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Guía Completa de Ecuaciones: Bicuadradas, Racionales y Polinómicas para 1º de Bachillerato y 4º de ESO

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Angel

28/2/2023

Matemáticas

ECUACIONES E INECUACIONES

Guía Completa de Ecuaciones: Bicuadradas, Racionales y Polinómicas para 1º de Bachillerato y 4º de ESO

Las ecuaciones polinómicas de grado superior representan uno de los conceptos matemáticos más importantes para estudiantes de secundaria y bachillerato. Estas ecuaciones, que incluyen las ecuaciones bicuadradas y ecuaciones racionales, son fundamentales para resolver problemas complejos en matemáticas avanzadas.

Las ecuaciones bicuadradas son un tipo especial de ecuación polinómica de cuarto grado que se puede resolver reduciéndola a una ecuación de segundo grado mediante una sustitución. Estas ecuaciones pueden ser completas o ecuaciones bicuadradas incompletas, dependiendo de si tienen todos sus términos o no. En 4 ESO y 1 bachillerato, los estudiantes aprenden a resolver estos tipos de ecuaciones utilizando diferentes métodos, como la factorización y la sustitución. Es especialmente importante comprender que una ecuación bicuadrada tiene la forma ax⁴ + bx² + c = 0, donde se puede hacer la sustitución y = x² para simplificar el proceso de resolución.

Las ecuaciones racionales representan otro tipo importante de ecuaciones que involucran fracciones algebraicas. Estas ecuaciones son particularmente relevantes en 1 bachillerato y requieren un manejo cuidadoso de los denominadores y el dominio de la ecuación. Para resolver ecuaciones polinómicas de grado superior, es necesario aplicar diversos métodos como el teorema del factor, la división sintética o la factorización. Los estudiantes deben ser capaces de identificar el grado de la ecuación y seleccionar el método más apropiado para su resolución. En el caso de las ecuaciones grado mayor que 2, es fundamental comprender que no siempre existe una fórmula general para encontrar las soluciones, y en algunos casos se requieren métodos numéricos o aproximaciones.

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28/2/2023

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<h2 id="introduction">Introduction</h2>
<p>This exercise includes a series of mathematical problems related to solving equations. The exerci

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Ecuaciones Bicuadradas y Racionales: Guía Completa

Las ecuaciones bicuadradas son expresiones algebraicas de la forma ax⁴ + bx² + c = 0, donde podemos realizar una sustitución para convertirla en una ecuación de segundo grado. Esta transformación facilita enormemente su resolución.

Definición: Una ecuación bicuadrada es aquella que puede escribirse en la forma ax⁴ + bx² + c = 0, donde a, b y c son números reales y a ≠ 0.

Para resolver una ecuación bicuadrada, seguimos estos pasos fundamentales:

  1. Sustituimos x² por una nueva variable (generalmente t)
  2. Resolvemos la ecuación cuadrática resultante
  3. Despejamos x a partir de los valores de t encontrados

Ejemplo: Resolvamos x⁴ - 13x² + 36 = 0

  • Hacemos t = x²
  • Obtenemos t² - 13t + 36 = 0
  • Resolvemos: t = 9 o t = 4
  • Por tanto: x² = 9 o x² = 4
  • Soluciones finales: x = ±3 o x = ±2
<h2 id="introduction">Introduction</h2>
<p>This exercise includes a series of mathematical problems related to solving equations. The exerci

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Ecuaciones Racionales y Polinómicas de Grado Superior

Las ecuaciones racionales son aquellas que contienen fracciones algebraicas con la incógnita en el denominador. Para resolverlas, es crucial eliminar denominadores y verificar que las soluciones no anulen los denominadores originales.

Destacado: Al resolver ecuaciones racionales, siempre debemos comprobar que las soluciones no generen denominadores nulos en la ecuación original.

