Transcripción alternativa:

los criterios de divisibilidad a) El número aba, donde a y b son distintos de 0, es múltiplo de 3 Y de 5. ¿Qué valores pueden tomar ayb? aba -> a+b+a= 3 • multiplo de 3 4 5 a = = 0,5 5+b+5=3 10 +b= 3 12,13,18 b) ¿Qué valores puede tomar "a" para que el número 20 a 30 a sea multiplo de 3? 2+0+ a + 3 + 0 +Q= 3; 5+2a=3 a= 2,5,8 a 1 2 3 3 9 4 5 6 7 8 15 21 - - 2. Calala los posibles valores de m.c.d (12, n) siendo "n" un número natural walquiera. mcm (12, n) 12 2 62 3 3 1 12=2².3 (2+1)(1+1)=6 divisores Valores 1 2 2² 3 6 12 Divisores: 1, 2, 3, 4, 6,12 TEMA 2 DIVISIBILIdad Definición de multiplo y divisor Dados das numeros enteros a y 6 (a, b €Z), se dice que b es in multiplo de a cuando exista un numero entero in tal que a n=b PROPIEDADES Dados a, byc numeros enteros: PROPIEDAD 1- Si a es un divisor de b y b es un divisor de c, a es in divisor de C. PROPIEDAD 2- -> Si a es divisor de b y a es divisor de C, a es divisor de PROPIEDAD 3- -> Sia es un divisor de b y a es in divisor dec, a es un divisor de bc Números primos y compuestos que Los números primos son aquellos númeras naturales mayores que 1 como divisores a ellos mismos y al 1 Los números compuestos son aquellos que no son primos. CONJETURA FUERTE- b+c b-c CONJETURA DEBIL. solo tienen 1- Todo numero par mayor que 2 se puede expresar Como suma de dos primos •Todo numero impar mayor que 5 se puede expresar como suma de tres números primos. 4. Halla todos los números comprendidos entre 500 y 600 que son divisibles a la vez por 3 y por 8. 500 ≤n ≤ 800 n> div 3,8 500 24 = 20,83 1000 ≤ n ≤ 1100 mcm (3,8)= 3.8=24 3=3 8=2³ DL2 1 C₁ 21.24 = 504 48418 ALE ALE ALOY 8 4 C₂ 5 C3 7 C4 24 552 24 576 5. La cantidad de libros de una biblioteca está entre 1000 y 1100. Si se cuentan de dos en dos, Sobra 1; si se cuentan de 5 en 5, sobran 4; Si se cuentan de 6 en 6, sobran 5; si se agrupan de 8 on 8, sobran 7. ¿ Cuantos sobran si se agrupan de 7 en 7? 24 600 D=C.d+r n=9.2+1 n=C₂5+4 n=C3·6+5 n = C₁₁ 8 + 7 = 2 n-1 = n-4=3 n-5=6 n-7=8 n-7-8 1000 100 8 1016 1024 1032 1040 1048 1056 1064 1072 1080 1088 1096 t + 1034 LG 172 10797 1 -> 1007 1015 1023 1031 1039 1047 1055 1063 1071 1078 1067 1095 n-1 =7 ५ 1074L 6 179 n-4 = 5 1003 1011 1019 1027 1035 1043 1051 1059 1067 1075 1083 1091 n=1074 1039 1079 n-5=6 1034 1074 agrupo de t 6. A un niño le preguntaron que cantas estampas tenía en una caja y contestó lo siguiente. si las en 7, sobran 5; si las agrupo de 9 en 9, sobran 5; y si las agrupo de 12 en 12, también sobran 5. ¿Cuál es el número de estampas sabiendo que hay más de 600 y menos de 1000? 600 ≤ n ≤ 1000 nL7 5 C. ✓ n=C₁-7+5 n 9 5 | n-5 = 7 n-5: n-5=12 ↓ n=C₂.9+5 n=C3-12 +5 m.c.m (7,9,12)= 7.3²-3-2²= 252 7=7 12=3.2² 93² 12 5 C3 ↓ 2 C₁ D n-2 div 3,6 nL3 38 44 n=div 4 mcm (3,6)= 6 50 56 nL6 2 С2 + 600 L252 2'.. 252 252 504 252 7. Para realizar un examen un profesor debe colocar a sus alumnas en un aula de 15 filas. Si coloca en cada fila a 3 0 a 6 alumnas, hay una fila en la que solo quedarian 2, pero que si coloca en cada fila a 4 todas las filas tendrían el mismo número. ¿Cuantos alumnos hay en la clase, si sabemos que el número está entre 35 y 60? 35 <n<60 35-2 <n-2 <60-2 33<n-2<58 756 +252 100 8 6-6=36 6-7=42 6.8 = 48 6.9=54 38.4 = x 44-4 = 11-4 -> 252-3756 n-5=756 n= 756 + 6 /n=761 Todo esto se hara si todos tienen el mismo resto, en este caso n-5. 50:4=x 56:4=14 Redondear para arriba 44 3 2 14 Griba de Eratostenes 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 Método para obtener todos los números primos. Teorema de factorización unica Todo entero positivo mayor que 1 es un número primo o bien un único producto de números primas. -> 6936=2³-3-17² Criterio del 2 Un numero N es divisible por 2 cuando termina en cifra par. →> 9754 9. 