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18 dic 2025
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Noelia Manso
@oeliaanso_ciywjmplnd
El estudio de funciones es una de las partes más... Mostrar más
Calcular el dominio de una función es más fácil de lo que parece. Las funciones polinómicas tienen dominio en todos los reales (-∞,+∞), mientras que las racionales se definen en todos los puntos excepto donde el denominador se anula.
Para las funciones irracionales, necesitas que el radicando sea mayor o igual que cero (≥0). Las logarítmicas solo están definidas cuando el argumento es mayor que cero.
La simetría te dice mucho sobre una función. Si f = f(x), tienes simetría respecto al eje Y (función par). Si f = -f(x), hay simetría respecto al origen (función impar).
Truco: En las funciones pares, todos los exponentes de x son pares. ¡Súper útil para identificarlas rápidamente!
Las asíntotas son esas líneas invisibles que la función se acerca pero nunca toca. Hay tres tipos que debes dominar para los exámenes.
Las asíntotas verticales aparecen cuando el límite de f(x) tiende a ±∞ en x=k. Las asíntotas horizontales se dan cuando el límite es un número k cuando x tiende a ±∞.
Para las asíntotas oblicuas, necesitas que el grado del numerador sea exactamente uno mayor que el del denominador. Se calculan con y = mx + b, donde m es el límite de f(x)/x y b es el límite de .
Clave para exámenes: Una función no puede tener asíntotas horizontales y oblicuas a la vez. ¡Esto sale mucho en Selectividad!
Los cortes con los ejes son súper directos. Para el eje Y, sustituyes x=0. Para el eje X, haces y=0 y despejas x. La función puede cortar el eje X varias veces, pero el eje Y solo una vez (si es función).
La monotonía se estudia con la derivada primera. Derivas f(x), igualas a cero f'(x)=0, y sacas las raíces. Después haces intervalos y pruebas valores: si f'(x₀)>0, la función crece; si f'(x₀)<0, decrece.
Los máximos y mínimos relativos necesitan dos condiciones: f'(a)=0 y f''(a)≠0. Si f''(a)<0 tienes un máximo; si f''(a)>0, un mínimo.
Regla práctica: Un máximo aparece cuando la función pasa de creciente a decreciente, y un mínimo al revés.
La curvatura se analiza con la segunda derivada f''(x). El proceso es similar a la monotonía: calculas las raíces, formas intervalos y pruebas valores intermedios.
Si f''(x₀)>0, la función es cóncava (como una sonrisa). Si f''(x₀)<0, es convexa (como una mueca). Es importante incluir los puntos de discontinuidad al formar los intervalos.
Los puntos de inflexión son donde cambia la curvatura. Primero hallas las raíces de f''(x), después calculas f'''(x) y sustituyes esas raíces. Si el resultado es distinto de cero, tienes un punto de inflexión en (xᵢ, f(xᵢ)).
Dato curioso: Los puntos de inflexión son donde la función "cambia de sonrisa a mueca" o viceversa.
El teorema de Bolzano te asegura que si una función es continua en y f(a) y f(b) tienen signos opuestos, existe al menos un punto c donde f(c)=0. Es perfecto para demostrar que una ecuación tiene soluciones.
El teorema de Darboux va más allá: si f es continua en , toma todos los valores entre f(a) y f(b). El teorema de Weierstrass garantiza que toda función continua en un intervalo cerrado alcanza su máximo y mínimo absolutos.
Estos teoremas son la base teórica para entender por qué las funciones se comportan como lo hacen. Son especialmente importantes cuando te piden justificar la existencia de soluciones.
Para Selectividad: Bolzano es el más usado para demostrar existencia de raíces. ¡Apréndetelo bien!
El teorema de Rolle dice que si f es continua en , derivable en (a,b) y f(a)=f(b), entonces existe un punto c donde f'(c)=0. Básicamente, si empiezas y terminas en el mismo sitio, en algún momento la pendiente es cero.