Las ecuaciones polinómicas de grado mayor que 2 requieren técnicas específicas como:

  • Factorización
  • Teorema del factor
  • Teorema del resto
  • División sintética

Vocabulario:

  • Factorización: Proceso de expresar un polinomio como producto de factores
  • Raíces: Valores de x que satisfacen la ecuación polinómica
<h2 id="introduction">Introduction</h2>
<p>This exercise includes a series of mathematical problems related to solving equations. The exerci

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Resolución de Ecuaciones Polinómicas Complejas

Para resolver ecuaciones polinómicas más complejas, es fundamental dominar las siguientes técnicas:

  1. Identificación del grado del polinomio
  2. Búsqueda de factores
  3. Aplicación de la regla de Ruffini cuando sea posible
  4. Resolución de ecuaciones más simples tras la factorización

Ejemplo: Resolvamos x³ + 10x² + 9x = 0

  • Factorizamos x(x² + 10x + 9)
  • Seguimos factorizando: x(x + 1)(x + 9)
  • Soluciones: x = 0, x = -1, x = -9
<h2 id="introduction">Introduction</h2>
<p>This exercise includes a series of mathematical problems related to solving equations. The exerci

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Aplicaciones y Verificación de Soluciones

Es fundamental verificar todas las soluciones encontradas en las ecuaciones originales, especialmente en las ecuaciones racionales y ecuaciones bicuadradas.

Destacado: La verificación de soluciones es crucial para evitar soluciones extrañas que no satisfagan la ecuación original.

Pasos para la verificación:

  1. Sustituir cada solución en la ecuación original
  2. Comprobar que se cumple la igualdad
  3. En ecuaciones racionales, verificar que no se anulan denominadores
  4. En ecuaciones bicuadradas, comprobar que las soluciones satisfacen todas las condiciones

Ejemplo: Para verificar x = 2 en una ecuación racional:

  • Sustituir x por 2 en la expresión original
  • Comprobar que no hay división por cero
  • Verificar que la igualdad se cumple
<h2 id="introduction">Introduction</h2>
<p>This exercise includes a series of mathematical problems related to solving equations. The exerci

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Ecuaciones Irracionales y Sistemas de Ecuaciones Avanzados

Las ecuaciones irracionales son aquellas donde la incógnita se encuentra bajo un radical. Para resolverlas correctamente, es fundamental seguir un proceso metódico y verificar siempre las soluciones obtenidas, ya que pueden aparecer soluciones extrañas durante el proceso.

Definición: Una ecuación irracional es aquella que contiene la variable bajo una raíz cuadrada u otro radical. La verificación es imprescindible para evitar soluciones falsas.

Para resolver estas ecuaciones, seguimos estos pasos fundamentales:

  1. Aislar el radical en un miembro de la ecuación
  2. Elevar ambos miembros al cuadrado para eliminar el radical
  3. Resolver la ecuación resultante
  4. Verificar las soluciones en la ecuación original

Ejemplo: √2x-3 + √x+7 = 4 + √2x-3

  1. Agrupamos los radicales: √x+7 = 4
  2. Elevamos al cuadrado: x + 7 = 16
  3. Resolvemos: x = 9
  4. Verificamos sustituyendo en la ecuación original
<h2 id="introduction">Introduction</h2>
<p>This exercise includes a series of mathematical problems related to solving equations. The exerci

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Ecuaciones Exponenciales y sus Métodos de Resolución

Las ecuaciones exponenciales son aquellas donde la incógnita aparece en el exponente. Su resolución generalmente implica el uso de logaritmos, aunque existen métodos específicos según la estructura de la ecuación.

Destacado: Para resolver ecuaciones exponenciales con términos similares, debemos intentar expresar todos los términos con la misma base antes de proceder.

El método general de resolución incluye:

  1. Expresar todos los términos con la misma base cuando sea posible
  2. Igualar los exponentes
  3. Resolver la ecuación resultante
  4. Si hay sumas o restas de potencias, realizar un cambio de variable

Vocabulario: Base común - Es la base a la que se transforman todos los términos exponenciales para facilitar la resolución.

