Fundamentos de Vectores

Los vectores se definen por tres características esenciales: módulo (distancia), dirección (recta que los contiene) y sentido (hacia dónde apunta la flecha). Dos vectores son equipolentes cuando comparten estas tres propiedades.

Para saber si dos vectores son linealmente independientes, divides sus componentes y comparas los resultados. Si las divisiones dan el mismo valor, son dependientes y no forman base. Por ejemplo, si u⃗ = (-4, 2) y v⃗ = (2/3, -1/3), al dividir obtienes -6 en ambos casos, así que son dependientes.

Cuando quieras escribir un vector como combinación lineal de otros dos, primero comprueba que forman base (sean linealmente independientes). Después planteas el sistema a⃗ = λu⃗ + μv⃗ y resuelves para encontrar λ y μ.

Una base ortogonal requiere que los vectores sean perpendiculares $producto escalar = 0$. Para que sea ortonormal, además deben ser unitarios $módulo = 1$. Esto te será muy útil para simplificar cálculos.

Truco para el examen: Si el producto escalar de dos vectores es cero, automáticamente son perpendiculares.

Operaciones con Vectores

Las operaciones analíticas con vectores son directas y mecánicas. Para sumar o restar, operas componente a componente: u⃗ + v⃗ = $u₁+v₁, u₂+v₂$. El producto por un escalar multiplica cada componente: λu⃗ = (λu₁, λu₂).

El producto escalar es clave: u⃗·v⃗ = |u⃗||v⃗|cosα. Te permite calcular el ángulo entre vectores y detectar perpendicularidad. Si el resultado es cero, los vectores son perpendiculares.

Para calcular ángulos, usa la fórmula cosα = (u⃗·v⃗)/(|u⃗||v⃗|). Primero haces el producto escalar, después calculas los módulos de cada vector, y finalmente aplicas arcoseno al resultado de la división.

Consejo práctico: El módulo de un vector se calcula como |u⃗| = √$u₁² + u₂²$. Memoriza esta fórmula porque la usarás constantemente.

Elementos Geométricos Básicos

En el plano R² trabajas principalmente con puntos y rectas. Para calcular el vector AB⃗ conociendo dos puntos A y B, simplemente haces B - A = $b₁-a₁, b₂-a₂$. Es una operación que aparece en casi todos los ejercicios.

El punto medio de un segmento AB se obtiene con la fórmula H = $(a₁+b₁)/2, (a₂+b₂)/2$. Para comprobar si tres puntos están alineados, verifica que AB⃗ sea paralelo a BC⃗, o que su producto vectorial sea cero.

Las ecuaciones de la recta tienen varias formas útiles. Necesitas un punto y un vector director para definir completamente una recta. La ecuación vectorial es (x,y) = (P₁,P₂) + t(d₁,d₂), donde t es un parámetro.

La ecuación paramétrica separa las componentes: x = P₁ + t·d₁ e y = P₂ + t·d₂. La forma continua elimina el parámetro: $x-P₁$/d₁ = $y-P₂$/d₂. Para la forma general Ax + By + C = 0, recuerda que A = d₂ y B = -d₁.

Importante: Dominar las conversiones entre estas ecuaciones te ahorrará tiempo en el examen.

Posiciones Relativas

Para estudiar la posición de un punto respecto a una recta, sustituye las coordenadas del punto en la ecuación de la recta. Si se cumple la ecuación, el punto pertenece a la recta; si no, está fuera.

Las dos rectas pueden tener tres posiciones relativas: coincidentes (mismo punto y dirección), secantes (se cortan en un punto) o paralelas (misma dirección, distintos puntos). Para determinarla, compara sus vectores directores y verifica si tienen puntos comunes.

Si los vectores directores son proporcionales, las rectas pueden ser paralelas o coincidentes. Comprueba si un punto de una recta pertenece a la otra: si sí, son coincidentes; si no, son paralelas.

Cuando los vectores directores no son proporcionales, las rectas son secantes. Para hallar el punto de corte, iguala sus ecuaciones y resuelve el sistema resultante.

