3=9 mínimo relativo que se alcanza en of es concouva en en (6, +∞). ) & decreciente (0, 1) hay un C + > (-∞0_o) y conveya punto de Enflexión. 12. Estudia la monotonía de estas funclones. Determina (indicando si son máximos o mínimos). extremos a) f(x) = f₁ (x) = relateros f'(x) = 0 <-> T ✓ f X No hay puntos. En x-3 1. (x-3) -X.1 (x-3)² b) f(x) = x. e* امن iclativo. Dom & MR-{3} + Crectente -3 (x-3)² 7 = f'(-2) = €²². (1-2) = -e² f@1 = e (1-0) = 1 HO J f'(x) = £·e² + x.e² e²(1+r) f'(x) = 0 <=> ex (1+x)=0 -3 (x-3)² donde se anule la derevada Dom f IR f'(o): f! (4) = no tiene solución "1 = en (-111 ~ ) y (-1, f(-1)) → (-1,-1·(¹) → m/o < 3 7 -0135 ex=o 7 f es decrecente en (-0,3) U(3₁+∞0) 1+x=0 decrecente sus en (-∞, -1) (-1,-/-/-) hay un minimo -L Di c) f(x) = f'(x) = f'(x) =0 + 5 En 1 En 1 of crecente (0, 1) 7 x² +1 J <=> L λ + d en. X d) f (x) = x-lnx 4 1/e/ + x2_1 - (x²+1). £ x² R R! (^) = 1. Pnx Dom & TR-for creciente ir 4 X <=> x x ²-1 y2 Dom f (o, +∞) f X f'(x) = 0 <=> enx + ₁ =0; f1 (3) Đi (2) eng + fes En ( ² + ( ² )) > 1 minimo velativo. 2 - f'(-2) 4-1 4 P₁ (²²1/2) = -3 MO LEY (-∞, -₁) U (1, +∞0) y decreciente (-2, f(-1)) s (-1,-2) hay un máxemo relatero (1 f(1)) > (1, 2) hay un minemo relatho = Pnx + & ( {/21 +∞0) en ساء Pnx = -1 x² = 1 " j e f'(²-) = =K +£=2098 f(2)= S .. X en en (-1,0) 0 =-3 لوا 3 decreciente ។ ( ²2 ²2 ²² (²)) = ( 1½-½) may in (o (0 €) 7 Pi O Representación gráfica 13. Representa estas funciones: a) a (x) = Domento TR contenuldud MR Simetría: a (-x) = (-x) ³ - 3 - (-x) + 2 = -x²³ -x+2 No hay Simetría Pertodicidad. No hay Puntos de 1 X -२ 1 eim x576 lim >176 No 3 eim. Pim Asintotas: 1 1 - 3x +2 = 0 L l 3 X (x3 hay 3 - 3x + 2 1 O 1 -2 -1 1 Lo corte AV (x3 - 3x + 2) AY X x 3-3x + 2 X ·3x+2 3 २ 1 -2 -2 O 2 to - 3x + 2) = con los ejes no hay TO M Rím *516 Pim X44 eím x +∞ eím درجه x3 = 3 x3 X x 3. X = te y (x=0) + (0, f(0)) → (0,2) = Efex (Q(x) =0) → (-2,0), (1,0) soluciones = +∞0 88 x = 1 x = -2 Di No hay Monotonía a'(x)=0 a G (-1) = 4 a + En DO 7 -1 (-1, s.). Y En S mínimo ? Les 31²-3 = 3 (x² - 1) es crecfente <=> Curvatura G" (x) = 6x a" (x) = 0 <=> x=0 Convera (-I,Y) hay (0,2) + O U + 3(x²-1)=0 <=> 17 velutivo a (1)=0 en concava en (-∞0,0) (0, +∞0). de inflexión. hay in en (1) U (1, +∞) un punto ₁²-1=0; x = 1 / a' (-2)=3-(4-1) = 9 0 (0) = 3 (-1) = -3 (2) = 3 (4-1) = G máxeno relatero decrectente 1 N en y en 11,0) un L b) b(x) = x² + 2x ²³-2× Domento R Continuidad IR Perlo decedod : Puntos de corte. X Y + 2x ³ ↓ As in totas: eim X446 lim 944 x= -1 (tri v No hay до Monotonia T es (triple), x = d bux) = ·2x-1=0. 2x²44x + 2 b (x) = lim T स No hay T 1/2 b'(x) = 4x³ + 6x ² - 2 = r No hay con los ejes 8444 lím X144 semetría A 2=0/ creciente en XY 1 No hay simetría AV 41- b(-x) = x-2x (Ruffinni) +∞ Eje y (x =0) > (0, -1) Eje Rim ysta No hay AH b (x) Pim x to 1 -x (b(x)=0) + (-1,0). (1,0) f(0) = -1 f1 (2) = (²/12, too) y deveriente 2 (2x³ + 3x2 - 1) = 0 b(x). X +3 : ३२ eim - 844 x = -1 (doble) (Ruffinni) f' (-2) = 2 · (-2)³ + 3. (-2)²_1 = -5 pím x 3 -1 1=3 en (-∞0, 1/2) 81 7 Di 3 6 (²/2) = (²/₂)" + ² (1) ³-²-1- 2 En Curvatura 6" (x) = 12x ² + 12x b" (x) = 0. <=> + b (1/2-27/6) hay es concava (0, -1) in flexeón Y C) C(x) = + en (-1,0) Y convera en (-∞, - £) U (0, +∞0) b(0) = -d b (-1) = (-1)² + 2 · (-11³ -2.