Fórmulas de Derivadas Esenciales

Las fórmulas de derivadas son como recetas que tienes que memorizar para resolver cualquier ejercicio. La regla de la cadena es tu mejor amiga: cuando tienes funciones dentro de otras funciones, multiplicas la derivada de fuera por la de dentro.

Para funciones trigonométricas, recuerda que D[sen f$x$] = cos f$x$ · f'$x$ y D[cos f$x$] = -sen f$x$ · f'$x$. El signo menos en el coseno es súper importante, no se te olvide.

Las funciones exponenciales y logarítmicas también tienen sus trucos: D$e^f(x)$ = e^f$x$ · f'$x$ y D[ln f$x$] = f'$x$/f$x$. Con estas fórmulas básicas ya puedes resolver la mayoría de ejercicios.

Tip clave: Siempre que veas una función compuesta, aplica la regla de la cadena multiplicando las derivadas paso a paso.

Rectas Tangente y Normal

Las rectas tangente y normal salen constantemente en los exámenes. La recta tangente tiene pendiente f'$a$, mientras que la normal es perpendicular con pendiente -1/f'$a$.

Para calcular la ecuación de la recta tangente usas: y - f$a$ = f'$a$ · $x - a$. Para la normal cambias la pendiente por su inversa negativa. Así de simple.

La pendiente mide cuánto se inclina una recta, y la derivada en un punto te da exactamente esa pendiente. Por eso las derivadas son tan útiles para entender el comportamiento de las funciones.

Continuidad y Derivabilidad

En las funciones a trozos tienes que comprobar si son continuas y derivables en los puntos de unión. Para la continuidad, verificas que los límites laterales coincidan con el valor de la función.

Para la derivabilidad, calculas las derivadas laterales y compruebas si son iguales. Si no coinciden, la función no es derivable en ese punto, aunque sí puede ser continua.

Este tipo de ejercicios suelen aparecer en selectividad, así que practica mucho con funciones que cambien de fórmula en distintos intervalos.

Optimización y Extremos

Los extremos relativos los encuentras igualando la derivada a cero. Esos puntos críticos pueden ser máximos o mínimos locales, dependiendo del signo de la derivada antes y después.

Para optimización, planteas el problema creando una función que represente lo que quieres maximizar o minimizar. Luego derivas e igualas a cero para encontrar los valores óptimos.

Los extremos absolutos solo se calculan en intervalos cerrados [a,b]. Evalúas la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo, y el mayor/menor valor será tu respuesta.

La regla de L'Hôpital es tu salvación cuando tienes indeterminaciones del tipo 0/0 o ∞/∞. Simplemente derivas numerador y denominador por separado.

Recuerda: Para esbozar una gráfica necesitas extremos relativos, puntos de inflexión y puntos de corte. ¡Con eso ya tienes el dibujo completo!