<h2 id="introduction">Introduction</h2>
<p>This exercise includes a series of mathematical problems related to solving equations. The exerci

Ver

Ecuaciones Logarítmicas y sus Características

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas donde la incógnita aparece en el argumento o la base de un logaritmo. Su resolución requiere conocimiento de las propiedades de los logaritmos y especial atención a las restricciones del dominio.

Definición: El argumento de un logaritmo debe ser siempre positivo, lo que implica que debemos verificar las soluciones obtenidas.

Aspectos clave para su resolución:

  • Utilizar las propiedades de los logaritmos para simplificar
  • Verificar que las soluciones cumplan las restricciones del dominio
  • Comprobar que no se produzcan indeterminaciones
<h2 id="introduction">Introduction</h2>
<p>This exercise includes a series of mathematical problems related to solving equations. The exerci

Ver

Sistemas de Ecuaciones y su Clasificación

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según sus soluciones y según el tipo de ecuaciones que los componen. Esta clasificación es fundamental para elegir el método de resolución más adecuado.

Definición: Un sistema compatible determinado tiene un número finito de soluciones, mientras que uno compatible indeterminado tiene infinitas soluciones.

Clasificación según soluciones:

  • Compatible Determinado (SCD): tiene solución única
  • Compatible Indeterminado (SCI): tiene infinitas soluciones
  • Incompatible (SI): no tiene solución

Ejemplo: Sistema Compatible Determinado: 2x + 3y = 6 4x - 2y = -1

La clasificación se determina al intentar resolver el sistema y observar el tipo de resultado obtenido.

<h2 id="introduction">Introduction</h2>
<p>This exercise includes a series of mathematical problems related to solving equations. The exerci

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Resolución de Ecuaciones Logarítmicas y Polinómicas Avanzadas

Las ecuaciones polinómicas y logarítmicas representan un pilar fundamental en el estudio del álgebra avanzada. Estas ecuaciones, frecuentemente encontradas en ecuaciones de grado superior a dos resueltas pdf, requieren un entendimiento profundo de las propiedades de los logaritmos y las técnicas de factorización.

Para resolver ecuaciones logarítmicas, es esencial comprender que todo logaritmo debe tener un argumento positivo y que la base del logaritmo debe ser positiva y distinta de 1. Estas condiciones, similares a las que encontramos en ecuaciones racionales 1 bachillerato, establecen el dominio de la función logarítmica y son cruciales para encontrar soluciones válidas.

Definición: Una ecuación logarítmica es aquella donde la incógnita aparece dentro de uno o más logaritmos. La resolución implica aplicar las propiedades de los logaritmos y verificar que las soluciones cumplan con las condiciones de dominio.

En el caso de las ecuaciones polinómicas ejercicios resueltos pdf, el proceso de resolución requiere identificar el grado del polinomio y aplicar las técnicas apropiadas. Para ecuaciones de grado superior, como las ecuaciones bicuadradas 4 eso, es fundamental factorizar correctamente y considerar todas las posibles soluciones.

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Javi, usuario de iOS

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones.

Mari, usuario de iOS

Me encanta esta app ❤️, de hecho la uso cada vez que estudio.

 

Matemáticas

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28 feb 2023

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Guía Completa de Ecuaciones: Bicuadradas, Racionales y Polinómicas para 1º de Bachillerato y 4º de ESO

Las ecuaciones polinómicas de grado superior representan uno de los conceptos matemáticos más importantes para estudiantes de secundaria y bachillerato. Estas ecuaciones, que incluyen las ecuaciones bicuadradas y ecuaciones racionales, son fundamentales para resolver problemas complejos en matemáticas avanzadas.

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Ecuaciones Bicuadradas y Racionales: Guía Completa

Las ecuaciones bicuadradas son expresiones algebraicas de la forma ax⁴ + bx² + c = 0, donde podemos realizar una sustitución para convertirla en una ecuación de segundo grado. Esta transformación facilita enormemente su resolución.

Definición: Una ecuación bicuadrada es aquella que puede escribirse en la forma ax⁴ + bx² + c = 0, donde a, b y c son números reales y a ≠ 0.