El teorema de Lagrange es más general: f'(c) = /. Te relaciona la derivada en un punto con la pendiente de la secante. El teorema de Cauchy extiende esto a dos funciones.
Para que una función sea continua en x₀ necesitas tres cosas: que exista el límite, que esté definida en ese punto, y que ambos valores coincidan. Para ser derivable, debe ser continua y tener derivadas laterales iguales.
Consejo clave: Derivabilidad implica continuidad, pero continuidad no implica derivabilidad. ¡No las confundas!
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
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Marta
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Izan
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Noelia Manso
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El estudio de funciones es una de las partes más importantes del cálculo que te ayudará a entender cómo se comportan las funciones matemáticas. Aquí verás desde cómo calcular dominios hasta teoremas fundamentales que son clave para Selectividad.
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Calcular el dominio de una función es más fácil de lo que parece. Las funciones polinómicas tienen dominio en todos los reales (-∞,+∞), mientras que las racionales se definen en todos los puntos excepto donde el denominador se anula.
Para las funciones irracionales, necesitas que el radicando sea mayor o igual que cero (≥0). Las logarítmicas solo están definidas cuando el argumento es mayor que cero.
La simetría te dice mucho sobre una función. Si f = f(x), tienes simetría respecto al eje Y (función par). Si f = -f(x), hay simetría respecto al origen (función impar).
Truco: En las funciones pares, todos los exponentes de x son pares. ¡Súper útil para identificarlas rápidamente!
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Las asíntotas son esas líneas invisibles que la función se acerca pero nunca toca. Hay tres tipos que debes dominar para los exámenes.
Las asíntotas verticales aparecen cuando el límite de f(x) tiende a ±∞ en x=k. Las asíntotas horizontales se dan cuando el límite es un número k cuando x tiende a ±∞.
Para las asíntotas oblicuas, necesitas que el grado del numerador sea exactamente uno mayor que el del denominador. Se calculan con y = mx + b, donde m es el límite de f(x)/x y b es el límite de .
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La monotonía se estudia con la derivada primera. Derivas f(x), igualas a cero f'(x)=0, y sacas las raíces. Después haces intervalos y pruebas valores: si f'(x₀)>0, la función crece; si f'(x₀)<0, decrece.
Los máximos y mínimos relativos necesitan dos condiciones: f'(a)=0 y f''(a)≠0. Si f''(a)<0 tienes un máximo; si f''(a)>0, un mínimo.
Regla práctica: Un máximo aparece cuando la función pasa de creciente a decreciente, y un mínimo al revés.
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La curvatura se analiza con la segunda derivada f''(x). El proceso es similar a la monotonía: calculas las raíces, formas intervalos y pruebas valores intermedios.
Si f''(x₀)>0, la función es cóncava (como una sonrisa). Si f''(x₀)<0, es convexa (como una mueca). Es importante incluir los puntos de discontinuidad al formar los intervalos.
Los puntos de inflexión son donde cambia la curvatura. Primero hallas las raíces de f''(x), después calculas f'''(x) y sustituyes esas raíces. Si el resultado es distinto de cero, tienes un punto de inflexión en (xᵢ, f(xᵢ)).
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Estos teoremas son la base teórica para entender por qué las funciones se comportan como lo hacen. Son especialmente importantes cuando te piden justificar la existencia de soluciones.
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El teorema de Lagrange es más general: f'(c) = /. Te relaciona la derivada en un punto con la pendiente de la secante. El teorema de Cauchy extiende esto a dos funciones.
Para que una función sea continua en x₀ necesitas tres cosas: que exista el límite, que esté definida en ese punto, y que ambos valores coincidan. Para ser derivable, debe ser continua y tener derivadas laterales iguales.
Consejo clave: Derivabilidad implica continuidad, pero continuidad no implica derivabilidad. ¡No las confundas!
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Marta
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Izan
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Julyana
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Erick
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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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