Transcripción alternativa:

situados en planos paralelos. Caras laterales: son los paralelogramos. Aristas básicas: lados de las bases. cara lateral Cara arista básica Ángulo diedro Icosaedro 20 caras triángulos equiláteros arista lateral 1 Matemáticas 2º ESO Nos encontramos con las siguientes clases de prismas: Prisma recto: las aristas laterales son perpendiculares a las aristas básicas. En caso contrario se dice prisma oblicuo. Prisma regular: prisma recto cuyas bases son polígonos regulares. Cuando las bases no son polígonos regulares se conocerá como prisma irregular. Prisma Desarrollo plano } h h cara I largo 1 ORTOEDRO (Caja de zapatos) cara superior base donde P, es el perímetro de la base, A, es el área de la base, h la altura, n el número de lados de la base y l la longitud del lado de la base. altura (h) alto Área lateral (AL) ancho Área total (Ar) Volumen (V) AL = Pb.h=n·1·h, Los paralelepípedos son prismas de 6 caras que son paralelogramos, paralelas e iguales dos a dos. Los paralelepípedos rectos se denominan ortoedros, y son el ortoedro (o paralelepípedo rectángulo) y el cubo (o hexaedro). AT = AL + 2Ab D Volumen: V=1² h Área total: A=4·1·h+2·1² • En general: Volumen = área de la base × altura Área total Suma de las áreas de sus caras. b V = A·h, с a D = √a² +b² +c² A = 2(a.b+ac+b.c) V=a.b.c 2 Matemáticas 2º ESO ➤ PIRÁMIDE: Definición: Una pirámide es un poliedro en el que una de las caras es un polígono cualquiera (llamado base), y las demás son triángulos con un vértice común que se apoyan en los lados de la base y lo envuelven lateralmente. Si la base es un triángulo, se habla de pirámide triangular, si es un cuadrado, pirámide cuadrangular, etc. vértice Los elementos de una pirámide son: Base: es un polígono cualquiera. Caras laterales: son los triángulos que se unen en un mismo punto denominado vértice de la pirámide. Aristas básicas: lados de la base. Aristas laterales: lados que unen los triángulos entre sí. Altura: segmento perpendicular trazado desde el vértice hasta la base, es decir, distancia del vértice superior de la pirámide al punto medio de la base. Nos encontramos con las siguientes clases de pirámides: Observación: La altura (h), la apotema de la base (ab) y la apotema de una pirámide regular (ap) se relacionan gracias al teorema de Pitágoras como sigue: a² = a² +h² Desarrollo plano AMAN base cara Pirámide recta: las caras laterales son triángulos isósceles. En caso contrario se dice pirámide oblicua. Pirámide regular: pirámide recta cuya base es un polígono regular. La apotema de una pirámide regular es la distancia del vértice superior de la pirámide al punto medio de una de las aristas básicas. lateral Área lateral (AL) Área total (AT) cara lateral Volumen (V) AL altura = base Pb. ap 2 arista lateral arista básica V = n.1.ap 2 AT = AL + Ab, A₁.h 3 donde P, es el perímetro de la base, A, es el área de la base, a, la apotema de la pirámide, n el número de lados de la base, 1 la longitud del lado de la base y h la altura. 3 Matemáticas 2º ESO Pirámide O 1 ÁREA DEL TRONCO DE PIRÁMIDE: 5 cm 8 cm (B+b).h 2 hi AAA H = 4 (8+5)-7 2 B ▸ Área de las bases (en este tronco): es el área de dos cuadrados. ABASES = L²+ P²=64+ 25 = 89 cm² ▸ Área lateral: es la suma del área de los trapecios de las caras laterales. A₁ = 4 Volumen: V = ▸ Área total: es el área de las bases más el área lateral. A₁ = ABASES + A₁ = 89 + 182 = 271 cm² = 4.91 182 cm² 1 5.1.a 32 Área total: A = 5- +5 h . En general: 1 Volumen = (área de la base × altura) Área total = Suma de las áreas de sus 3 caras. El cilindro es el cuerpo geométrico El cono es el cuerpo geométrico que que se obtiene al girar un rectángulo se obtiene al girar un triángulo rectán- alrededor de uno de sus lados. gulo alrededor de uno de sus catetos. eje eje 1.H l'a 2 2 CUERPOS DE REVOLUCIÓN: Los cuerpos redondos de revolución se obtienen al girar una figura plana alrededor de un eje. Los tres cuerpos de revolución más sencillos son el cilindro, el cono y la esfera. La esfera es el cuerpo geométrico que se obtiene al girar un semicírculo