Cómo Usar Derivadas para Entender el Crecimiento y los Extremos

Fórmulas de Derivadas

Las derivadas son esenciales para analizar el comportamiento de las funciones. Aquí tienes las fórmulas más importantes que debes memorizar:

Para funciones básicas: la derivada de $x^n$ es $nx^{n-1}$, de $\ln x$ es $\frac{1}{x}$, y de $e^x$ es $e^x$. Si tienes una constante multiplicando, como en $y=a·f$, su derivada es simplemente $y'=a·f'$.

Con funciones compuestas, recuerda aplicar la regla de la cadena. Por ejemplo, si $y=\ln f$, entonces $y'=\frac{f'}{f}$, y si $y=e^f$, entonces $y'=e^f·f'$. Para funciones trigonométricas, la derivada de $\sin x$ es $\cos x$, y la de $\cos x$ es $-\sin x$.

💡 Truco para recordar: Para funciones compuestas, siempre deriva "la de fuera" y multiplica por la derivada "de la de dentro". Por ejemplo, en $y=\sin f$, derivamos el seno ($\cos f$) y multiplicamos por $f'$.

No olvides las fórmulas del producto $D(f·g)=f'·g+f·g'$ y del cociente $D(f/g)=\frac{f'·g-f·g'}{g^2}$, que te serán útiles para derivar expresiones complejas.

Rectas Tangentes y Normales

Cuando te piden calcular la ecuación de la recta tangente a una curva, estás buscando una recta que "toque" la función en un solo punto. La clave está en usar la fórmula del punto-pendiente.

Para la recta tangente en un punto $a$, usamos $y-f(a)=f'(a)(x-a)$, donde $f'(a)$ es la pendiente. Por ejemplo, para calcular la tangente de $f(x)=x^2-2x+3$ en $x=-2$, primero calculamos $f(-2)=(-2)^2-2(-2)+3=4+4+3=11$ y $f'(x)=2x-2$, por lo que $f'(-2)=-4-2=-6$.

La ecuación de la recta tangente será $y-11=-6(x+2)$, que podemos simplificar como $y=11-6(x+2)$ o $y=11-6x-12=-6x-1$.

🔍 Atención: Para la recta normal, utiliza la pendiente perpendicular a la tangente, que es $m_{normal}=-\frac{1}{m_{tangente}}$. La ecuación será $y-f(a)=-\frac{1}{f'(a)}(x-a)$.

Si te piden calcular la recta normal, solo necesitas recordar que la pendiente de la normal es el negativo del inverso de la pendiente de la tangente: $m_{normal}=-\frac{1}{m_{tangente}}$.

Monotonía y Extremos Relativos

Para estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función y encontrar sus máximos y mínimos, sigue estos pasos sistemáticos:

1. Halla el dominio de la función para saber dónde está definida.
2. Calcula la primera derivada de la función.
3. Iguala la derivada a cero para encontrar posibles máximos o mínimos.
4. Estudia el signo de la derivada en cada intervalo.

Por ejemplo, para $f(x)=\frac{x^2}{x^2-4}$, primero vemos que el dominio es $\mathbb{R}-\{-2,2\}$ porque $x^2-4=0$ cuando $x=\pm 2$. Luego calculamos $f'(x)=\frac{-8x}{(x^2-4)^2}$.

🔑 Consejo clave: Cuando la derivada es positiva, la función crece; cuando es negativa, decrece. Los puntos donde la derivada cambia de signo (y están en el dominio) son máximos o mínimos.

Al igualar $f'(x)=0$, obtenemos $x=0$. Comprobando el signo de la derivada, vemos que $f'(x)$ es positiva para $x<0$ (la función crece) y negativa para $x>0$ (la función decrece). Por tanto, $x=0$ es un máximo. Finalmente, calculamos $f(0)=0$ y concluimos que el máximo es el punto $(0,0)$.

Estudio de Funciones con Radicales

Al estudiar funciones con radicales, debes tener especial cuidado con el dominio, ya que las raíces cuadradas solo están definidas para valores no negativos del radicando.

Para $f(x)=\sqrt{x^2-1}$, el dominio son los valores donde $x^2-1\geq0$, es decir, $x\leq-1$ o $x\geq1$, o expresado como $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$.

La derivada es $f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$. Al igualar a cero, obtenemos $x=0$, pero este valor no está en el dominio, así que no es un extremo relativo.

Estudiando el signo de $f'(x)$, encontramos que:

• Para $x<-1$, $f'(x)<0$, por lo que la función decrece en $(-\infty,-1)$
• Para $x>1$, $f'(x)>0$, por lo que la función crece en $(1,\infty)$

🚨 Cuidado: Cuando estudias funciones con radicales, asegúrate de verificar si los posibles extremos pertenecen al dominio. En este caso, $x=0$ no está en el dominio, así que no es un extremo.

Es importante notar que esta función no tiene máximos ni mínimos, ya que el único punto crítico que encontramos no pertenece al dominio. La función simplemente decrece en la primera parte de su dominio y crece en la segunda.

Monotonía con Funciones Exponenciales

Las funciones con el número $e$ requieren técnicas especiales para el análisis de monotonía debido a sus propiedades. Vamos a ver cómo estudiar $f(x)=(x+1)e^{-x}$.

Primero, el dominio de $f(x)$ es $\mathbb{R}$ completo, ya que las funciones exponenciales están definidas para todos los reales. Para calcular la derivada, aplicamos la regla del producto:

$f'(x) = e^{-x} + (x+1)(-e^{-x}) = e^{-x}(1-(x+1)) = e^{-x}(-x)$

Igualando a cero: $e^{-x}(-x)=0$. Como $e^{-x}$ nunca es cero para ningún valor real, sólo nos queda $-x=0$, así que $x=0$ es nuestro único punto crítico.

💡 Observación importante: En funciones con $e^x$, recuerda que $e^x$ nunca es igual a cero para ningún valor real, así que al resolver $e^{-x}(-x)=0$, solo $-x=0$ puede dar solución.

Para estudiar el signo de la derivada, vemos que $f'(x)=e^{-x}(-x)$ es positiva cuando $x<0$ (función creciente) y negativa cuando $x>0$ (función decreciente). Entonces $x=0$ es un máximo relativo.

Finalmente, calculamos $f(0)=(0+1)e^0=1·1=1$, así que el punto máximo es $(0,1)$. Esto completa nuestro análisis de monotonía para esta función exponencial.