Para resolver una ecuación bicuadrada, seguimos estos pasos fundamentales:

  1. Sustituimos x² por una nueva variable (generalmente t)
  2. Resolvemos la ecuación cuadrática resultante
  3. Despejamos x a partir de los valores de t encontrados

Ejemplo: Resolvamos x⁴ - 13x² + 36 = 0

  • Hacemos t = x²
  • Obtenemos t² - 13t + 36 = 0
  • Resolvemos: t = 9 o t = 4
  • Por tanto: x² = 9 o x² = 4
  • Soluciones finales: x = ±3 o x = ±2
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Ecuaciones Racionales y Polinómicas de Grado Superior

Las ecuaciones racionales son aquellas que contienen fracciones algebraicas con la incógnita en el denominador. Para resolverlas, es crucial eliminar denominadores y verificar que las soluciones no anulen los denominadores originales.

Destacado: Al resolver ecuaciones racionales, siempre debemos comprobar que las soluciones no generen denominadores nulos en la ecuación original.

Las ecuaciones polinómicas de grado mayor que 2 requieren técnicas específicas como:

  • Factorización
  • Teorema del factor
  • Teorema del resto
  • División sintética

Vocabulario:

  • Factorización: Proceso de expresar un polinomio como producto de factores
  • Raíces: Valores de x que satisfacen la ecuación polinómica
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Resolución de Ecuaciones Polinómicas Complejas

Para resolver ecuaciones polinómicas más complejas, es fundamental dominar las siguientes técnicas:

  1. Identificación del grado del polinomio
  2. Búsqueda de factores
  3. Aplicación de la regla de Ruffini cuando sea posible
  4. Resolución de ecuaciones más simples tras la factorización

Ejemplo: Resolvamos x³ + 10x² + 9x = 0

  • Factorizamos x(x² + 10x + 9)
  • Seguimos factorizando: x(x + 1)(x + 9)
  • Soluciones: x = 0, x = -1, x = -9
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Aplicaciones y Verificación de Soluciones

Es fundamental verificar todas las soluciones encontradas en las ecuaciones originales, especialmente en las ecuaciones racionales y ecuaciones bicuadradas.

Destacado: La verificación de soluciones es crucial para evitar soluciones extrañas que no satisfagan la ecuación original.

Pasos para la verificación:

  1. Sustituir cada solución en la ecuación original
  2. Comprobar que se cumple la igualdad
  3. En ecuaciones racionales, verificar que no se anulan denominadores
  4. En ecuaciones bicuadradas, comprobar que las soluciones satisfacen todas las condiciones

Ejemplo: Para verificar x = 2 en una ecuación racional:

  • Sustituir x por 2 en la expresión original
  • Comprobar que no hay división por cero
  • Verificar que la igualdad se cumple
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Ecuaciones Irracionales y Sistemas de Ecuaciones Avanzados

Las ecuaciones irracionales son aquellas donde la incógnita se encuentra bajo un radical. Para resolverlas correctamente, es fundamental seguir un proceso metódico y verificar siempre las soluciones obtenidas, ya que pueden aparecer soluciones extrañas durante el proceso.

Definición: Una ecuación irracional es aquella que contiene la variable bajo una raíz cuadrada u otro radical. La verificación es imprescindible para evitar soluciones falsas.

Para resolver estas ecuaciones, seguimos estos pasos fundamentales:

  1. Aislar el radical en un miembro de la ecuación
  2. Elevar ambos miembros al cuadrado para eliminar el radical
  3. Resolver la ecuación resultante
  4. Verificar las soluciones en la ecuación original

Ejemplo: √2x-3 + √x+7 = 4 + √2x-3

  1. Agrupamos los radicales: √x+7 = 4
  2. Elevamos al cuadrado: x + 7 = 16
  3. Resolvemos: x = 9
  4. Verificamos sustituyendo en la ecuación original
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Ecuaciones Exponenciales y sus Métodos de Resolución

Las ecuaciones exponenciales son aquellas donde la incógnita aparece en el exponente. Su resolución generalmente implica el uso de logaritmos, aunque existen métodos específicos según la estructura de la ecuación.