(-1) -1 = 0 (-1,0) Son puntos de 2-X 1-x Domento IR - {1} Contenuedad TR- 2-x 1 - x ג No hay Simetría {1} un minimo = 42 x (x+2) 12 x (x + 4) = 0 <1 070 f" (-2) = 24 f" (-1/2) Puntos de corteon eos ejes 20,2-x=0; x = 2 relativo. = - 3 27 f" (1) = 24 Ege y (x=0); (o, f(0) (0₁2) Ege X (((x)=0) > (2,0) ■ Di Asintotas Pim x 41-y lim lim x+1+ lim 8416 I'm 84-8 2-x 2-x 1-x 2-x ('(x) = + 1-x Honotonía 2-x 1-x ((x) - 1 = = £ (1 Posecton refatlua + 0 C 3 (2, +∞o) ('(x)=0 <=> -10 Ces creciente (indt) +10 lim x 100 I'm X556 = -X .. (1-x) -(2-x) (-¹) (-x)² *|* = 1 2-x 1-X 씀씀 1-x e (1-x)² Hay A.V en X = 1₁ en (-∞, £) U (۱ (۰) : (¹ (2) = 1 1 Hay AH en y = 1 "' f (1-x)² #K 1=0-> XO 7 to No tiene solución Di d) d (x) = Domento TR - for Contenuldad IR - {0} Semetría : (Ex) = Hay simetría Puntos de corte 2_1 X Asintotas x=0; lim x904 eim x 50 lim x446 x² - 1 X -1 ←₂ 2 eim x40 x2_1 x2 =0 <=> x²_1=0 2-1 x 2-1 X par. 8416 con los ejes x ²-1 Posechón relativa: 6 x2 -16 (-x)²-1 (-x)² Pim 8345 1 40 8 */* = 1 d(x) -1 s es egual por Ege y Hay AV d (r) se acerca - Hay *-= simetría Erex (-1,0, (1,0) d (x) -2 Gy=1 No tiene "1₁ AH en y = S x ² 1 ~1/²² x2 por abajo 1 x2 ■ 7 Honotonía d'(x) = d' (x) = 0 3 1 es En x=0 f 2x -x² - (x²-1)-2x (x²)² e оя d' (x) = Curvatura crectente no d "(x) = 0 <=> + O 2 y3 está <=> T C 2 -3 = 2.Y es concava en X 3 F en (0, t∞) Y definida. 1/² d' (-1)=2 d' (1) = 2x (-1)³ d" No tiene solución 2 decreclente २ 2 f" (-1) = -6 (-0,0) 0 (0, +∞o) x 3 (x) = -6x = (-∞,0). -> No tiene solución -6 f" (1) = 6 Di ☐ HE TRABAJADO EN.... 1.CONCEPTO DE DERIVADA. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE DERIVADA. 2.REGLAS DE DERIVACIÓN 3.CÁLCULO DE LA RECTA TANGENTE EN UN PUNTO 4. MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN 5. CURVATURA DE UNA FUNCIÓN 6. REPRESENTACIÓN GRÁFICA 7. DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN A TROZOS 8. OPTIMIZACIÓN 1 2 4 5 6 Al final he aprendido.... チ Es sencillo Las reglas de derivación son muy fáciles de memorizar y la regla de la cadena más aún una vez que te sabes las reglas de derivación Es uno de los ejercicios más fáciles del tema siempre que sepas hacer las derivadas y te centres en la fórmula VALORA TU APRENDIZAJE EN LA UNIDAD Hacer la monotonía al principio me costaba pero al hacer varios ejemplos te das cuenta de que es muy sencilla. La curvatura de una función es muy fácil pero me ha pasado igual que con la monotonía No he entendido muy bien como se hace la simetría pero por el resto todo bien Es bastante sencilla y sí sabes hacer la continuidad la derivabilidad no te da muchos probables Me ha costado bastante saber hacer los problemas de optimización, pero ya sé hacerlos 9 10