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Matemáticas603Actualizado 27 sept 20266 páginas

Guía Completa del Estudio de Funciones para 2° de Bachillerato

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Noelia Manso@oeliaanso_ciywjmplnd

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El estudio de funciones es una de las partes más importantes del cálculo que te ayudará a entender cómo se comportan las funciones matemáticas. Aquí verás desde cómo calcular dominios hasta teoremas fundamentales que son clave para Selectividad.

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Dominio y Simetría de Funciones

Calcular el dominio de una función es más fácil de lo que parece. Las funciones polinómicas tienen dominio en todos los reales (-∞,+∞), mientras que las racionales se definen en todos los puntos excepto donde el denominador se anula.

Para las funciones irracionales, necesitas que el radicando sea mayor o igual que cero (≥0). Las logarítmicas solo están definidas cuando el argumento es mayor que cero.

La simetría te dice mucho sobre una función. Si f $-x$ = f $x$ , tienes simetría respecto al eje Y (función par). Si f $-x$ = -f $x$ , hay simetría respecto al origen (función impar).

Truco: En las funciones pares, todos los exponentes de x son pares. ¡Súper útil para identificarlas rápidamente!

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Asíntotas: Las Líneas que Nunca se Tocan

Las asíntotas son esas líneas invisibles que la función se acerca pero nunca toca. Hay tres tipos que debes dominar para los exámenes.

Las asíntotas verticales aparecen cuando el límite de f $x$ tiende a ±∞ en x=k. Las asíntotas horizontales se dan cuando el límite es un número k cuando x tiende a ±∞.

Para las asíntotas oblicuas, necesitas que el grado del numerador sea exactamente uno mayor que el del denominador. Se calculan con y = mx + b, donde m es el límite de f $x$ /x y b es el límite de $f(x) - mx$ .

Clave para exámenes: Una función no puede tener asíntotas horizontales y oblicuas a la vez. ¡Esto sale mucho en Selectividad!

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Cortes, Monotonía y Extremos Relativos

Los cortes con los ejes son súper directos. Para el eje Y, sustituyes x=0. Para el eje X, haces y=0 y despejas x. La función puede cortar el eje X varias veces, pero el eje Y solo una vez (si es función).

La monotonía se estudia con la derivada primera. Derivas f $x$ , igualas a cero f' $x$ =0, y sacas las raíces. Después haces intervalos y pruebas valores: si f'(x₀)>0, la función crece; si f'(x₀)<0, decrece.

Los máximos y mínimos relativos necesitan dos condiciones: f' $a$ =0 y f'' $a$ ≠0. Si f'' $a$ <0 tienes un máximo; si f'' $a$ >0, un mínimo.

Regla práctica: Un máximo aparece cuando la función pasa de creciente a decreciente, y un mínimo al revés.

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Curvatura y Puntos de Inflexión

La curvatura se analiza con la segunda derivada f'' $x$ . El proceso es similar a la monotonía: calculas las raíces, formas intervalos y pruebas valores intermedios.

Si f''(x₀)>0, la función es cóncava (como una sonrisa). Si f''(x₀)<0, es convexa (como una mueca). Es importante incluir los puntos de discontinuidad al formar los intervalos.

Los puntos de inflexión son donde cambia la curvatura. Primero hallas las raíces de f'' $x$ , después calculas f''' $x$ y sustituyes esas raíces. Si el resultado es distinto de cero, tienes un punto de inflexión en (xᵢ, f(xᵢ)).

Dato curioso: Los puntos de inflexión son donde la función "cambia de sonrisa a mueca" o viceversa.

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Teoremas Fundamentales del Cálculo

El teorema de Bolzano te asegura que si una función es continua en [a,b] y f $a$ y f $b$ tienen signos opuestos, existe al menos un punto c donde f $c$ =0. Es perfecto para demostrar que una ecuación tiene soluciones.

El teorema de Darboux va más allá: si f es continua en [a,b], toma todos los valores entre f $a$ y f $b$ . El teorema de Weierstrass garantiza que toda función continua en un intervalo cerrado alcanza su máximo y mínimo absolutos.

Estos teoremas son la base teórica para entender por qué las funciones se comportan como lo hacen. Son especialmente importantes cuando te piden justificar la existencia de soluciones.

Para Selectividad: Bolzano es el más usado para demostrar existencia de raíces. ¡Apréndetelo bien!

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Teoremas de Rolle, Lagrange y Continuidad

El teorema de Rolle dice que si f es continua en [a,b], derivable en (a,b) y f $a$ =f $b$ , entonces existe un punto c donde f' $c$ =0. Básicamente, si empiezas y terminas en el mismo sitio, en algún momento la pendiente es cero.

El teorema de Lagrange es más general: f' $c$ = $f(b)-f(a)$ / $b-a$ . Te relaciona la derivada en un punto con la pendiente de la secante. El teorema de Cauchy extiende esto a dos funciones.

Para que una función sea continua en x₀ necesitas tres cosas: que exista el límite, que esté definida en ese punto, y que ambos valores coincidan. Para ser derivable, debe ser continua y tener derivadas laterales iguales.

Consejo clave: Derivabilidad implica continuidad, pero continuidad no implica derivabilidad. ¡No las confundas!

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