Propiedades de Logaritmos y Ecuaciones Lineales

Los logaritmos se simplifican usando tres propiedades básicas que debes memorizar. Para multiplicaciones dentro del logaritmo, las separas sumando: $\log_a(2x^2y^4z) = \log_a 2 + \log_a x^2 + \log_a y^4 + \log_a z$. Las divisiones se convierten en restas, y las potencias bajan como coeficientes.

Las ecuaciones de primer grado con fracciones requieren encontrar un denominador común. En el ejemplo $\frac{3x-1}{5} - \frac{2x+1}{3} = -1$, multiplicas toda la ecuación por 15 para eliminar fracciones. Después agrupas términos semejantes y despejas la incógnita.

Para ecuaciones más complejas con múltiples fracciones, el truco es trabajar con paciencia. Multiplica por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores y luego simplifica paso a paso hasta obtener la forma $ax = b$.

Consejo clave: Siempre verifica tu respuesta sustituyendo el valor encontrado en la ecuación original.

Ecuaciones de Segundo Grado

Las ecuaciones cuadráticas pueden resolverse de varias formas según su estructura. Si tienes $(x+2)^2-1-4=x$, expandes el cuadrado y simplificas hasta llegar a $x^2=3$, pero aquí no hay solución real.

Cuando la ecuación está factorizada como $(2x-9)(3x-7)=0$, usas la propiedad del producto cero: cada factor debe ser cero por separado. Esto te da dos soluciones: $x=\frac{9}{2}$ y $x=\frac{7}{3}$.

Para ecuaciones como $x^2-9x+14=0$, aplicas la fórmula cuadrática: $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. El discriminante $b^2-4ac$ te dice cuántas soluciones reales existen: si es positivo, hay dos; si es cero, una; si es negativo, ninguna.

Truco útil: Antes de usar la fórmula, siempre verifica si puedes factorizar la ecuación, ya que es más rápido.

Ecuaciones con Fracciones y Factorización Avanzada

Las ecuaciones racionales requieren encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores. En $\frac{5x}{x-2} - \frac{23}{x+2} = \frac{x}{x^2-4}$, observa que $x^2-4 = (x-2)(x+2)$, así que ese es tu denominador común.

Multiplicas toda la ecuación por $(x^2-4)$ para eliminar fracciones. Esto convierte la ecuación racional en una cuadrática estándar que puedes resolver con la fórmula.

Las ecuaciones de grado superior a menudo se resuelven por factorización. Si tienes $(x-2)(x^2-10x+9)=0$, primero resuelves $x-2=0$ para obtener $x=2$. Luego factorizas $x^2-10x+9=(x-1)(x-9)$, dándote $x=1$ y $x=9$.

Importante: Siempre verifica que tus soluciones no anulen ningún denominador de la ecuación original.

Ecuaciones Irracionales

Las ecuaciones irracionales contienen radicales y requieren técnicas especiales. Para $\sqrt{x-1}+13=x$, primero aíslas el radical: $\sqrt{x-1}=x-13$. Luego elevas al cuadrado ambos lados para eliminar la raíz.

Al elevar al cuadrado obtienes $x-1=x^2-26x+169$, que se convierte en la ecuación cuadrática $x^2-27x+170=0$. Usando la fórmula cuadrática encuentras dos valores posibles.

Verificación obligatoria: Siempre debes comprobar las soluciones en la ecuación original. Al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones falsas que no satisfacen la ecuación inicial. En este caso, solo una de las dos soluciones es válida.

Regla de oro: En ecuaciones irracionales, la verificación no es opcional; es parte esencial del proceso de resolución.

Más Ecuaciones Irracionales y Técnicas Avanzadas

Para ecuaciones con múltiples radicales como $\sqrt{2x-1}-\sqrt{x+17}=1$, reorganiza para aislar uno de los radicales. Después eleva al cuadrado, pero ten cuidado con los productos cruzados que aparecen.

El proceso puede requerir elevar al cuadrado dos veces. Tras el primer paso obtienes $3x+16=2\sqrt{2x^2+33x-17}$, que requiere elevar al cuadrado nuevamente para eliminar el radical restante.

En ecuaciones como $\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}=1$, nota que los denominadores son conjugados. Usa la propiedad $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ para simplificar la suma de fracciones.

Estrategia: Con múltiples radicales, intenta aislar el más complicado primero y trabaja sistemáticamente.

Ecuaciones Logarítmicas y Exponenciales

Las ecuaciones logarítmicas se resuelven usando propiedades de logaritmos. Para $2\log x = \log 32 - \log 8$, convierte el lado izquierdo en $\log x^2$ y el derecho en $\log(32/8) = \log 4$. Entonces $x^2 = 4$, dando $x = ±2$.

Recuerda que el logaritmo de números negativos no existe, así que solo $x = 2$ es válida. Siempre verifica que tus soluciones sean positivas en ecuaciones logarítmicas.