Método rápido: En forma general Ax + By + C = 0, compara A/A' = B/B' = C/C' para determinar la posición relativa.

Verificación de Posiciones Relativas

Cuando trabajas con rectas en forma general, usa las proporciones para clasificar rápidamente su posición relativa. Si A/A' = B/B' = C/C', las rectas son coincidentes. Si A/A' = B/B' ≠ C/C', son paralelas.

Si A/A' ≠ B/B', las rectas son secantes y debes encontrar su punto de intersección. Sustituye una ecuación en la otra y resuelve para obtener las coordenadas del punto común.

Para rectas en forma paramétrica, compara primero sus vectores directores. Si son proporcionales, estudia si comparten algún punto. Si los vectores no son proporcionales, las rectas se cortan en exactamente un punto.

Este método sistemático te permite resolver cualquier problema de posiciones relativas sin confundirte. La clave está en ser ordenado y seguir siempre los mismos pasos.

Estrategia de examen: Siempre verifica tu resultado sustituyendo el punto de intersección en ambas ecuaciones.

Ángulos entre Rectas

El ángulo entre dos rectas solo tiene sentido cuando son secantes, así que primero verifica esta condición. El ángulo se calcula como el ángulo entre sus vectores directores usando la fórmula del producto escalar.

La fórmula clave es cosα = |d⃗r · d⃗s|/(|d⃗r| · |d⃗s|). Usa valor absoluto en el numerador para obtener siempre el ángulo agudo entre las rectas. Calcula el producto escalar, después los módulos, y finalmente aplica arcocoseno.

Por ejemplo, si r: 3x + y = 1 y s: x - y = 3, primero verifica que son secantes comparando 3/1 ≠ 1/(-1). Luego identifica d⃗r = (-1, 3) y d⃗s = (1, 1), calcula el producto escalar y los módulos.

El resultado final se expresa en grados usando la función arcocoseno. Este procedimiento es estándar y aparece frecuentemente en los exámenes.

Recuerda: Siempre usa valor absoluto en el producto escalar para obtener el ángulo agudo.

Vector Normal y Pendiente

La pendiente de una recta mide su inclinación respecto al eje x. Se calcula como m = d₂/d₁, donde (d₁, d₂) es el vector director. Si m > 0 la recta es creciente; si m < 0 es decreciente.

El vector normal es perpendicular al vector director de la recta. Si d⃗ = (d₁, d₂), entonces n⃗ = $d₂, -d₁$ o n⃗ = $-d₂, d₁$. En la ecuación general Ax + By + C = 0, el vector normal es directamente n⃗ = (A, B).

La ecuación punto-pendiente es y - P₂ = m$x - P₁$, muy útil cuando conoces un punto y la pendiente. Para rectas paralelas, las pendientes son iguales. Para rectas perpendiculares, m₁ · m₂ = -1.

La ecuación explícita y = mx + n te da directamente la pendiente m y la ordenada en el origen n. Es la forma más intuitiva para visualizar el comportamiento de la recta.

Dato importante: Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es -1.

Aplicaciones Geométricas

Los mediatrices de los lados de un triángulo son rectas perpendiculares que pasan por el punto medio de cada lado. Para hallar la mediatriz de AC, calcula el punto medio H y usa como vector director uno perpendicular a AC⃗.

Si AC⃗ = (2, -6), el punto medio es H = $(a₁+c₁)/2, (a₂+c₂)/2$. El vector perpendicular puede ser (6, 2) o (-6, -2). La ecuación general será de la forma Ax + By + C = 0, donde sustituyes H para hallar C.

Para encontrar vértices desconocidos de figuras geométricas, usa las propiedades de puntos medios y distancias. Si conoces que H es el punto medio de AB, plantea el sistema de ecuaciones correspondiente y despeja las coordenadas desconocidas.

Estas aplicaciones combinan todos los conceptos anteriores: vectores, ecuaciones de rectas, puntos medios y perpendicularidad. Dominar estos procedimientos te garantiza resolver problemas geométricos complejos.

Tip final: En problemas geométricos, siempre dibuja una figura aproximada para visualizar mejor la situación.