Destacado: Para resolver ecuaciones exponenciales con términos similares, debemos intentar expresar todos los términos con la misma base antes de proceder.

El método general de resolución incluye:

  1. Expresar todos los términos con la misma base cuando sea posible
  2. Igualar los exponentes
  3. Resolver la ecuación resultante
  4. Si hay sumas o restas de potencias, realizar un cambio de variable

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Ecuaciones Logarítmicas y sus Características

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas donde la incógnita aparece en el argumento o la base de un logaritmo. Su resolución requiere conocimiento de las propiedades de los logaritmos y especial atención a las restricciones del dominio.

Definición: El argumento de un logaritmo debe ser siempre positivo, lo que implica que debemos verificar las soluciones obtenidas.

Aspectos clave para su resolución:

  • Utilizar las propiedades de los logaritmos para simplificar
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Sistemas de Ecuaciones y su Clasificación

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según sus soluciones y según el tipo de ecuaciones que los componen. Esta clasificación es fundamental para elegir el método de resolución más adecuado.

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  • Compatible Determinado (SCD): tiene solución única
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Resolución de Ecuaciones Logarítmicas y Polinómicas Avanzadas

Las ecuaciones polinómicas y logarítmicas representan un pilar fundamental en el estudio del álgebra avanzada. Estas ecuaciones, frecuentemente encontradas en ecuaciones de grado superior a dos resueltas pdf, requieren un entendimiento profundo de las propiedades de los logaritmos y las técnicas de factorización.

Para resolver ecuaciones logarítmicas, es esencial comprender que todo logaritmo debe tener un argumento positivo y que la base del logaritmo debe ser positiva y distinta de 1. Estas condiciones, similares a las que encontramos en ecuaciones racionales 1 bachillerato, establecen el dominio de la función logarítmica y son cruciales para encontrar soluciones válidas.

Definición: Una ecuación logarítmica es aquella donde la incógnita aparece dentro de uno o más logaritmos. La resolución implica aplicar las propiedades de los logaritmos y verificar que las soluciones cumplan con las condiciones de dominio.

En el caso de las ecuaciones polinómicas ejercicios resueltos pdf, el proceso de resolución requiere identificar el grado del polinomio y aplicar las técnicas apropiadas. Para ecuaciones de grado superior, como las ecuaciones bicuadradas 4 eso, es fundamental factorizar correctamente y considerar todas las posibles soluciones.

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Métodos de Resolución y Aplicaciones Prácticas

Las ecuaciones bicuadradas resueltas pdf muestran cómo abordar casos específicos donde la variable aparece elevada a la cuarta potencia. Este tipo de ecuaciones, común en ecuaciones bicuadradas 1 bachillerato, se resuelven mediante sustitución y posterior factorización.

Ejemplo: Para resolver x⁴ - 5x² + 4 = 0, hacemos la sustitución u = x², obteniendo u² - 5u + 4 = 0, que se resuelve como una ecuación cuadrática.

Las ecuaciones racionales ejemplos demuestran aplicaciones prácticas en diversos campos, desde la física hasta la economía. La comprensión de estas ecuaciones, especialmente en ecuaciones racionales 4 eso, permite modelar situaciones reales y encontrar soluciones a problemas prácticos.

Es fundamental verificar todas las soluciones obtenidas, especialmente en ecuaciones polinómicas 4 eso, para asegurar que cumplen con las condiciones iniciales del problema. Esta verificación es particularmente importante en ecuaciones logarítmicas y racionales, donde pueden aparecer soluciones extrañas que no satisfacen el dominio original.

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!

Sophia

usuario de Android

Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

usuaria de Android

La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.

Izan

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

Julyana

usuaria de Android

Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

Javier

usuario de Android

Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

Erick

usuario de Android

Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!

Mar

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

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Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!

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