Funciones y Límites: Resumen para 1° Bachillerato

Maria

12/11/2025

Matemáticas

Funciones y límites 1°bachillerato

Matemáticas

Límites de Funciones y Asíntotas

límite

633

•

12 nov 2025

•

12 páginas

Funciones y Límites: Resumen para 1° Bachillerato

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Maria

@maria_mjpi8

Las funciones y límites son conceptos fundamentales en las matemáticas... Mostrar más

1 / 10

$--- OCR Start --- Mates: Funciones y límites 1. DOMINIO DE FUNCIONES POLINOMIO = R $\rightarrow$ FRACCioNES=\frac{P(x)}{Q(x)}\rightarrow Q(x$

Dominio de funciones y funciones básicas

El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. Cada tipo de función tiene sus reglas:

Polinomios: su dominio es siempre ℝ (todos los números reales)
Fracciones $P(x)/Q(x)$ : el denominador no puede ser cero, así que excluimos los valores donde Q(x)=0
Raíces: en √P(x), necesitamos que P(x)≥0
Logaritmos: en log P(x), necesitamos que P(x)>0

Las funciones lineales $y=mx+n$ representan rectas donde m es la pendiente que se calcula como $y₂-y₁$ / $x₂-x₁$ . También podemos escribirlas como y=m $x-x₁$ +y₁ cuando conocemos un punto.

💡 Consejo práctico: Para analizar el dominio, identifica primero qué tipo de función tienes y luego aplica las restricciones correspondientes. Dibuja una recta real para visualizar mejor el resultado.

Las funciones cuadráticas $y=ax²+bx+c$ tienen forma de parábola, con su vértice en x=-b/(2a). Este punto será un máximo si a<0 o un mínimo si a>0.

$--- OCR Start --- Mates: Funciones y límites 1. DOMINIO DE FUNCIONES POLINOMIO = R $\rightarrow$ FRACCioNES=\frac{P(x)}{Q(x)}\rightarrow Q(x$

Límites y continuidad

Los límites nos permiten entender hacia qué valor tiende una función cuando x se acerca a un punto determinado. Hay diferentes tipos:

Límites hacia infinito: cuando x→±∞
Límites laterales: acercándonos por la derecha (x→c⁺) o por la izquierda (x→c⁻)

Una función es continua en un punto cuando existe el límite en ese punto y coincide con el valor de la función. Si miramos una gráfica, podríamos dibujarla sin levantar el lápiz del papel.

🔍 Recuerda: Los puntos representados con "o" (puntos blancos) en una gráfica indican que el límite no existe en ese punto, y por tanto hay una discontinuidad.

Para estudiar la continuidad debemos comprobar si los límites laterales coinciden. Si no coinciden o no existen, la función presenta una discontinuidad en ese punto.

$--- OCR Start --- Mates: Funciones y límites 1. DOMINIO DE FUNCIONES POLINOMIO = R $\rightarrow$ FRACCioNES=\frac{P(x)}{Q(x)}\rightarrow Q(x$

Indeterminaciones

Las indeterminaciones son expresiones de límites que no podemos resolver directamente. Las más comunes son:

∞/∞: Divide todo entre la variable con el exponente más alto
0/0: Factoriza (usando factor común, identidades notables, etc.)
∞-∞: Racionaliza aunque no sea una fracción
∞^∞: Transforma en exponencial usando e^ $lim(f(x)-1)·g(x)$

Para resolver indeterminaciones del tipo 0/0, es útil factorizar tanto numerador como denominador y simplificar factores comunes.

🔑 Estrategia clave: Cada tipo de indeterminación requiere una técnica específica. Identifica primero qué tipo tienes antes de aplicar el método correspondiente.

Para las indeterminaciones ∞-∞, transformar la expresión en una fracción mediante suma/resta de fracciones algebraicas puede ser muy útil. Busca el mínimo común múltiplo (mcm) para unificar denominadores.