1000+ 7.100+5·10 + 4 = 219 500 + 7·50 + 5 ⋅5 + 2) = 2.50 2.5 2.2 2.500 2(4500 +350 +25+2) = 2 · 4877= 9754 8. En el contorno de una parcela con forma cuadrilatera cuyos lados miden= 72,96,120 y 132 m, respectivamente, se ha plantado arboles con la misma separacion Calcula el número de arboles plantados, sabiendo que hay uno en cada vertice y que la distancia entre cada dos consecutivos es la maxima pasible. 132 120 96 72 =4? 9a-95= 3(3a - 3b 9(a-b) a 4 8 5 6 0 0 1 n=ab-ba= 9 (a - b) = 4 a>b 11. Sean a Ч 6 dos números naturales menores que 10 tales que asb. Demuestra que el número n= ab -ba es siempre múltiplo de 3 ¿Puede ser n múltiplo de 4? a,b= N ab< 10 asb n=ab-ba = 3 10a +b - (10 b-a) 10 a +b -106 - a (10-1) a + (-10 + 1) b a-b=4 mcd (72, 96, 120, 132) = 2².3=12m Los árboles tendran una distancia de 12 m El n° x de arboles sera el perimetro del wadrilatero entre 12. X= 420 72 +96+ 120 +132 12 9 6789 1 2 3 4 5 mcd (9,4)= 12 = 35 árboles. Criterio del 3 Un numero N es diuisible por 3 cuando lo es la suma de sus cifras. ->1422: Conseguir sacar in 3 1.1000 +4·100 +2·10 + 2 = 999+1 99+1 9+1 3.333+1 3.33+1 3.3+1 (3-333 +1) + 4·(3 33+1)+ 2 (3·3+1) +2 = 3 ⋅· 333+1 +4·3·33 +4 +2-3-3+2+2 = 3 (333 +4 33 +2.3) + (1+4+2+2) = 3(333+4·33 +2·3+3) Criterio del 5 Un numero N es divisible por 5 wando acaba en 0 0 5. -> 7395 7·1000 + 3.100 +9·10 + 5 5-200 5.20 5.2 (7-5-200) + (3-5-20) + (9-5-2) +5 = 5 · (7 · 200 + 3·20 + 9·2+1) Criterio del 11 Un numero N es diuisible por 11 cuando la suma de sus cifras en lugar impar menos la suma de sus cifras en lugar par sea diuisible por 11. -> 2651 2. 1000+ 6.100 + 5-10 + 1 91-11-1 9.11+1 11-1 2.91-11-1+ 6.9.11 + 1 + 5 · 11 - 1 + 1 = 11 (2·91-1 +6⋅9 +1 +5-1+1) = 11(2.91 +6+9+5)-2 +6~5+1 = 11 (2·91+6·9+5+5). Conjunto de divisores Dados dos numeros, se puede plantear el problema de determinar que divisores tiene cada uno y cuales son comunes Nos centraremos solo en los divisores naturales. 180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1 1050 2 525 3 175 5 35 5 7 7 1 180 = 2².3².5 = N° de divisores (2+1) (2+1)(1+1)= 18 divisores Valores de los divisores X X X 1234 6 9 12 18 36 8 8 12 5 5 10 15 20 30 45 60 90 180 3² 18 36 Divisores del 180:1,2,3,4,5,6,9,10,12,15, 18, 20,30,36,45,60, 90, 180 1050 2.3-5².; 7 N° de divisores (1+1) (1+1) (2+1) (1+1) = 24 divisores Valores de los divisores 15 5² 2 10 50 3 7 1 2 5 10 25 50 3 6 15 30 75 150 7 14 35 70 175 350 21 42 105 210 525 1050 Divisores comunes: 1,2,3,5,6, 10, 15,30. Mayor divisor comun: 30. Máximo común divisor Se llama m.c.d de dos o más números enteros al mayor número entero que los divide. El m.c.d de varios números es igual al número formado al multiplicar los factores primos comunes a todos ellos elevados al menor exponente. -> Comunes al menor exponente 180-2².3².5 1050=2.3.5²7 m.c.d (180,1050) = 2.3.5 = 30 Propiedades del m.cd. Dados dos números enteras a y b: •m.c.d. (k·a, K・d) = K.m.c.d (a,b), para walquier KEZ m.c.d (a,0) = a si a ‡ 0 Si Cez divide a ay 6, entonces c divide a m.c.d (a,b). Si el m.c.d (a, b)=d, entonces existen dos enteros primos entre si á y b' de forma que a= a'd b=b'd. Y •Si in numero natural divide al producto de dos números y es primo entre si con uno de ellos entonces ha de dividir al otro. Mas generalmente, si in numero primo p divide a a.b, entonces ha de dividir a oa b. (Identidad de Bézout): si a,b #0, existen syt enteros tales que m.c.d (9,5)= Sa+t b. METODOS PARA CALCULAR EL M.C.D DE N'GRANDES SIN NECESIDAD DE FACTORIZAR. Procedimiento de resta: m.c.d (a,b)=m.c.d (a-b, b) Procedimiento de division Si D=n·c+r -> m.c.d (0₁n)=m.c.d (n,r).