alre- dedor de su diámetro. eje 4 Matemáticas 2º ESO ➤ CILINDRO: Definición: Se conoce como cilindro al cuerpo geométrico que se obtiene cuando un rectángulo gira alrededor de uno de sus lados. A dicho lado se le conoce como eje de giro. Los elementos más destacados del cilindro son: Generatriz: lado del rectángulo opuesto al eje directriz. Bases: círculos iguales y paralelos que se obtienen al girar. Radio: es el radio de los círculos base, es decir, es la longitud del lado perpendicular al eje directriz o eje de giro. Altura: es la longitud del eje de giro. Desarrollo plano Cilindro radio h cara lateral base altura 2.77 Área lateral (AL) Área total (AT) Volumen (V) altura base eje de giro radio AL = Pb h = 2π-r.h, donde P, es el perímetro de la base, A, es el área de la base, h la altura y r es el radio de la base. AT = AL + 2A = 2π r⋅h+2πr² = 2π· r. (h+r), V = A·h = π ². h, generatriz Volumen: V = πr².h Área total: A = 2···h+2·² . En general: Volumen área de la base x altura Área total Suma de las áreas de sus caras. 5 Matemáticas 2º ESO ➤ CONO: Definición: Se conoce como cono al cuerpo geométrico que se obtiene cuando un triángulo rectángulo gira alrededor de uno de sus catetos. Dicho cateto se conoce como eje de giro. Los elementos más destacados del cono son: Generatriz (g): hipotenusa del triángulo rectángulo. Bases: círculo que se obtienen al girar. Radio (rp): es el radio del círculo base, es decir, es la longitud del otro cateto (distinto del eje de giro) del triángulo rectángulo. Altura (h): es la longitud del eje de giro. Se cumple, por el teorema de Pitágoras, que: g² = (₂)² + h² Desarrollo plano cara lateral Cono radio (r) base generatriz (9) 8 Área lateral (AL) Área total (AT) Volumen (V) = V = altura base AL-P9_22-7-9-2-1-9₁ Volumen: V = eje de giro . En general: 1 Volumen = 3 Área total caras. radio AT = AL + Ab = π• r·g+n· r² = πr · (g+r), r².h 3 Área total: A = π-r·g+n·r² donde P, es el perímetro de la base, A, es el área de la base, g es la generatriz, h la altura yr es el radio de la base. = generatriz Ab h π.p².h 3 3 (área de la base x altura) Suma de las áreas de sus 6 Matemáticas 2º ESO O ÁREA DEL TRONCO DE CONO 8 cm Ave 5 cm 2 cm ▸ Área de las bases: es el área de dos círculos. ABASES ▸ Área lateral: es el área de un trapecio circular. = πR² + ² = 78,5+12,56=91,06 cm² (2.π.R+2··r).g 2 A₁ = ▸ Área total: es el área de las bases más el área lateral. = π(R+r)g = 3,14 (5+2)-8=175,84 cm² Volumen (V) A₁ = ABASES + A₁ = 91,06 +175,84 = 266,9 cm² ➤ ESFERA: Definición: Se conoce como esfera al cuerpo geométrico que se obtiene cuando un semicírculo gira alrededor de uno de sus diámetros. A dicho diámetro se le conoce como eje de giro. Los elementos más destacados de la esfera son: Centro: es el centro del semicírculo. Radio: es el radio del semicírculo. donde r es el radio de la esfera. A = 4πr² diámetro Cabe destacar que la esfera no posee desarrollo plano y, por ello, tampoco posee área lateral. Área (A) 4 V = Sπp3 3 centro eje de giro radio 7 Matemáticas 2º ESO Corte por un solo plano: la esfera queda dividida en dos partes llamadas casquetes esféricos. El área de un casquete esférico es: Acasquete esférico = 2trh ■ Corte por dos planos paralelos: la parte de la superficie esférica situada entre estos dos planos paralelos se llama zona esférica. El área de una zona esférica es: Azona esférica = 21trh ■ Corte por dos planos secantes que pasan por el centro: la parte de la superficie esférica localizada entre estos dos planos paralelos se llama huso esférico. El área de un huso esférico es: 4tr² n° 360° Casquete esférico radio (r) A huso esférico = altura casquete esférico (h) OO El volumen de un casquete esférico de altura h en una esfera de radio r es: 1 V = = Th² (3r-h) 8 Matemáticas 2º ESO Zona esférica radio (R) radio (r) Cuña esférica radio (r) amplitud(a) El volumen de una zona esférica de altura h, radio mayor R y radio menor r es: V = Th. (h² +3R² +3r²) altura zona esférica (h) El volumen de una cuña esférica de amplitud a en una esfera de radio r es: 4 V = π.p³. 3 a 360 9