$--- OCR Start --- Mates: Funciones y límites 1. DOMINIO DE FUNCIONES POLINOMIO = R $\rightarrow$ FRACCioNES=\frac{P(x)}{Q(x)}\rightarrow Q(x$

Continuidad y tipos de discontinuidades

Una función g(x) es continua en un punto x₀ si cumple tres condiciones:

Existe el límite cuando x→x₀
Los límites laterales coinciden: lim₊ g(x) = lim₋ g(x)
El límite coincide con el valor de la función: lim g(x) = g(x₀)

Las discontinuidades pueden ser de tres tipos:

Discontinuidad de salto infinito: cuando el límite es infinito
Discontinuidad de salto finito: cuando los límites laterales no coinciden
Discontinuidad evitable: cuando existe el límite pero no coincide con el valor de la función

📌 Visualización: Piensa en una discontinuidad evitable como un "agujero" en la gráfica que podría rellenarse; un salto finito como un "escalón"; y un salto infinito como una "asíntota vertical".

Las discontinuidades se pueden identificar fácilmente en las gráficas: los saltos infinitos aparecen como líneas verticales, los saltos finitos como cortes en la función, y las evitables como puntos aislados.

$--- OCR Start --- Mates: Funciones y límites 1. DOMINIO DE FUNCIONES POLINOMIO = R $\rightarrow$ FRACCioNES=\frac{P(x)}{Q(x)}\rightarrow Q(x$

Estudio de discontinuidades

Para estudiar las discontinuidades de una función, sigue estos pasos:

Calcula el dominio de la función. Los puntos que no pertenecen al dominio son candidatos a ser discontinuidades.
Para cada punto crítico, calcula los límites laterales y el valor de la función (si existe).
Clasifica cada discontinuidad según su tipo: infinita, finita o evitable.

En funciones definidas a trozos, es especialmente importante:

Estudiar el dominio de cada trozo por separado.
Analizar la continuidad en los "puntos de corte" donde cambia la definición de la función.
Comprobar si los límites laterales coinciden en esos puntos.

🧩 Método práctico: Dibuja la gráfica aproximada de cada trozo para visualizar mejor dónde pueden ocurrir las discontinuidades.

El análisis completo debe concluir con una descripción clara de dónde la función es continua y dónde presenta discontinuidades, especificando el tipo de cada una.

$--- OCR Start --- Mates: Funciones y límites 1. DOMINIO DE FUNCIONES POLINOMIO = R $\rightarrow$ FRACCioNES=\frac{P(x)}{Q(x)}\rightarrow Q(x$

Pensamos que nunca lo preguntarías...

¿Qué es Knowunity AI companion?

Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.

¿Dónde puedo descargar la app Knowunity?

Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.

¿Knowunity es totalmente gratuito?

Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.

¿No encuentras lo que buscas? Explora otros temas.

Mira lo que dicen nuestros usuarios. Les encanta - y a tí también.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!

Sophia

usuario de Android

Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

usuaria de Android

La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.

Izan

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

Julyana

usuaria de Android

Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

Javier

usuario de Android

Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

Erick

usuario de Android

Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!

Mar

usuaria de iOS

Pablo

usuario de iOS

Elena

usuaria de Android

Ana

usuaria de iOS

Sophia

usuario de Android

Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

usuaria de Android

Izan

usuario de iOS

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

Julyana

usuaria de Android

Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

Javier

usuario de Android

Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

Erick

usuario de Android

Mar

usuaria de iOS

Matemáticas

Límites de Funciones y Asíntotas

límite

Matemáticas

•

633

•

12 nov 2025

•

12 páginas

Funciones y Límites: Resumen para 1° Bachillerato

Maria

@maria_mjpi8

Las funciones y límites son conceptos fundamentales en las matemáticas que te ayudarán a entender cómo se comportan las expresiones algebraicas. Dominar estos temas te permitirá resolver problemas más avanzados y comprender mejor el cálculo matemático que utilizarás en tus... Mostrar más