Para ecuaciones exponenciales como $4^{2-x} = 8$, expresa ambos lados con la misma base: $2^{4-2x} = 2^3$. Igualas los exponentes: $4-2x = 3$, obteniendo $x = \frac{1}{2}$.

En casos más complejos como $9^x - 3^{x+1} = 72 - 2 \cdot 3^x$, usa cambio de variable haciendo $t = 3^x$. Esto convierte la ecuación exponencial en una cuadrática en términos de $t$.

Técnica clave: El cambio de variable simplifica enormemente las ecuaciones exponenciales complicadas.

Ecuaciones Exponenciales Avanzadas y Sistemas

Para ecuaciones como $2^x = 5^{1-3x}$, aplica logaritmos a ambos lados: $x \log 2 = (1-3x) \log 5$. Despeja agrupando todos los términos con $x$ en un lado: $x(\log 2 + 3\log 5) = \log 5$.

Los sistemas de ecuaciones lineales se resuelven eficientemente con el método de Gauss. Conviertes el sistema en una matriz aumentada y usas operaciones elementales para llegar a forma escalonada.

Un sistema puede ser compatible determinado (solución única), compatible indeterminado (infinitas soluciones) o incompatible (sin solución). El método de Gauss te permite identificar cuál es el caso según la forma final de la matriz.

En el ejemplo del sistema de tres ecuaciones, las operaciones $e_2 - 2e_1$ y $e_3 - 2e_1$ eliminan la variable $x$ de las ecuaciones segunda y tercera, facilitando la resolución por sustitución hacia atrás.

Ventaja del método: Gauss es sistemático y funciona para cualquier sistema, sin importar el número de variables.

Sistemas de Ecuaciones con Matrices

El método matricial representa sistemas como $AX = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes, $X$ el vector de incógnitas y $B$ el vector de términos independientes. Las operaciones de fila te llevan a la forma escalonada.

Un sistema compatible indeterminado ocurre cuando una fila se convierte en ceros en ambos lados. Esto significa que tienes infinitas soluciones parametrizadas. La solución general se expresa en función de una variable libre.

Un sistema incompatible surge cuando obtienes una fila como $[0 , 0 , 0 , | , c]$ con $c \neq 0$. Esto representa la ecuación imposible $0 = c$, por lo que no hay solución.

Para sistemas indeterminados, expresas las soluciones en forma paramétrica: $(6+5z, -2z, z)$ donde $z \in \mathbb{R}$. Cada valor de $z$ da una solución diferente del sistema.

Identificación rápida: Cuenta las filas no nulas tras Gauss para determinar el tipo de sistema.

Aplicaciones Prácticas y Ejercicios Mixtos

Los sistemas mixtos combinan ecuaciones logarítmicas con lineales. Para resolver ${2\log x - \log y = 3, \log x + 2\log y = 4}$, haces el cambio $u = \log x$, $v = \log y$ para convertirlo en un sistema lineal estándar.

Una vez resuelto el sistema en términos de $u$ y $v$, deshaces el cambio: si $u = 2$ entonces $\log x = 2$, por lo que $x = 100$. Si $v = 1$ entonces $\log y = 1$, así que $y = 10$.

Para radicales con exponentes fraccionarios, recuerda que $\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$ y $\sqrt[3]{\frac{1}{x^4}} = x^{-4/3}$. Combina usando las leyes de exponentes: $x^{2/3} \cdot x^{-4/3} = x^{-2/3} = \frac{1}{x^{2/3}}$.

Las sucesiones definidas por fórmulas como $a_n = \frac{n}{n+3}$ te dan los términos directamente sustituyendo valores de $n$. Calcula varios términos para ver el comportamiento y encontrar cotas.

Consejo final: La práctica variada con diferentes tipos de ecuaciones desarrolla tu intuición matemática.

Simplificación de Radicales y Problemas Avanzados

Para simplificar radicales complejos como $\frac{\sqrt{8x^2}}{\sqrt{16x^4}}$, factoriza dentro de cada radical: $\sqrt{8x^2} = 2\sqrt{2x}$ y $\sqrt{16x^4} = 4x^2$. La expresión se reduce a $\frac{\sqrt{2x}}{2x^2}$.

Las sucesiones con término general $a_n = \frac{n}{n+3}$ muestran el comportamiento límite. A medida que $n$ aumenta, la fracción se acerca a 1, por lo que la cota superior es 1 y la cota inferior es el primer término $a_1 = \frac{1}{4}$.

Los sistemas logarítmico-exponenciales como ${\log 2x - \log \frac{y}{2} = 5, \log(x+y+100) = 3}$ requieren transformar primero las ecuaciones logarítmicas en algebraicas usando propiedades.

Después de simplificar obtienes ${2xy = 400000, x+y = 900}$. Sustituye $x = \frac{200000}{y}$ en la segunda ecuación para obtener una cuadrática en $y$: $y^2 - 900y + 200000 = 0$.

Estrategia integral: Combina todas las técnicas aprendidas para abordar problemas que mezclan diferentes tipos de ecuaciones.