$--- OCR Start --- Mates: Funciones y límites 1. DOMINIO DE FUNCIONES POLINOMIO = R $\rightarrow$ FRACCioNES=\frac{P(x)}{Q(x)}\rightarrow Q(x$

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Dominio de funciones y funciones básicas

El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. Cada tipo de función tiene sus reglas:

Polinomios: su dominio es siempre ℝ (todos los números reales)
Fracciones $P(x)/Q(x)$ : el denominador no puede ser cero, así que excluimos los valores donde Q(x)=0
Raíces: en √P(x), necesitamos que P(x)≥0
Logaritmos: en log P(x), necesitamos que P(x)>0

💡 Consejo práctico: Para analizar el dominio, identifica primero qué tipo de función tienes y luego aplica las restricciones correspondientes. Dibuja una recta real para visualizar mejor el resultado.

Las funciones cuadráticas $y=ax²+bx+c$ tienen forma de parábola, con su vértice en x=-b/(2a). Este punto será un máximo si a<0 o un mínimo si a>0.

$--- OCR Start --- Mates: Funciones y límites 1. DOMINIO DE FUNCIONES POLINOMIO = R $\rightarrow$ FRACCioNES=\frac{P(x)}{Q(x)}\rightarrow Q(x$

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Límites y continuidad

Los límites nos permiten entender hacia qué valor tiende una función cuando x se acerca a un punto determinado. Hay diferentes tipos:

Límites hacia infinito: cuando x→±∞
Límites laterales: acercándonos por la derecha (x→c⁺) o por la izquierda (x→c⁻)

Una función es continua en un punto cuando existe el límite en ese punto y coincide con el valor de la función. Si miramos una gráfica, podríamos dibujarla sin levantar el lápiz del papel.

🔍 Recuerda: Los puntos representados con "o" (puntos blancos) en una gráfica indican que el límite no existe en ese punto, y por tanto hay una discontinuidad.

Para estudiar la continuidad debemos comprobar si los límites laterales coinciden. Si no coinciden o no existen, la función presenta una discontinuidad en ese punto.

$--- OCR Start --- Mates: Funciones y límites 1. DOMINIO DE FUNCIONES POLINOMIO = R $\rightarrow$ FRACCioNES=\frac{P(x)}{Q(x)}\rightarrow Q(x$

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Indeterminaciones

Las indeterminaciones son expresiones de límites que no podemos resolver directamente. Las más comunes son:

∞/∞: Divide todo entre la variable con el exponente más alto
0/0: Factoriza (usando factor común, identidades notables, etc.)
∞-∞: Racionaliza aunque no sea una fracción
∞^∞: Transforma en exponencial usando e^ $lim(f(x)-1)·g(x)$

Para resolver indeterminaciones del tipo 0/0, es útil factorizar tanto numerador como denominador y simplificar factores comunes.

🔑 Estrategia clave: Cada tipo de indeterminación requiere una técnica específica. Identifica primero qué tipo tienes antes de aplicar el método correspondiente.

$--- OCR Start --- Mates: Funciones y límites 1. DOMINIO DE FUNCIONES POLINOMIO = R $\rightarrow$ FRACCioNES=\frac{P(x)}{Q(x)}\rightarrow Q(x$

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Continuidad y tipos de discontinuidades

Una función g(x) es continua en un punto x₀ si cumple tres condiciones:

Existe el límite cuando x→x₀
Los límites laterales coinciden: lim₊ g(x) = lim₋ g(x)
El límite coincide con el valor de la función: lim g(x) = g(x₀)

Las discontinuidades pueden ser de tres tipos:

Discontinuidad de salto infinito: cuando el límite es infinito
Discontinuidad de salto finito: cuando los límites laterales no coinciden
Discontinuidad evitable: cuando existe el límite pero no coincide con el valor de la función

📌 Visualización: Piensa en una discontinuidad evitable como un "agujero" en la gráfica que podría rellenarse; un salto finito como un "escalón"; y un salto infinito como una "asíntota vertical".

$--- OCR Start --- Mates: Funciones y límites 1. DOMINIO DE FUNCIONES POLINOMIO = R $\rightarrow$ FRACCioNES=\frac{P(x)}{Q(x)}\rightarrow Q(x$

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Estudio de discontinuidades

Para estudiar las discontinuidades de una función, sigue estos pasos:

Calcula el dominio de la función. Los puntos que no pertenecen al dominio son candidatos a ser discontinuidades.
Para cada punto crítico, calcula los límites laterales y el valor de la función (si existe).
Clasifica cada discontinuidad según su tipo: infinita, finita o evitable.

En funciones definidas a trozos, es especialmente importante:

Estudiar el dominio de cada trozo por separado.
Analizar la continuidad en los "puntos de corte" donde cambia la definición de la función.
Comprobar si los límites laterales coinciden en esos puntos.

🧩 Método práctico: Dibuja la gráfica aproximada de cada trozo para visualizar mejor dónde pueden ocurrir las discontinuidades.

El análisis completo debe concluir con una descripción clara de dónde la función es continua y dónde presenta discontinuidades, especificando el tipo de cada una.

$--- OCR Start --- Mates: Funciones y límites 1. DOMINIO DE FUNCIONES POLINOMIO = R $\rightarrow$ FRACCioNES=\frac{P(x)}{Q(x)}\rightarrow Q(x$

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

$--- OCR Start --- Mates: Funciones y límites 1. DOMINIO DE FUNCIONES POLINOMIO = R $\rightarrow$ FRACCioNES=\frac{P(x)}{Q(x)}\rightarrow Q(x$

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

$--- OCR Start --- Mates: Funciones y límites 1. DOMINIO DE FUNCIONES POLINOMIO = R $\rightarrow$ FRACCioNES=\frac{P(x)}{Q(x)}\rightarrow Q(x$

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

$--- OCR Start --- Mates: Funciones y límites 1. DOMINIO DE FUNCIONES POLINOMIO = R $\rightarrow$ FRACCioNES=\frac{P(x)}{Q(x)}\rightarrow Q(x$

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

$--- OCR Start --- Mates: Funciones y límites 1. DOMINIO DE FUNCIONES POLINOMIO = R $\rightarrow$ FRACCioNES=\frac{P(x)}{Q(x)}\rightarrow Q(x$

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Pensamos que nunca lo preguntarías...

¿Qué es Knowunity AI companion?

¿Dónde puedo descargar la app Knowunity?

Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.

¿Knowunity es totalmente gratuito?

Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.

Herramientas Inteligentes NUEVO

Transforma estos apuntes en: ✓ 50+ Preguntas de Práctica ✓ Flashcards Interactivas ✓ Examen Completo de Práctica ✓ Esquemas de Ensayo

Examen de Práctica

Quiz

Fichas

Ensayo

¿No encuentras lo que buscas? Explora otros temas.

Mira lo que dicen nuestros usuarios. Les encanta - y a tí también.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Pablo

usuario de iOS

Elena

usuaria de Android

Ana

usuaria de iOS

Sophia

usuario de Android

Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

usuaria de Android

Izan

usuario de iOS

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

Julyana

usuaria de Android

Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

Javier

usuario de Android

Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

Erick

usuario de Android

Mar

usuaria de iOS

Pablo

usuario de iOS

Elena

usuaria de Android

Ana

usuaria de iOS

Sophia

usuario de Android

Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

usuaria de Android

Izan

usuario de iOS

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

Julyana

usuaria de Android

Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

Javier

usuario de Android

Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

Erick

usuario de Android

Mar

usuaria de iOS